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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:38 Di 18.04.2006 | | Autor: | LY654 |
| Aufgabe 1 | | Zeigen Sie, dass für a,b E R*+ / (1) gilt: [mm] log_{a} [/mm] b * [mm] log_{b} [/mm] a = 10 |
| Aufgabe 2 | Geben sie alle Lösungen der Logarithmusgleichung an:
2 lgx = lg (9x -20) |
| Aufgabe 3 | Welcher der folgenden Terme ist definiert, welcher nicht? (Mit Begründung)
a) lg [mm] (lg(\bruch{1}{2})) [/mm]
b) lg ( [mm] log_{\bruch{1}{3}}(1))
[/mm]
c) [mm] exp_{3} [/mm] (lg(1)) |
| Aufgabe 4 | Für lg(3) gilt die Abschätzung 0,4 < lg(3) < 0,5
Weisen sie ausführlich nach, dass für lg(2) die Ungleichungskette
0,3 < lg (2) < 0,4 erfüllt ist! |
Hallo Leute,
wieder sitze ich vor Mathehausaufgaben und mein Kopf raucht. Das ist definitiv nicht mein Thema. Um ehrlich zu sein, ich verstehe garnichts, obwohl ich dieses Thema nun mehrfach versucht habe durchzuarbeiten. Wenn ich mich mit dem Thema beschäftige, mir die Aufgaben dazu lese und die Beispiele, meine ich ich würde es nun endlich verstehen. Wenn ich aber dann versuche selber die Aufgaben zu lösen, stehe ich auf dem Schlauch und komme absolut nicht weiter. Wahrscheinlich sind die Aufgabe total easy, aber wenn man keinen Durchblick hat, was kann man dann tun? Wer kann mir helfen? Würde mich sehr freuen, wenn mir geholfen werden kann. Vielleicht habt ihr einige Tipps für mich?
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Hallo Stefan!!!
... und einen schönen guten Morgen  !
Ich hab nicht ganz so viel Zeit, aber ich gucke mal, wie viel ich schaffe...
Also, dann mal los:
Aufgabe 1:
Da denke ich, du hast dich verschrieben, es muss lauten:
[mm]log_a(b)*log_b(a)=\ \red{1}[/mm]
Das kann man erstmal umstellen:
[mm]log_a(b)=\left \bruch{\ \red{1}}{log_b(a)} \right[/mm]
...das müsste man nun zeigen. Dazu... du hast doch bestimme zum Thema Logarithmen schon eimal etwas von einem Basiswechsel gehört.
Ich versuche dir mal, ein Beispiel dazu zu verdeutlichen:
[mm]log_4(2)[/mm]
Diesen Logarithmus kannst du auch schreiben, als ein Logarithmus zu einer anderen Basis. Zum Beispiel wähle ich die Basis [mm]8[/mm].
Dann kann ich
[mm]log_4(2)[/mm]
schreiben als:
[mm]log_{\ \blue{4}}(\ \red{2})=\left \bruch{log_{\ \green{8}}(\ \red{2})}{log_{\ \green{8}}(\ \blue{4})} \right[/mm]
Die "neue" Basis [mm]8[/mm] ist als grüne Ziffer gekennzeichnet.
Das gleiche machen wir jetzt [mm]log_a(b)[/mm], wir wählen jedoch als neue Basis nicht [mm]8[/mm], sondern [mm]b[/mm].
Pass auf:
[mm]log_{\ \blue{a}}(\ \red{b})=\left \bruch{log_{\ \green{b}}(\ \red{b})}{log_{\ \green{b}}(\ \blue{a})} \right[/mm]
... dabei fällt jeodch sofort ein Sonderfall der Logarithmen ins Auge:
[mm]log_{\ \green{b}}}(\ \red{b})[/mm]
... und da kommt natürlich [mm]1[/mm] raus. Also vereinfacht sich das ganze zu:
[mm]log_{\ \blue{a}}(\ \red{b})=\left \bruch{\ \red{1}}{log_{\ \green{b}}(\ \blue{a})} \right[/mm]
Nun und genau diese Gleichung (genau genommen eine Identität) ist die, die wir zeigen sollten, naja, hmmm: Nocht nicht ganz!
Wie oben schon eimal gezeigt, müsssen wir noch mit
[mm]{log_{\ \green{b}}(\ \blue{a})[/mm]
malnehmen, um genau die Gleichung zu haben, die du zeigen solltest!
Wir erhalten also:
[mm]log_{\ \blue{a}}(\ \red{b})*{log_{\ \green{b}}(\ \blue{a})=\ \red{1}[/mm]
Und das ist dann genau das, was du zeigen solltest!
Hier noch mal im Vergleich:
[mm]log_{\ \blue{a}}(\ \red{b})*{log_{\ \green{b}}(\ \blue{a})=\ \red{1}[/mm]
und
[mm]log_a(b)*log_b(a)=\ \red{1}[/mm]
Aufgabe 2:
Du hast es mit einer so gennanten Logarithmusgleichung zu tun. Das erkennst du daran, dass die Unbekannte im Logarithmus steht.
