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Real- und Imaginärteil: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:18 Di 23.11.2010
Autor: TheRockstar

Aufgabe
Bestimmen Sie den Real- und Imaginärteil und den Betrag von z:

[mm] z=(\bruch{1+\wurzel{3}i}{1-i})^{4} [/mm]

Hallo,

Also ich komme bei dieser Gleichung nicht weiter.

Bisher ist mein Vorgehen so:

Zuächst ist das was in der Klammer ist, erweitert mit (1+i) :

[mm] \bruch{(1-\wurzel{3})+i(1+\wurzel{3})}{2} [/mm]

Dann rechne ich dies erst mit der Potenz 2 aus (ich versuch es zumindest ;) ):

Also steht [mm] (\bruch{1+\wurzel{3}i}{1-i})^2=\bruch{((1-\wurzel{3})^2)+(i(1+\wurzel{3})^2)}{4} [/mm]

Dafür kann nun auch stehen :

[mm] \bruch{1}{4}((1-\wurzel{3})^2)+(i(1+\wurzel{3})^2) [/mm]

Nun kann ich den linken Term schon ausrechnen und den rechten ausmultiplizieren:

[mm] \bruch{1}{4}(4+((i+\wurzel{3}i)^2) [/mm]

Und nun kommt für mich das eigentlich schwere. Ich wollte nun die rechte Potenz ausrechnen mit

[mm] i^2+2\wurzel{3}i+(\wurzel{3}i)^2 [/mm]

wobei die rechte ausmultipliziert und für [mm] i^2=-1, [/mm] dann

[mm] -1+2\wurzel{3}i+2+2\wurzel{3}i [/mm]

Nun müsste meines Erachtens nach

[mm] \bruch{1}{4}(4-1+2\wurzel{3}i+2+2\wurzel{3}i) [/mm] stehen.

Summiert und ausgeklammert wäre das

[mm] \bruch{1}{4}(5+4\wurzel{3}i) [/mm]

Somit wäre

[mm] z=(\bruch{5}{4}+\wurzel{3}i)^2 [/mm] und folgend...

Leider ist das, was in der Klammer steht schon falsch, also was habe ich falsch gemacht?

Bitte um Hilfe und für jede Dankbar!

Beste Grüße
        
Bezug
Real- und Imaginärteil: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:29 Di 23.11.2010
Autor: schachuzipus

Hallo,

> Bestimmen Sie den Real- und Imaginärteil und den Betrag
> von z:
>
> [mm]z=(\bruch{1+\wurzel{3}i}{1-i})^{4}[/mm]
> Hallo,
>
> Also ich komme bei dieser Gleichung nicht weiter.
>
> Bisher ist mein Vorgehen so:
>
> Zuächst ist das was in der Klammer ist, erweitert mit
> (1+i) : [ok]

Guter Plan!

>
> [mm]\bruch{(1-\wurzel{3})+i(1+\wurzel{3})}{2}[/mm] [ok]
>
> Dann rechne ich dies erst mit der Potenz 2 aus (ich versuch
> es zumindest ;) ):

Beachte: allg. gilt für [mm]z=x+iy[/mm] doch [mm](x+iy)^2 \ = \ x^2-y^2 \ + \ 2ixy[/mm]

Das erspart doch haufenweise Rechnerei.


Du kommst damit in Windeseile auf [mm]\left(\bruch{1+\wurzel{3}i}{1-i}\right)^{2}=-\sqrt{3}-i[/mm]

Dann das nochmal quadrieren ...

>
> Also steht
> [mm](\bruch{1+\wurzel{3}i}{1-i})^2=\bruch{((1-\wurzel{3})^2)+(i(1+\wurzel{3})^2)}{4}[/mm]

*hüstel* [mm](a+bi)^2\neq a^2+ib^2[/mm] !!

