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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:10 Fr 27.10.2006 | | Autor: | Leni-H |
| Aufgabe | Seien $a,b [mm] \in \IR$ [/mm] mit $a<b$.
Beweisen Sie: Zu jedem $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit $a [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] b$ gibt es eindeutig bestimmte reelle Zahlen [mm] $\lambda, \mu \ge [/mm] 0$ mit [mm] $\lambda+\mu=1$, [/mm] so dass gilt:
[mm] $x=\lambda a+\mu [/mm] b$ |
Hallo!
Ich verstehe bei dieser Aufgabe nicht ganz, was ich als Voraussetzung ansehen kann und was noch bewiesen werden muss. Außerdem weiß ich nicht genau, wie ich vorgehen soll. Für eine Antwort wäre ich euch sehr dankbar!
LG Leni
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> Seien a,b E R mit a<b. Beweisen Sie: zu jedem x E R mit a
> ≤ x ≤ b gibt es eindeutig bestimmte reelle
> Zahlen λ, μ ≥ 0 mit λ+μ=1, so
> dass gilt:
> x=λa+μb
> Hallo!
>
> Ich verstehe bei dieser Aufgabe nicht ganz, was ich als
> Voraussetzung ansehen kann und was noch bewiesen werden muss.
Hallo,
vorausgesetzt ist, daß Du zwei fest vorgegebene Zahlen a unb hast mit der Eigenschaft a<b.
Zeigen sollst Du, daß Du zu einer beliebigen Zahl x, die dazwischen liegt, zwei Zahlen [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] findest mit den angegebenen Eigenschaften.
Zur Vorgehensweise:
Gerne gehe ich so etwas zunächst "experimentell" an. ich habe mir gerade auf meinem Zettelchen die Zahlen a=5 und b= 9 gewählt. Kann ich die 6 so schreiben, wie gefordert?
Kann ich 5< x < 9 schreiben wie gefordert?
Das hat mich auf Ideen gebracht...
Für den Beweis:
wenn Du für vorgegebene a,b und beliebiges x
[mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] (in Abhängigkeit von a,b,x ) angeben kannst - "Ich wahle [mm] \lambda:=... [/mm] und [mm] \mu:=..." [/mm] - und dann zeigst, daß die gewählten Zahlen die passenden Eigenschaften haben, bist Du fertig.
Falls Du irgendwo dividieren mußt: schön aufpassen, daß Du nicht durch 0 teilst, bzw. begründen, warum der Teiler nicht =0 ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Leni-H |
| Aufgabe | Seien a,b E R mit a<b. Beweisen Sie: zu jedem x E R mit a
> ≤ x ≤ b gibt es eindeutig bestimmte reelle
> Zahlen λ, μ ≥ 0 mit λ+μ=1, so
> dass gilt:
> x=λa+μb
> Hallo!
>
> Ich verstehe bei dieser Aufgabe nicht ganz, was ich als
> Voraussetzung ansehen kann und was noch bewiesen werden muss.
Hallo, |
Hallo Angela!
Vielen Dank für deine Antwort! Hab mich echt gefreut, dass sich jemand um mein Problem gekümmert hat  !
Jetzt wollt ich dich mal fragen, ob ich auch richtig vorgegangen bin. Ich hab jetzt zuerst mal λ+μ=1 in λ=1-μ und/oder μ=1-λ umgeformt und diese Gleichungen dann jeweils in x=λa+μb eingesetzt und dann nach λ bzw. μ aufgelöst. Ich erhalte dann als Ergebnisse:
λ= (b-x)/(b-a) und μ=(x-a)/(b-a)
Kann ich jetzt davon ausgehen bzw. behaupten, dass λ und μ durch diesen Bruch eindeutig bestimmt sind, weil der Nenner nie 0 werden kann (da ja b-a > 0 ist) ??
Als nächstes hab ich geschaut, ob λ+μ auch wirklich 1 ergibt. Dazu hab ich die beiden Brrüche addiert und erhalte nach Umformen (b-a)/(b-a), was ja 1 ergibt. Ist diese Vorgehensweise richtig bzw. muss ich dies überhaupt zeigen?
