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Forum "Lineare Abbildungen" - Reelle Eigenwerte bestimmen
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Reelle Eigenwerte bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:04 Mi 18.01.2012
Autor: durden88

Aufgabe
Für welche Werte [mm] \alpha [/mm]  hat D reelle Eigenwerte? Berechnen Sie diese sowie die zugehörigen Eigenräume. Um welche speziellen Abbildungen handelt es sich in diesen Fällen?

[mm] D=\pmat{ cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) } [/mm]


Schönen guten Tag, also ich bin wiefolgt vorgegangen:

[mm] \lambda(\lambda)=det(A-\lambda_E) [/mm]
[mm] =(cos(\alpha)-\lambda)*(cos(\alpha)-\lambda)+sin(\alpha)^2 [/mm]
[mm] =cos(\alpha)^2-cos(\alpha)*\lambda-cos(\alpha)*\lambda+\lambda^2+sin(\alpha)^2 [/mm]
[mm] =\lambda^2+cos(\alpha)^2+sin(\alpha)^2-2*cos(\alpha)*\lambda [/mm]

So dieses [mm] cos(\alpha)^2+sin(\alpha)^2 [/mm] ist ja=1 richtig? Was ist denn das [mm] 2*cos(\alpha)? [/mm] Weil wenn ich das irgendwie noch umschreiben kann, hab ich ja super toll eine quadratische Gleichung und könnte p-q-Formel etc. nehmen. Vieleicht hab ich mich aucch verrechnet?

Ich bedanke mich im Voraus!

        
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Reelle Eigenwerte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:29 Mi 18.01.2012
Autor: Schadowmaster

moin durden,

Dein Vorgehen sieht so weit gut aus.
Setz doch einfach mal in die p-q-Formel ein und guck was rauskommt.
Wenn unter der Wurzel etwas negatives steht, hast du keine (reelle) Lösung, also keine Eigenwerte.
Und genau das ist ja deine Aufgabe: Für welche [mm] $\alpha$ [/mm] gibt es reelle Eigenwerte; also für welche [mm] $\alpha$ [/mm] steht unter der Wurzel bei der p-q-Formel etwas [mm] $\geq [/mm] 0$.
Bedenke dann am besten auch noch, dass [mm] $\alpha \in [0,2\pi)$ [/mm] ausreicht, denn danach wiederholt sich eh alles.

lg

Schadow


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Reelle Eigenwerte bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:41 Mi 18.01.2012
Autor: durden88

Ja dann muss [mm] cos(\alpha) [/mm] folglich =1 sein, weil:

[mm] \lambda=cos(\alpha)\pm\wurzel[2]{cos(\alpha)^2-1} [/mm]

Also ist kann [mm] \alpha [/mm] nur den Wert 0 und [mm] 2\pi [/mm] annehmen.

Nun war noch die Frage, um welche spezielle Abbildung es sich in den Fällen handelt. Naja, das wäre dann eine EInheitsmatrix?

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Reelle Eigenwerte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:48 Mi 18.01.2012
Autor: fred97


> Ja dann muss [mm]cos(\alpha)[/mm] folglich =1 sein,

Nein, es muß [mm]cos^2(\alpha)=1[/mm] sein !


>  weil:
>  
> [mm]\lambda=cos(\alpha)\pm\wurzel[2]{cos(\alpha)^2-1}[/mm]
>  
> Also ist kann [mm]\alpha[/mm] nur den Wert 0 und [mm]2\pi[/mm] annehmen.

Und wie siehts mit [mm] $\alpha [/mm] = - [mm] \pi$ [/mm]  aus ?

Edit: gemeint ist [mm] $\alpha [/mm] =  [mm] \pi$ [/mm]  

>  
> Nun war noch die Frage, um welche spezielle Abbildung es
> sich in den Fällen handelt. Naja, das wäre dann eine
> EInheitsmatrix?