Nun zur Lösung dieser Gleichung.
[mm]2*lg(x)=lg(9x-20)[/mm]
Nun kannst du nach dem so gennanten 3. Logarithmusgestz folgende Umformung fornehmen:
[mm]\ \red{2}*lg(x)=lg(9x-20)[/mm]
[mm]lg(\ \red{x^2})=lg(9x-20)[/mm]
Nun fällt auf, beide Seiten der Gleichung sind zur Basis [mm]10[/mm] loagrithmiert. Das erkennt man hier: [mm]\ \red{lg}(a)=log_{\ \red{10}}(a)[/mm]
Nun macht man also das "Gegenteil", die Umkehroperation des Logarithmierens, das Potenzieren! Und zu welcher Basis? natürlich zur Basis [mm]10[/mm], also los!
[mm]10^{lg(x^2)}=10^{lg(9x-20)}[/mm]
So, und nun hebt sich das Potenzieren gegen das Logarithmieren auf... wir erhalten:
[mm]x^2=9x-20[/mm]
Die Gleichung stellen wir ein bischen um:
[mm]x^2-9x+20=0[/mm]
.... und das ist eine sehr schöne quadratische Gleichung. Wir lösen sie am besten mit der p-q Formel:
Wir erkennen:
[mm]p=-9[/mm]
[mm]q=20[/mm]
[mm]x_{1;2}=\left \bruch{-p}{2} \right\pm\wurzel{\left( \bruch{p}{2} \right)²-q}[/mm]
[mm]x_{1;2}=\left \bruch{-(-9)}{2} \right\pm\wurzel{\left( \bruch{-9}{2} \right)²-20}[/mm]
[mm]x_{1;2}=4,5\pm\wurzel{{20,25-20}}[/mm]
[mm]x_{1;2}=4,5\pm\wurzel{0,25}[/mm]
[mm]x_{1;2}=4,5\pm0,5[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]x_1=4[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]x_2=5[/mm]
Daher haben wir die Lösungsmenge der Logarithmusgleichung bestimmt:
[mm]L=\left\{4;5\right\}[/mm]
Ich hoffe, ich konnte dir helfen, auch wenn ich jetzt nur Aufgabe 1 und 2 bearbeitet habe. Eventuall bearbeite ich nachher noch welche.
Ich denke jedoch, dass Aufgabe 1 eine der "wichtigsten" dieser Aufgaben ist, da dort ein wichtiger Satz über Logarithmen bewiesen wird!
Mit fruendlichen Grüßen
Goldener Schnitt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:14 Mo 24.04.2006 | | Autor: | LY654 |
Hallo,
wollte mich für deine Hilfe bedanken, konnte erst jetzt lesen, da ich in Urlaub war. Klingt irgendwie garnicht so schwer, warum kann ich nur nicht selber zur Lösung kommen? Wünsche dir noch einen schönen Tag.
Liebe Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Di 18.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Ly
Wenn man mit log umgehen lernt sollte man immer an die def. des [mm] log_{a} [/mm] denken.
> Zeigen Sie, dass für a,b E R*+ / (1) gilt: [mm]log_{a}[/mm] b *
> [mm]log_{b}[/mm] a = 10
10 ist ein druckfehler, 1 ist richtig:
Nach Definition ist u= [mm] log_{a} [/mm] b <==> [mm] a^{u}=b
[/mm]
v= [mm] log_{b} [/mm] a <==> [mm] b^{v}=a
[/mm]
daraus folgt [mm] (b^{v})^{u}=b b^{v*u}=b [/mm] und damit u*v=1 was zu beweosen war
> Geben sie alle Lösungen der Logarithmusgleichung an:
> 2 lgx = lg (9x -20)
[mm] <==>$lgx^2 [/mm] =lg(9x-20)$ Umkehrfkt: [mm] x^2 [/mm] =9x-20 lösen, da lg nur für argumente >0 definiert ist nachprüfen, ob die Lösg im defber x>20/9 liegt!
> Welcher der folgenden Terme ist definiert, welcher nicht?
> (Mit Begründung)
> a) lg [mm](lg(\bruch{1}{2}))[/mm]
> b) lg ( [mm]log_{\bruch{1}{3}}(1))[/mm]
> c) [mm]exp_{3}[/mm] (lg(1))
lg(u) ist definiert nur für u>0
a) lg(2^(-1)=-lg2<0 also ?
b) [mm] log_{a} [/mm] 1=0 unabh. von a denn [mm] a^{0}=1
[/mm]
c) exp ist für alle reellen Zahlen def. lg1=0
Soweit erst mal.
Fur die nächst Aufgabe, was weisst du über die lg(x) funktion?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:47 Mo 24.04.2006 | | Autor: | LY654 |
Hallo,
wollte mich für deine Antwort bedanken. Sorry, habe erst heute gelesen, da ich in Urlaub war. Zu deiner Frage, ehrlich gesagt, ich weiß nicht genau was du meinst. Vielleicht kannst du mir ja wieder schreiben?
Liebe Grüsse
Stefan
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