Rechenregel Polynome gesucht < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:20 Do 08.11.2012 | | Autor: | jottbe |
| Aufgabe | Es handelt sich hierbei nicht um eine Übungsaufgabe, sondern eine Fragestellung, die mir im Rahmen einer zahlentheoretischen Betrachtung untergekommen ist.
Sei P(x) und Q(x) jwewils ein Polynom mit Ganzzahligen Koeffizienten und
[mm] P(x^n) [/mm] = P(x) * Q(x) |
Wenn im speziellen Fall beweisbar ist, daß es ein solches Q(x) gibt, lassen sich dann irgendwelche Aussagen über die Koeffizienten und Exponenten für dieses Q(x) allgemeingültig ableiten?
Mir geht es hier nicht um ein konkretes Polynom P(x), sondern um eine allgemeine Betrachtung, deshalb hilft mir hier eine Polynomdivision leider nicht weiter.
Gibt es evtl. sogar noch allgemeinere Sätze über das Einsetzen von Polynomen, z.B. über
P(P'(x)) = P(x) * Q(x)
Wenn P'(x) ein weiteres (vorgegebenes) Polynom über Z ist.
Falls es dafür bekannte Rechenregeln gäbe, wäre es evtl möglich eine allgemeine Summenformel für eine Formel abzuleiten, die ich gerade untersuche. Jede Hilfe ist deshalb sehr willkommen. Gerne auch, wenn jemand einen Tip hat, wo ich nach sowas suchen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
In meinem speziellen Fall sind die Koeffizienten der Polynome P(x) und damit auch Q(x) übrigens "symmetrisch" in der Art, daß wenn
[mm] P(x)=\summe_{i=1}^{m}{b_{i}x^i} [/mm]
die Darstellung von P(x) ist, dann daraus folgt, daß [mm] b_i=b_{m-i}. [/mm] Daraus ist dann ableitbar, daß diese Symmetrie auch für [mm] P(x^n) [/mm] und auch für Q(x) gelten muss. Außerdem ist dann bei allen drei Polynomen [mm] b_{0}=1 [/mm] (d.h. im unreinen gesprochen, der höchste Koeffizient ist ebenfalls 1).
Evtl. hilft diese Aussage weiter?!
Viele Grüße & Danke im Voraus
Jürgen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:30 Fr 09.11.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Juergen!
> Es handelt sich hierbei nicht um eine Übungsaufgabe,
> sondern eine Fragestellung, die mir im Rahmen einer
> zahlentheoretischen Betrachtung untergekommen ist.
>
> Sei P(x) und Q(x) jwewils ein Polynom mit Ganzzahligen
> Koeffizienten und
>
> [mm]P(x^n)[/mm] = P(x) * Q(x)
>
>
> Wenn im speziellen Fall beweisbar ist, daß es ein solches
> Q(x) gibt, lassen sich dann irgendwelche Aussagen über die
> Koeffizienten und Exponenten für dieses Q(x)
> allgemeingültig ableiten?
Mir ist nichts in der Richtung bekannt.
> Mir geht es hier nicht um ein konkretes Polynom P(x),
> sondern um eine allgemeine Betrachtung, deshalb hilft mir
> hier eine Polynomdivision leider nicht weiter.
>
> Gibt es evtl. sogar noch allgemeinere Sätze über das
> Einsetzen von Polynomen, z.B. über
>
> P(P'(x)) = P(x) * Q(x)
>
> Wenn P'(x) ein weiteres (vorgegebenes) Polynom über Z
> ist.
Ebenfalls nichts gehoert.
> Falls es dafür bekannte Rechenregeln gäbe, wäre es evtl
> möglich eine allgemeine Summenformel für eine Formel
> abzuleiten, die ich gerade untersuche. Jede Hilfe ist
> deshalb sehr willkommen. Gerne auch, wenn jemand einen Tip
> hat, wo ich nach sowas suchen könnte.
Die Gleichung $P(P'(x)) = P(x) * Q(x)$ ist -- wenn man $P$ und $P'$ fest waehlt -- ein lineares Gleichungssystem in den Koeffizienten von $Q$. Damit wuerde ich anfangen. Insbesondere bei $P'(x) = [mm] x^n$ [/mm] ist es ein recht einfaches 
Ich wuerd es mit der ![[]](/images/popup.gif) Cramerschen Regel und verschiedenen Abschaetzungen fuer Determinanten versuchen.