Schonmal was von den kaum bekannten und höchst seltenen binomischen Formeln gehört? ;-)

>
> Dafür kann nun auch stehen :
>
> [mm]\bruch{1}{4}((1-\wurzel{3})^2)+(i(1+\wurzel{3})^2)[/mm]
>
> Nun kann ich den linken Term schon ausrechnen und den
> rechten ausmultiplizieren:
>
> [mm]\bruch{1}{4}(4+((i+\wurzel{3}i)^2)[/mm]
>
> Und nun kommt für mich das eigentlich schwere. Ich wollte
> nun die rechte Potenz ausrechnen mit
>
> [mm]i^2+2\wurzel{3}i+(\wurzel{3}i)^2[/mm]
>
> wobei die rechte ausmultipliziert und für [mm]i^2=-1,[/mm] dann
>
> [mm]-1+2\wurzel{3}i+2+2\wurzel{3}i[/mm]
>
> Nun müsste meines Erachtens nach
>
> [mm]\bruch{1}{4}(4-1+2\wurzel{3}i+2+2\wurzel{3}i)[/mm] stehen.
>
> Summiert und ausgeklammert wäre das
>
> [mm]\bruch{1}{4}(5+4\wurzel{3}i)[/mm]
>
> Somit wäre
>
> [mm]z=(\bruch{5}{4}+\wurzel{3}i)^2[/mm] und folgend...
>
> Leider ist das, was in der Klammer steht schon falsch, also
> was habe ich falsch gemacht?

Ganz furchtbar die binomischen Formeln sträflichst missachtet!

>
> Bitte um Hilfe und für jede Dankbar!
>
> Beste Grüße

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Real- und Imaginärteil: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:34 Di 23.11.2010
Autor: TheRockstar


> Hallo,
>  
> > Bestimmen Sie den Real- und Imaginärteil und den Betrag
> > von z:
>  >

> > [mm]z=(\bruch{1+\wurzel{3}i}{1-i})^{4}[/mm]
>  > Hallo,

>  >

> > Also ich komme bei dieser Gleichung nicht weiter.
>  >

> > Bisher ist mein Vorgehen so:
>  >

> > Zuächst ist das was in der Klammer ist, erweitert mit
> > (1+i) : [ok]
>  
> Guter Plan!
>  
> >
> > [mm]\bruch{(1-\wurzel{3})+i(1+\wurzel{3})}{2}[/mm] [ok]
>  >

> > Dann rechne ich dies erst mit der Potenz 2 aus (ich versuch
> > es zumindest ;) ):
>  
> Beachte: allg. gilt für [mm]z=x+iy[/mm] doch [mm](x+iy)^2 \ = \ x^2-y^2 \ + \ 2ixy[/mm]
>  
> Das erspart doch haufenweise Rechnerei.
>  
>
> Du kommst damit in Windeseile auf
> [mm]\left(\bruch{1+\wurzel{3}i}{1-i}\right)^{2}=-\sqrt{3}-i[/mm]
>  
> Dann das nochmal quadrieren ...
>  
> >
> > Also steht
> >
> [mm](\bruch{1+\wurzel{3}i}{1-i})^2=\bruch{((1-\wurzel{3})^2)+(i(1+\wurzel{3})^2)}{4}[/mm]
>  
> *hüstel* [mm](a+bi)^2\neq a^2+ib^2[/mm] !!
>  
> Schonmal was von den kaum bekannten und höchst seltenen
> binomischen Formeln gehört? ;-)
>  

Ohje du hast völlig Recht, ich Dussel...

Dann kann ich den Rest mal kurz ganz vergessen und mit deiner Formel rechnen.

Es würde dann also stehen:

[mm] \bruch{(1-\wurzel{3})^2-(1+\wurzel{2})^2+2((1-\wurzel{3})(1+\wurzel{3})i)}{4} [/mm]

Daraus folgt dann

[mm] \bruch{4-2\wurzel{3}-4+2\wurzel{3}+2((1-\wurzel{3})(1+\wurzel{3})i)}{4} [/mm]

wobei [mm] 4-2\wurzel{3}-4+2\wurzel{3}=0 [/mm] sein dürfte (?)

Jetzt komme ich leider bei der restlichen Gleichung nicht auf deine Lösung :(

Ich multipliziere die Klammern ja nun zuerst miteinander und dann mit i sodass

[mm] 2*(i+\wurzel{3}i-\wurzel{3}i-3i) [/mm] und dsa wiederum ausmultipliziert ergibt am Ende -4i ....

Was habe ich diesmal wieder falsch gemacht?


