Rechteck in Dreieck < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:07 Do 17.01.2013 | | Autor: | Lewser |
| Aufgabe | | In ein Dreieck mit der Grundlinie a und der Höhe h ist ein Rechteck mit möglichst großer Fläche einzubeschreiben. Welchen Flächeninhalt hat das Rechteck? |
Ich finde irgendwie keinen Ansatz für das Problem, trotz Skizze.
Kann mir da jemand einen Tipp geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:30 Do 17.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
wahrscheinlich ist das Dreieck doch gleichschenklig__ dann zeichne es und die Hoehe ein. nenn die halbe Grundseite x die 2 te Seite y und dann solltest du einen Strahlensatz sehen, um eine Beziehung zwischen x und y zu finden, in der noch h und a vorkommt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Do 17.01.2013 | | Autor: | Lewser |
Genau das ist mein Problem. Es steht einfach nur "Dreieck" in der Aufgabe.
Ich kann doch nicht einfach davon ausgehen, dass es gleichseitig ist?
Oder bezieht man die Information daraus, dass die Grundseite als "a" bezeichnet wurde?
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Hallo!
Das Dreieck muß nicht gleichseitig sein!
Egal, wo sich de obere Ecke befindet, in einer bestimmten Höhe hat das Dreieck immer die gleiche Breite, und damit hat das zugehörige Rechteck immer die gleiche Fläche. Die Angaben reichen daher aus!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Do 17.01.2013 | | Autor: | Lewser |
Damit stehe ich also wieder am Anfang. Hat jemand einen Hinweis für mich?
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> Damit stehe ich also wieder am Anfang. Hat jemand einen
> Hinweis für mich?
Hallo Lewser,
es kommt schon ein wenig darauf an, wie das
Dreieck aussieht und auf welche Weise das
Rechteck eingezeichnet werden soll.
Gemeint ist vermutlich, dass das Rechteck
eine Seite auf der Grundlinie hat, und dass
beide an diese Grundlinie anschließenden
Dreieckswinkel spitz sind. Wäre nämlich
einer dieser Winkel stumpf, so wäre es unge-
schickt, eine Rechtecksseite auf diese Grund-
linie zu stellen - denn ein derartiges Rechteck,
das im Dreieck Platz hat, könnte nicht das
flächengrößte sein.
Wähle also als "Grundlinie" (nennen wir ihre
Länge a und ihre Endpunkte B und C) die
längste Seite des Dreiecks - dann sind beide
anliegenden Winkel [mm] \beta [/mm] und [mm] \gamma [/mm] spitz, und man
kann mal ein Rechteck PQRS mit P und Q auf [mm] \overline{BC} [/mm] ,
R auf [mm] \overline{CA} [/mm] und S auf [mm] \overline{AB} [/mm] einzeichnen.
Bezeichne die Seitenlängen des Rechtecks z.B.
mit x und y , zeichne die Höhe h (von A aus
senkrecht auf die Grundlinie) ein, bezeichne
ihren Fußpunkt auf [mm] \overline{BC} [/mm] mit F und ihren
Schnittpunkt mit [mm] \overline{RS} [/mm] mit G .
Damit hast du eine brauchbare Figur und
geeignete Bezeichnungen.
Wähle dann zwei geeignete, zueinander ähnliche
Dreiecke (es gibt verschiedene Möglichkeiten dazu),
deren Seitenlängen du mittels der gegebenen und
der unbekannten Stücke (a, h, x, y) ausdrücken
kannst. Setze dann die Ähnlichkeit in eine Gleichung
mit diesen 4 Größen um.
Diese Gleichung dient dann als "Nebenbedingung"
für die folgende Extremwertaufgabe.
