"Rechenregeln für Komplemente" < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei M eine”große“ Menge mit zwei”kleineren“ Teilmengen A und B.
Das Komplement AC von A ist definiert als [mm] A^c [/mm] = M \ A.
Machen Sie sich die folgenden vier”Rechenregeln für Komplemente“ durch Skizzen klar und beweisen
Sie zwei davon.
(i) [mm] (A^c)^c [/mm] = A (ii) A \ B = A [mm] \cup B^c
[/mm]
(iii) (A [mm] \cup B)^c [/mm] = [mm] A^c \cap B^c [/mm] (iv) (A [mm] \cap B)^c [/mm] = [mm] A^c \cup B^c [/mm] |
Hallo,
ich habe seit kurzem Mathevorkurse in der Uni (möchte Biologie studieren) und arbeite mich gerade durch die Aufgaben durch, die ich für die Übungen bekam und hab dabei Probleme. Hier die erste Aufgabe.
So, zeichnerisch kann ich mir ii), iii) und iv) gut klar machen, aber i, also [mm] (A^c)^c [/mm] = A will mir nicht in den Sinn. Wird das Komplement [mm] A^c [/mm] umgekehrt?
Und dann zum zweiten Teil der Aufgabenstellung: Ich würde gerne iii) oder iv) beweisen, komme aber nicht so ganz dahinter, wie ich dies anstellen soll. Wir haben zwar in den Übungen die De Morgansche Regeln bewiesen, aber so knapp und bündig, dass es für mich als Mathe-Laie in dem Moment verständlich war, ich es aber jetzt nicht auf diese Aufgabe anwenden kann (eh mein Problem in Mathe: Kann gut Formeln anwenden, sie aber schlecht auf etwas anderes ummünzen...).
Ich hatte mir auch überlegt, so anzufangen wie dort, komme dann aber nicht weiter (bzw weiß nicht, ob ich überhaupt so anfangen kann):
III) (A [mm] \cup B)^c [/mm] = [mm] A^c \cap B^c \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup B)^c \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] (A [mm] \cup\ [/mm] B)
Irgendwie ist mein Lösungsansatz... falsch. Zumindest komm ich nicht weiter.
Wäre klasse, wenn ihr mir helfen könntet.:)
Grüße,
Sebastian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Di 15.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei M eine”große“ Menge mit zwei”kleineren“
> Teilmengen A und B.
> Das Komplement AC von A ist definiert als [mm]A^c[/mm] = M \ A.
> Machen Sie sich die folgenden vier”Rechenregeln für
> Komplemente“ durch Skizzen klar und beweisen
> Sie zwei davon.
> (i) [mm](A^c)^c[/mm] = A (ii) A \ B = A [mm]\cup B^c[/mm]
> (iii) (A [mm]\cup B)^c[/mm]
> = [mm]A^c \cap B^c[/mm] (iv) (A [mm]\cap B)^c[/mm] = [mm]A^c \cup B^c[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe seit kurzem Mathevorkurse in der Uni (möchte
> Biologie studieren) und arbeite mich gerade durch die
> Aufgaben durch, die ich für die Übungen bekam und hab
> dabei Probleme. Hier die erste Aufgabe.
>
> So, zeichnerisch kann ich mir ii), iii) und iv) gut klar
> machen, aber i, also [mm](A^c)^c[/mm] = A will mir nicht in den
> Sinn. Wird das Komplement [mm]A^c[/mm] umgekehrt?
[mm](A^c)^c[/mm] ist das Komplement vom Komplement von A, d.h.:
$x [mm] \in (A^c)^c \gdw [/mm] x [mm] \notin A^c \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] A$
>
> Und dann zum zweiten Teil der Aufgabenstellung: Ich würde
> gerne iii) oder iv) beweisen, komme aber nicht so ganz
> dahinter, wie ich dies anstellen soll. Wir haben zwar in
> den Übungen die De Morgansche Regeln bewiesen, aber so
> knapp und bündig, dass es für mich als Mathe-Laie in dem
> Moment verständlich war, ich es aber jetzt nicht auf diese
> Aufgabe anwenden kann (eh mein Problem in Mathe: Kann gut
> Formeln anwenden, sie aber schlecht auf etwas anderes
> ummünzen...).
> Ich hatte mir auch überlegt, so anzufangen wie dort,
> komme dann aber nicht weiter (bzw weiß nicht, ob ich
> überhaupt so anfangen kann):
> III) (A [mm]\cup B)^c[/mm] = [mm]A^c \cap B^c \Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] (A [mm]\cup B)^c \wedge[/mm]
> x [mm]\not\in[/mm] (A [mm]\cup\[/mm] B)
>
> Irgendwie ist mein Lösungsansatz... falsch.
Das ist er.
$ x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup B)^c \gdw [/mm] x [mm] \notin [/mm] A [mm] \cup [/mm] B [mm] \gdw [/mm] (x [mm] \notin [/mm] A$ und $x [mm] \notin [/mm] B ) [mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in A^c$ [/mm] und $x [mm] \in B^c) \gdw [/mm] x [mm] \in A^c \cap B^c$
[/mm]
FRED
Zumindest komm
> ich nicht weiter.
>
> Wäre klasse, wenn ihr mir helfen könntet.:)
>
> Grüße,
> Sebastian
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:17 Di 15.09.2009 | | Autor: | Silestius |
Wow, was für ne schnelle Antwort!:)
> [mm](A^c)^c[/mm] ist das Komplement vom Komplement von A, d.h.:
>
> [mm]x \in (A^c)^c \gdw x \notin A^c \gdw x \in A[/mm]
Ah, jetzt versteh ich das.:)
> Das ist er.
>
>
> [mm]x \in (A \cup B)^c \gdw x \notin A \cup B \gdw (x \notin A[/mm]
> und [mm]x \notin B ) \gdw (x \in A^c[/mm] und [mm]x \in B^c) \gdw x \in A^c \cap B^c[/mm]
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>
> FRED
Jetzt leuchtet mir das ein. Irgendwie kam ich nicht dahin. Riesiges Danke!
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