Danach habe ich noch gezeigt, dass die Gleichung x=λa+μb richtig ist. Dazu habe ich für λ und μ wiederum die Brüche eingesetzt und erhalte dann
x=((b-x)/(b-a))a+((x-a)/(b-a))b.... weiterhin ergibt sich nach Umformen
x=(xb-xa)/(b-a) = (x(b-a))/(b-a) = (x/1) = x.
Bin ich jetzt schon fertig oder muss ich noch irgendwie zeigen, dass x zwischen a und b liegt?
Es wäre echt super, wenn du mir nochmal kurz zurückschreiben würdest!
Viele liebe Grüße,
Leni
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> Seien a,b E R mit a<b. Beweisen Sie: zu jedem x E R mit a
> > ≤ x ≤ b gibt es eindeutig bestimmte reelle
> > Zahlen λ, μ ≥ 0 mit λ+μ=1, so
> > dass gilt:
> Jetzt wollt ich dich mal fragen, ob ich auch richtig
> vorgegangen bin. Ich hab jetzt zuerst mal λ+μ=1
> in λ=1-μ und/oder μ=1-λ umgeformt und
> diese Gleichungen dann jeweils in x=λa+μb
> eingesetzt und dann nach λ bzw. μ aufgelöst. Ich
> erhalte dann als Ergebnisse:
>
> λ= (b-x)/(b-a) und μ=(x-a)/(b-a)
Du hast das gut gemacht. Alles, was Du bisher getan hast, ist "geheim", auf Schmierpapier. Man hat oft solche Geheimnisse.
Ich versuche Dir bei der Formulierung dessen zu helfen, was Du weiter unten schreibst, und hoffe, daß ich Tatsachen und Begriffe erwische, die bei Euch dran waren.
Jetzt gehst Du daher und sagst:
Seien a,b [mm] \in \IR, [/mm] sei x [mm] \in \IR [/mm] mit a<x<b.
Wegen a<b ist [mm] b-a\not= [/mm] 0. also hat b-a ein inverses Element [mm] (b-a)^{-1}.
[/mm]
Daher kann ich [mm] \lambda, \mu \in \IR [/mm] definieren durch [mm] \lambda:= (b-x)(b-a)^{-1} [/mm] und [mm] \mu:=(a-x)(b-a)^{-1}.
[/mm]
Es ist
[mm] \lambda+ \mu
[/mm]
[mm] =(b-x)(b-a)^{-1}+(a-x)(b-a)^{-1}
[/mm]
=( ... [mm] )(b-a)^{-1} [/mm] (Distributivgesetz)
=...
=...
= 1 (Ich vermute, daß Du jeden Schritt der Umformung begründen mußt)
und es ist
[mm] \lambda [/mm] a + [mm] \mu [/mm] b
= ... (auch hier langsam umformen und begründen)
Damit wärest Du fertig.
Gruß v. Angela
> Kann ich jetzt davon ausgehen bzw. behaupten, dass λ
> und μ durch diesen Bruch eindeutig bestimmt sind, weil
> der Nenner nie 0 werden kann (da ja b-a > 0 ist) ??
>
> Als nächstes hab ich geschaut, ob λ+μ auch
> wirklich 1 ergibt. Dazu hab ich die beiden Brrüche addiert
> und erhalte nach Umformen (b-a)/(b-a), was ja 1 ergibt. Ist
> diese Vorgehensweise richtig bzw. muss ich dies überhaupt
> zeigen?
>
> Danach habe ich noch gezeigt, dass die Gleichung
> x=λa+μb richtig ist. Dazu habe ich für λ und
> μ wiederum die Brüche eingesetzt und erhalte dann
> x=((b-x)/(b-a))a+((x-a)/(b-a))b.... weiterhin ergibt sich
> nach Umformen
> x=(xb-xa)/(b-a) = (x(b-a))/(b-a) = (x/1) = x.
>
> Bin ich jetzt schon fertig oder muss ich noch irgendwie
> zeigen, dass x zwischen a und b liegt?
>
> Es wäre echt super, wenn du mir nochmal kurz
> zurückschreiben würdest!
>
> Viele liebe Grüße,
>
> Leni
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