LG , Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:35 Do 17.01.2013 | | Autor: | Lewser |
Die Tatsache, dass das Rechteck auf der Grundseite mit den spitzen Winkeln liegen muss, habe ich mir auch überlegt aus zwei Gründen:
1) sonst wäre der Flächeninhalt des RE Null
2) die Höhe, die angegeben ist, bezieht sich auf "a" (wg. "Grundseite")
Den Rest deiner Anleitung werde ich später durcharbeiten, weil ich gerade leider keine Zeit mehr habe, melde mich aber sobald ich mich darum gekümmert habe.
Vielen Dank für deinen Hinweis!
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> Die Tatsache, dass das Rechteck auf der Grundseite mit den
> spitzen Winkeln liegen muss, habe ich mir auch überlegt
> aus zwei Gründen:
>
> 1) sonst wäre der Flächeninhalt des RE Null ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ??? ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Nein, das doch nicht gerade !
(auch in einem sehr schiefen Dachraum kann man
wenigstens noch einen kleinen Schrank aufstellen ...)
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 So 20.01.2013 | | Autor: | Lewser |
Es ist mir schleierhaft, was ich tun soll, es tut mir leid.
Ich sehe zwar die ähnlichen Dreiecke und vermute, dass der Strahlensatz weiter führt, aber ich sehe einfach nichts an gegebenen Werten, dass ich einsetzen könnte. Ich brauch wieder Hilfe ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 So 20.01.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Es ist mir schleierhaft, was ich tun soll, es tut mir
> leid.
> Ich sehe zwar die ähnlichen Dreiecke und vermute, dass
> der Strahlensatz weiter führt, aber ich sehe einfach
> nichts an gegebenen Werten, dass ich einsetzen könnte. Ich
> brauch wieder Hilfe ...
Hast du dir mal folgende Skizze gemacht?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Zur Verdutlichung x=HD und a=BC
Für das Rechteck EFGH gilt:
[mm] $A=(h_{a}-y)\cdot(x+z)$
[/mm]
Nun gilt, nach Strahlensatz (Zentrum in A)
[mm] \frac{y}{h_{a}}=\frac{x}{a-(x+z)+z}
[/mm]
Und außerdem:
[mm] \frac{y}{h_{a}}=\frac{z}{a-(z+x)+x}
[/mm]
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 So 20.01.2013 | | Autor: | Lewser |
Nur zum Verständnis:
Du setzt y und h zum Verhältnis gleich mit x und [mm] \overline{CD}
[/mm]
bzw.
y und h zum Verhältnis gleich mit z und [mm] \overline{DB}
[/mm]
Wenn ich das so richtig verstanden habe, dann komme ich nicht ganz hinter das Geheimnis, wie du [mm] \overline{CD} [/mm] und [mm] \overline{DB} [/mm] zusammensetzt.
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> Ich sehe zwar die ähnlichen Dreiecke und vermute, dass
> der Strahlensatz weiter führt, aber ich sehe einfach
> nichts an gegebenen Werten, das ich einsetzen könnte.
Hallo Lewser,
die Figur mit den von mir vorgeschlagenen Bezeichnungen
sähe so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Betrachte nun die Dreiecke ABC und ASR mit ihren
jeweiligen Grundlinien a = [mm] |\overline{BC}| [/mm] und x = [mm] |\overline{SR}| [/mm] sowie
ihren Höhen h = [mm] |\overline{AF}| [/mm] und h-y = [mm] |\overline{AG}| [/mm] .
Da die Dreiecke zueinander ähnlich sind, sind
ihre Höhen proportional zu ihren Grundlinien,
also
[mm] $\frac{h-y}{h}\ [/mm] =\ [mm] \frac{x}{a}$
[/mm]
LG
Al-Chwarizmi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:41 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Lewser |
Wunderbar, Vielen Dank!