  Und im Falle [mm] $\alpha [/mm] = - [mm] \pi$ [/mm]  ?

FRED

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Reelle Eigenwerte bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:00 Mi 18.01.2012
Autor: durden88

Ok, also mögliche Lösungen sind dann 0 und [mm] 2\pi, [/mm] dann bekomm ich als spezielle Abbildung eine Einheitsmatrix.

für -0 und [mm] -2\pi [/mm] ist es das selbe...


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Reelle Eigenwerte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:04 Mi 18.01.2012
Autor: fred97


> Ok, also mögliche Lösungen sind dann 0 und [mm]2\pi,[/mm] dann
> bekomm ich als spezielle Abbildung eine Einheitsmatrix.
>  
> für -0 und [mm]-2\pi[/mm] ist es das selbe...

Liest Du, was man Dir schreibt ? Wohl kaum ....   Oben habe ich Dir [mm] $\alpha= [/mm] - [mm] \pi$ [/mm] ans Herz gelegt.

Edit: gemeint ist [mm] $\alpha [/mm] =  [mm] \pi$ [/mm]  

FRED

>  


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Reelle Eigenwerte bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:09 Mi 18.01.2012
Autor: durden88

Warte mal, [mm] \alpha [/mm] ist aber nur von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] definiert, danach kommt immer das selbe, was will ich denn mit [mm] -\pi? [/mm]

Bezug
                                                        
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Reelle Eigenwerte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:11 Mi 18.01.2012
Autor: fred97


> Warte mal, [mm]\alpha[/mm] ist aber nur von 0 bis [mm]2\pi[/mm] definiert,
> danach kommt immer das selbe, was will ich denn mit [mm]-\pi?[/mm]  

Pardon. Ich hab mich die ganze Zeit verschrieben. Ich meinte  [mm]\pi[/mm]  

FRED



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Reelle Eigenwerte bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:15 Mi 18.01.2012
Autor: durden88

Ja ok, dann hab ich für [mm] \alpha= [/mm] 0, [mm] \pi [/mm] und [mm] 2\pi. [/mm] Auch dort gilt: Einheitsmatrix :), oder?

Bezug
                                                                        
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Reelle Eigenwerte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:17 Mi 18.01.2012
Autor: fred97


> Ja ok, dann hab ich für [mm]\alpha=[/mm] 0, [mm]\pi[/mm] und [mm]2\pi.[/mm] Auch dort
> gilt: Einheitsmatrix :), oder?

Nein. [mm] cos(\pi) [/mm] =-1

FRED


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Reelle Eigenwerte bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:21 Mi 18.01.2012
Autor: durden88

Oh du hast recht. Dann ist es im Falle [mm] \pi [/mm] eine negative Einheitsmatrix? Ist dies ein spezieller Fall?

Bezug
                                                                                        
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Reelle Eigenwerte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:28 Mi 18.01.2012
Autor: MathePower

Hallo durden88,

> Oh du hast recht. Dann ist es im Falle [mm]\pi[/mm] eine negative
> Einheitsmatrix? Ist dies ein spezieller Fall?


Ja, das ist eine negative Einheitsmatrix und ein spezieller Fall.


Gruss
MathePower



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Reelle Eigenwerte bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:35 Mi 18.01.2012
Autor: durden88

Und wie nennt man solch ein speziellen Fall? Also kann ich als Antwort mit gutem Gewissen negative Einheitsmatrix schreiben?

Bezug
                                                                                                        
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Reelle Eigenwerte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:10 Mi 18.01.2012
Autor: MathePower

Hallo durden88,

> Und wie nennt man solch ein speziellen Fall? Also kann ich


Mache Dir hierzu eine Skizze.


> als Antwort mit gutem Gewissen negative Einheitsmatrix
> schreiben?


Besser ist z.B.
- additiv inverse Einheitsmatrix
- Diagonalmatrix mit "-1"en  auf der Haupdiagonalen"


Gruss
MathePower

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