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Rechnen mit Logarithmen: Methode
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:40 Do 20.04.2006
Autor: BeniMuller

Aufgabe
Bestimme die Lösungsmenge:
[mm]lg(x-1999)=lg2000-lgx[/mm]

*Nic rumgepostet*

Ich gehe davon aus, dass lg hier [mm] log_{10} [/mm] meint, also den Zehnerlogarithmus.

Ich gebe in meinen  TI-89 Titanium  ein:
[mm]Solve(log(x-1999)=log(2000)-log(x),x)[/mm]

Mein TI-89 Titanium spuckt anstandslos aus:
[mm]x=2000[/mm]

Nachrechnen ergibt dass, dieses Resultat stimmt

[mm]\lg(2000-1999)=\lg(1)=\lg(2000)-\lg(2000)=\bruch{\lg(2000)}{\lg(2000)}=\lg(1)[/mm]

Meine Fragen:
1. Gibt es weitere Lösungen ?

1. Nach welcher Methode finde ich dieses Resultat, wenn die Batterien meines Rechners gerade mal leer sind ?


Grüsse aus Zürich
        
Bezug
Rechnen mit Logarithmen: rechnerische Lösung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:47 Do 20.04.2006
Autor: Roadrunner

Hallo Beni!


> Ich gehe davon aus, dass lg hier [mm]log_{10}[/mm] meint, also den
> Zehnerlogarithmus.

[ok]



> Meine Fragen:
> 1. Gibt es weitere Lösungen ?

Nein! Auch wenn der rechnerische Weg zunächst zwei vermeintliche Lösungswerte aufweist.


> 1. Nach welcher Methode finde ich dieses Resultat, wenn die Batterien
> meines Rechners gerade mal leer sind ?

In den Laden gehen, und neue kaufen...? ;-=


Im Ernst: Wende hier zunächst auf der rechten Seite ein MBLogarithmusgesetz an:

[mm] $\log_b(x)-\log_b(y) [/mm] \ = \ [mm] \log_\left(\bruch{x}{y}\right)$ [/mm]


Damit wird:

[mm] $\lg(x-1999) [/mm] \ = \ [mm] \lg\left(\bruch{2000}{x}\right)$ [/mm]

[mm] $\gdw$ [/mm]   $x-1999 \ = \ [mm] \bruch{2000}{x}$ [/mm]


Hieraus entsteht nun eine quadratische Gleichung (Lösung mit MBp/q-Formel) sowie mit zwei Lösungen.

Davon ist jedoch eine nicht im Definitionsbereich der Ausgangsgleichung enthalten (warum?).


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                
Bezug
Rechnen mit Logarithmen: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:40 Do 20.04.2006
Autor: BeniMuller

Lieber Roadrunner

Ganz herzlichen Dank für Deine superschnelle Antwort.

Den rechnerischen Weg habe ich durchprobiert und erhalte

[mm]x_{1,2}=999.5 \pm 1000.5[/mm]

[mm]x_{1}=2000[/mm]
[mm]x_{2}=-1[/mm]

Die Lösung -1 ist nicht definiert, weil der Numerus immer > 0 sein muss.

Denn

[mm]Log_{10}(-1)=a[/mm]

bedeutet ja nichts anderes als

[mm]10^{a}=-1[/mm]

was unmöglich ist.


Frühlingsgrüsse aus dem prächtig erblüten Zürich, so alle auf der Strasse waren und ich daher auch nicht vor dem Computer.
Bezug
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