Jetzt müsste jemand einmal meine Rechnung überprüfen, da ist mal wieder der Wurm drin:
A=x*y
[mm] \bruch{h-y}{h}=\bruch{x}{a}
[/mm]
[mm] \rightarrow y=h-\bruch{h}{a}x
[/mm]
[mm] A=x*(h-\bruch{h}{a}x)
[/mm]
[mm] \rightarrow A=xh-\bruch{h}{a}x^{2}
[/mm]
[mm] A'=h-2\bruch{h}{a}x
[/mm]
[mm] \rightarrow [/mm] A'=0: [mm] 0=h-2\bruch{h}{a}x \rightarrow x=\bruch{a}{2}
[/mm]
In der Lösung steht [mm] \bruch{a*h}{4}. [/mm] Wo bin ich diesmal falsch abgebogen?
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> Wunderbar, Vielen Dank!
>
> Jetzt müsste jemand einmal meine Rechnung überprüfen, da
> ist mal wieder der Wurm drin:
>
> A=x*y
>
> [mm]\bruch{h-y}{h}=\bruch{x}{a}[/mm]
>
> [mm]\rightarrow y=h-\bruch{h}{a}x[/mm]
>
> [mm]A=x*(h-\bruch{h}{a}x)[/mm]
>
> [mm]\rightarrow A=xh-\bruch{h}{a}x^{2}[/mm]
>
> [mm]A'=h-2\bruch{h}{a}x[/mm]
>
> [mm]\rightarrow[/mm] A'=0: [mm]0=h-2\bruch{h}{a}x \rightarrow x=\bruch{a}{2}[/mm]
>
> In der Lösung steht [mm]\bruch{a*h}{4}.[/mm] Wo bin ich diesmal
> falsch abgebogen?
Guten Tag Lewser,
du bist nicht falsch abgebogen, sondern nur
kurz vor dem Ziel stecken geblieben.
Was bedeutet dein Schlussergebnis [mm] \bruch{a}{2} [/mm] geometrisch ?
Und wie lautet der Satz mit dem Fragezeichen in der Aufgabe ?
Ferner: denk auch noch daran, die Maximal-
eigenschaft zu begründen !
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:38 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Lewser |
A=x*y Maximum bei [mm] \bruch{a}{2} \rightarrow A=\bruch{a}{2}*(h-h\bruch{\bruch{a}{2}}{a}) \rightarrow A=\bruch{a*h}{4}
[/mm]
Das Maximum könnte man mit der zweiten Ableitung prüfen, allerdings würde ich argumentieren, dass der kleinste Flächeninhalt 0 wäre und es sich somit um ein Maximum handeln muss. Ist das zulässig?
Vielen Dank für die Hinweise!
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> A=x*y Maximum bei [mm]\bruch{a}{2} \rightarrow A=\bruch{a}{2}*(h-h\bruch{\bruch{a}{2}}{a}) \rightarrow A=\bruch{a*h}{4}[/mm]
>
> Das Maximum könnte man mit der zweiten Ableitung prüfen,
> allerdings würde ich argumentieren, dass der kleinste
> Flächeninhalt 0 wäre und es sich somit um ein Maximum
> handeln muss. Ist das zulässig?
Du könntest es leicht deutlicher machen, z.B. mit
dem Hinweis darauf, dass der Graph der Funktion
$\ [mm] x\to [/mm] A(x)$ eine "gewöhnliche", nach unten geöffnete
Parabel mit den Nullstellen [mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=a [/mm] ist.
An der Stelle [mm] x=\frac{a}{2} [/mm] muss deshalb wegen der
Symmetrie der Parabel, und weil diese nach unten
geöffnet ist, das Maximum angenommen werden,
nämlich im Scheitelpunkt der Parabel.
Eigentlich käme man mit dieser Art der Argumentation
sogar ohne die Ableitung aus. Oft werden ja auf
diese Art auch schon bei der Behandlung der
quadratischen Funktionen einfache Extremwert-
aufgaben ohne Differentialrechnung gelöst.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:47 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Lewser |
Ah, super, das ist mir gar nicht aufgefallen - macht die Sache aber doppelt verständlicher!
Vielen Dank für Eure Mühe!
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