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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:59 Sa 18.03.2006 | | Autor: | Skydiver |
| Aufgabe | | I = [mm] \{a+b\sqrt{-3}|a,b \in Z\}; [/mm] I ist ein Integritätsbereich mit Einselement; es ist zu zeigen, dass 2 irreduzibel ist; |
weiß nicht wirklich wie ich dabei vorgehen kann; bin für jeden Tipp dankbar!
mfg.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:12 Sa 18.03.2006 | | Autor: | felixf |
> I = [mm]\{a+b\sqrt{-3}|a,b \in Z\};[/mm] I ist ein
> Integritätsbereich mit Einselement; es ist zu zeigen, dass
> 2 irreduzibel ist;
> weiß nicht wirklich wie ich dabei vorgehen kann; bin für
> jeden Tipp dankbar!
Ein Trick bei solchen Integritaetsbereichen (wenn unter der Wurzel was negatives steht) ist, sich die Normfunktion anzuschauen: $N : I [mm] \to \IZ$, [/mm] $x [mm] \mapsto |x|^2$. [/mm] Das $N(x) [mm] \in \IZ$ [/mm] fuer alle $x [mm] \in [/mm] I$ ist siehst du schnell, da ja $|a + b [mm] \sqrt{-3}| [/mm] = |a + b i [mm] \sqrt{3}| [/mm] = [mm] \sqrt{a^2 + 3 b^2}$ [/mm] ist.
Nun ist $N$ weiterhin multiplikativ, also gilt $N(x y) = N(x) N(y)$ fuer $x, y [mm] \in [/mm] I$. Daraus folgt insbesondere, dass Einheiten $x [mm] \in [/mm] R^*$ die Norm $N(x) = 1$ haben, und hier sieht man sofort, dass die einzigen Elemente mit Norm 1 gerade [mm] $\pm [/mm] 1$ sind (wenn du [mm] $\sqrt{-1}$ [/mm] haettest anstatt [mm] $\sqrt{-3}$ [/mm] kaemen auch noch [mm] $\pm [/mm] i$ hinzu, aber fuer [mm] $\sqrt{-d}$ [/mm] mit $d > 1$ sind es immer nur [mm] $\pm [/mm] 1$).
Insbesondere erhaelst du: $x [mm] \in [/mm] I$ ist Einheit genau dann, wenn $N(x) = 1$ ist.
So. Und jetzt siehst du natuerlich sofort, dass wenn $x$ ein Teiler von $y$ ist, dass dann auch $N(x)$ ein Teiler von $N(y)$ ist.
Jetzt nimm $y := 2$ und nimm an, dass $x$ ein Teiler von $y$ ist. Also gilt $N(x)$ teilt $N(y) = [mm] |2|^2 [/mm] = 4$. ...
Kommst du jetzt alleine weiter?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:35 Sa 18.03.2006 | | Autor: | Skydiver |
Besten Dank! Damit sollte ich das hinbekommen.
mfg.
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