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Reelle Zahlen: Beweis durch Induktion
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:30 Sa 26.10.2019
Autor: GTE3

Aufgabe
Zeige durch Induktion, dass für reelle Zahlen A1,...An gilt |A1+...+An| kleiner gleich |A1|+...+|An|

Ich weiß nicht wie ich anfangen soll. Ich habe mir überlegt das mit der Dreiecksungleichung zu machen.
2|A1|=|2A1|=|(A1+...+An)+A1-...-An)| _< |A1+...+An|+|A1-...-An|
2|An|=|2An|=|(A1+...+An)+(An-...-A1)|_< |A1+...+An|+|An-...-A1|= A1+...+An|+|A1-...-An|

Wenn ich die beiden Ungleichungen Addiere:
2|A1|+2|An|_<2(|A1+...+An|+|A1-...-An|)   Jetzt durch 2 teilen
|A1|+|An|_< |A1+...+An|+|A1-...-An|

Jetzt habe ich ja bewiesen, dass es nicht so ist. Nur ich glaube, dass es falsch ist. Würde mich über eine richtige Lösung freuen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Reelle Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:40 Sa 26.10.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

erstmal: Willkommen hier.

> Zeige durch Induktion, dass für reelle Zahlen A1,...An
> gilt |A1+...+An| kleiner gleich |A1|+...+|An|

Gewöhne dir doch bitte an unseren Formeleditior zu benutzen.
Damit kann man ganz einfach schön anzusehende Formeln zaubern und fürs Studium ist das Wissen dann auch hilfreich.

Du sollst also zeigen: [mm] $|A_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] A_n| \le |A_1| [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] |A_n|$ [/mm]

>  Ich weiß nicht wie ich anfangen soll.

In der Aufgabe ist ja ein Verfahren angegeben: Induktion.

Das bedeutet, du zeigst es erst für zwei, dann für drei, dann für vier…

> Ich habe mir überlegt das mit der Dreiecksungleichung zu machen.

Das ist eine gute Idee, mehr brauchst du auch nicht.
Mach dir klar, dass die Dreiecksungleichung das zu zeigende für nur 2 reelle Zahlen ist!

D.h. für n=2 weißt du bereits, dass die zu zeigende Aussage gilt.
Können wir das Problem nun so weit runterbrechen, dass wir nie mehr als zwei relle Zahlen betrachten?

Schau mal, es gilt doch:

[mm] $|A_1 [/mm] + [mm] A_2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] A_{n-1} [/mm] + [mm] A_n| [/mm] = [mm] |(A_1 [/mm] + [mm] A_2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] A_{n-1}) [/mm] + [mm] A_n| [/mm] $

Nun ist aber [mm] $(A_1 [/mm] + [mm] A_2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] A_{n-1})$ [/mm] einfach eine relle Zahl und [mm] A_n [/mm] ebenso, also gilt mit der Dreiecksungleichung?
Wie sieht der nächste Schritt aus?

Gruß,
Gono

Bezug
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