> In meinem speziellen Fall sind die Koeffizienten der
> Polynome P(x) und damit auch Q(x) übrigens "symmetrisch"
> in der Art, daß wenn
>
> [mm]P(x)=\summe_{i=1}^{m}{b_{i}x^i}[/mm]
>
> die Darstellung von P(x) ist, dann daraus folgt, daß
> [mm]b_i=b_{m-i}.[/mm] Daraus ist dann ableitbar, daß diese
> Symmetrie auch für [mm]P(x^n)[/mm] und auch für Q(x) gelten muss.
> Außerdem ist dann bei allen drei Polynomen [mm]b_{0}=1[/mm] (d.h.
> im unreinen gesprochen, der höchste Koeffizient ist
> ebenfalls 1).
>
> Evtl. hilft diese Aussage weiter?!
Das wird das LGS etwas vereinfachen. Eventuell kannst du dann Determinanten besser abschaetzen. Probier's doch mal aus :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:57 So 11.11.2012 | | Autor: | jottbe |
Hallo Felix,
vielen Dank für den Tip. Du meinst damit sicher die LGS-Darstellung der Polynomdivision, oder?
Ich schau mir das mal an. Die Sache ist nur die, daß ich das Polynom P(x) nicht kenne. Konkret könnte ich es natürlich schon rechnen und dann könnte ich rein mit der Polynomdivision konkret auch ausrechnen, aber es geht mir nicht um den konkreten Fall, sondern darum, ob es evtl eine allgemeine Form gibt, in der man das Ergebnispolynom direkt angeben kann.
Das Polynom, das ich suche, läßt sich folgendermaßen ermitteln:
[mm] \produkt_{t\ quadratfrei\ teilt\ x} (a^{x/t}-1)^{(-1)^{h(x)-h(t)}}
[/mm]
Wenn h(x) die Anzahl der Primteiler ist, also:
h(x):= | [mm] \{p \in \IN | p\ prim \wedge p\ teilt\ x \} [/mm] |
Es enthält einige Symmetrien und für interessante Besonderheiten. Z.B. ist der höchste Exponent der Funktion immer phi(x).
Für x mit h(x) >= 4 hat das Polynom übrigens locker mal mehr als 1000 Summanden. Das mit den Determinanten könnte da etwas aufwändiger werden, oder?
Gruß & Danke nochmal
Jürgen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:32 So 11.11.2012 | | Autor: | jottbe |
Hallo Reverend,
vielen Dank für die Antwort. Klar, das hilft mir weiter, vor allem weiss ich jetzt, daß ich nach palindromischen Polynomen suchen kann.
We findet man sowas eigentlich? muss man das wissen, oder gbits da einen Trick?
Gruß & Danke
Jürgen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:34 So 11.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Jürgen,
> vielen Dank für die Antwort. Klar, das hilft mir weiter,
> vor allem weiss ich jetzt, daß ich nach palindromischen
> Polynomen suchen kann.
> We findet man sowas eigentlich? muss man das wissen, oder
> gbits da einen Trick?
In diesem Fall wusste ich in irgendeiner dunklen Ecke im Gerümpelkeller meines Gedächtnisses, dass es so etwas gibt; habe mich vor Jahren mal mit verschiedenen anderen Palindromen beschäftigt.
Allein wenn man das Wort kennt, müsste man aber auch schon fündig werden.
Von Kreisteilungspolynomen habe ich auch schon gehört, aber darauf wäre ich z.B. garantiert nicht gekommen, weil ich nicht gewusst noch gedacht hätte, dass sie palindromisch sind.
Ansonsten ist so ein Forum wie dieses eben gerade gut, eigenartige Fragen und befremdliches Halbwissen zusammenzubringen. 
Hat ja geklappt.
Viel Erfolg bei der weiteren Suche!
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:08 So 11.11.2012 | | Autor: | jottbe |
Hi reverend,
danke nochmal für Deine Rückmeldung. Da ich jetzt genauer suchen konnte, weiss ich jetzt auch, wie die Funktion für das Polynom heisst, das ich suche. Es ist die Formel für das n-te cyclotomische Polynom. Ich glaube auf deutsch heisst das Ding "Kreisteilungspolynom".
Hmmm ich schätz mal, wenns eine allgemeine Lösung in Form einer Summenformel geben würde, hätte man die sicher schon gefunden :o(
Gruß
Jürgen
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