> >
> > Bitte um Hilfe und für jede Dankbar!
>  >

> > Beste Grüße
>
> Gruß
>  
> schachuzipus
>  

Gruß zurück
Bezug
                        
Bezug
Real- und Imaginärteil: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:13 Di 23.11.2010
Autor: MathePower

Hallo TheRockstar,

> > Hallo,
>  >  
> > > Bestimmen Sie den Real- und Imaginärteil und den Betrag
> > > von z:
>  >  >

> > > [mm]z=(\bruch{1+\wurzel{3}i}{1-i})^{4}[/mm]
>  >  > Hallo,

>  >  >

> > > Also ich komme bei dieser Gleichung nicht weiter.
>  >  >

> > > Bisher ist mein Vorgehen so:
>  >  >

> > > Zuächst ist das was in der Klammer ist, erweitert mit
> > > (1+i) : [ok]
>  >  
> > Guter Plan!
>  >  
> > >
> > > [mm]\bruch{(1-\wurzel{3})+i(1+\wurzel{3})}{2}[/mm] [ok]
>  >  >

> > > Dann rechne ich dies erst mit der Potenz 2 aus (ich versuch
> > > es zumindest ;) ):
>  >  
> > Beachte: allg. gilt für [mm]z=x+iy[/mm] doch [mm](x+iy)^2 \ = \ x^2-y^2 \ + \ 2ixy[/mm]
>  
> >  

> > Das erspart doch haufenweise Rechnerei.
>  >  
> >
> > Du kommst damit in Windeseile auf
> > [mm]\left(\bruch{1+\wurzel{3}i}{1-i}\right)^{2}=-\sqrt{3}-i[/mm]
>  >  
> > Dann das nochmal quadrieren ...
>  >  
> > >
> > > Also steht
> > >
> >
> [mm](\bruch{1+\wurzel{3}i}{1-i})^2=\bruch{((1-\wurzel{3})^2)+(i(1+\wurzel{3})^2)}{4}[/mm]
>  >  
> > *hüstel* [mm](a+bi)^2\neq a^2+ib^2[/mm] !!
>  >  
> > Schonmal was von den kaum bekannten und höchst seltenen
> > binomischen Formeln gehört? ;-)
>  >  
>
> Ohje du hast völlig Recht, ich Dussel...
>
> Dann kann ich den Rest mal kurz ganz vergessen und mit
> deiner Formel rechnen.
>  
> Es würde dann also stehen:
>  
> [mm]\bruch{(1-\wurzel{3})^2-(1+\wurzel{2})^2+2((1-\wurzel{3})(1+\wurzel{3})i)}{4}[/mm]


Hier ist ein Schreibfehler passiert:

[mm]\bruch{(1-\wurzel{3})^2-(1+\wurzel{\blue{3}})^2+2((1-\wurzel{3})(1+\wurzel{3})i)}{4}[/mm]


>  
> Daraus folgt dann
>  
> [mm]\bruch{4-2\wurzel{3}-4+2\wurzel{3}+2((1-\wurzel{3})(1+\wurzel{3})i)}{4}[/mm]


Und hier hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen:

[mm]\bruch{4-2\wurzel{3}-4\red{-}2\wurzel{3}+2((1-\wurzel{3})(1+\wurzel{3})i)}{4}[/mm]


>  
> wobei [mm]4-2\wurzel{3}-4+2\wurzel{3}=0[/mm] sein dürfte (?)
>  
> Jetzt komme ich leider bei der restlichen Gleichung nicht
> auf deine Lösung :(
>
> Ich multipliziere die Klammern ja nun zuerst miteinander
> und dann mit i sodass
>
> [mm]2*(i+\wurzel{3}i-\wurzel{3}i-3i)[/mm] und dsa wiederum
> ausmultipliziert ergibt am Ende -4i ....
>  
> Was habe ich diesmal wieder falsch gemacht?
>  
>
> > >
> > > Bitte um Hilfe und für jede Dankbar!
>  >  >

> > > Beste Grüße
> >
> > Gruß
>  >  
> > schachuzipus
>  >  
>
> Gruß zurück


Gruss
MathePower
Bezug
                                
Bezug
Real- und Imaginärteil: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:51 Mi 24.11.2010
Autor: TheRockstar

Ok danke dir/euch :)
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