Raumkurven/ Flächen 2. Ordnung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 Do 20.07.2006 | | Autor: | amalie |
| Aufgabe | Gegeben ist die Fkt:
f: [mm] \IR^2\to \IR: [/mm] (x,y) [mm] \mapsto x^2y^2-x^2-y^2+1
[/mm]
Schränken Sie f auf den Einheitskreis [mm] {(x,y)\in\IR^2 |x^2+y^2=1} [/mm] ein und unersuchen Sie unter dieser Nebenbedingung f nach Extrema. |
ich habe nun versucht diese Aufgabe zu lösen indem ich die Nebenbedingung nach der Variablen x umstelle und in die Funktion einsetze. Damit müsste ich doch die Schnittmenge der Funktion mit dem Einheitskreis erhalten:
[mm] y^2(1-y^2)=z
[/mm]
Hier ist meine Frage aufgetaucht:
Ich verstehe nicht warum ich nun eine Kurve in einer Fläche erhalte also eine Zweidimensionale Kurve. Rechnerisch ist das klar aber anschaulich müsste ich doch eine Raumkurve erhalten wenn ich mein "Gebirge"(die Ausgangsfunktion die ja jedem Punkt in der x,y-Ebene einen z-wert zuordnet stelle ich mir so vor) auf den Einheitskreis reduziere??
Daran knüpft sich eine weitere Frage: Was ist mathematisch denn eigendlich der Unterschied zwischen einer Raumkurve, einer Fläche zweiter Ordnung (also Hyperboloid, Paraboloid,...) und solch einem Gebirge wie ich es mir vorstelle?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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nun, dein Term ist keine Fläche, auch wenn es irgendwie so aussieht.
Die Formel gibt dir den z-Wert abhängig vom y-Wert, und aus dem y-Wert folgt automatisch der x-Wert (naja, eigentlich zwei x+ und -x)
Nicht immer, wenn eine Gleichung geometrisch irgendwie interpretierbar ist, macht diese Interpretation auch Sinn.
im Übrigen: Ich würde Polarkoordinaten für x und y einsetzen, dann wird die Nebenbedingung einfach zu R=0, und du hättest als einzigen Parameter den Winkel. Abgeleitet sollte das
$4sin [mm] \phi cos³\phi-2sin\phi [/mm] cos [mm] \phi= sin\phi [/mm] cos [mm] \phi (4cos²\phi-2)$ [/mm] sein. Null ist das für [mm] $\phi=n*\bruch{\pi}{4}$ [/mm] , das ist evtl etwas anschaulicher.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Do 20.07.2006 | | Autor: | amalie |
Vielen Dank erstmal!!
Aber heißt das nun das mein Term die Projektion meiner Raumkurve auf die y,z-Ebene ist?
Leider hatten wir noch keine Polarkoordinaten daher verstehe ich das noch nicht so richtig.
lG Amalie
Hat jemand noch evt. eine Antwort auf meine zweite Frage?
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Genau das heißt es.
Du wolltest noch Begriffe erklärt haben:
Raumkurven sind einfach Kurven oder Pfade im Raum, z.B. Graden oder eben kreise. Flächen sind damit eigentlich nicht gemeint.
Flächen 2. Ordnung sind Flächen, deren Funktion ein Polynom 2. Grades ist. Außerdem schreibt man sie meist implizit, es steht also =0 am Ende.
Du hast keine Fläche 2. Ordnung wegen dem term x²*y², das ist 4. Ordnung.
Deine Funktion läßt sich zwar implizit schreiben, aber implizite Funktionen lassen sich meist nicht so schön explizit schreiben, das gibt dann Wurzeln und Fallunterscheidungen, das wird dir schon bei der Kugel x²+y²+z²-R²=0 klar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Do 20.07.2006 | | Autor: | amalie |
Vielen lieben Dank!
bekomme ich dann also meine Extremstellen indem ich den Term ableite und schaue wo diese Ableitung =0 dies ebenfalls für die Projektion auf die x,z-Ebene tue?
nochmal zu den Begriffen:
Bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen sind Terme 1. Ordnung also einfach x und y, Terme 2. Ordnung also [mm] x^2, y^2, x\*y [/mm] usw... bedeutet das nun das ich in einer Gleichung für eine Raumkurve nur Terme erster Ordnung drin haben darf? Wobei wenn eine Fläche 2. Ordnung vorliegt Terme 2. Ordnung vorkommen. Was bedeutet das für mein Vorstellung von einem Gebirge?
Gruß
Amalie
Gruß
Amalie
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> bekomme ich dann also meine Extremstellen indem ich den
> Term ableite und schaue wo diese Ableitung =0 dies
> ebenfalls für die Projektion auf die x,z-Ebene tue?
ja, das geht.
>
> nochmal zu den Begriffen:
>
> Bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen sind Terme 1.
> Ordnung also einfach x und y, Terme 2. Ordnung also [mm]x^2, y^2, x\*y[/mm]
> usw...
richtig
>bedeutet das nun das ich in einer Gleichung für eine
> Raumkurve nur Terme erster Ordnung drin haben darf?
Nein, du könntest als Raumkurve ja y=x³ mit der Bedingung z=0 nehmen, das ist eindeutig dritte Ordnung.
Es ist allerdings meistens nicht einfach möglich, eine Raumkurve durch eine einzelne Gleichung anzugeben, meistens brauchst du zwei Bedingungen, oder du hast eine Parametergleichung (-> Vektordarstellung einer Graden)
>Wobei
> wenn eine Fläche 2. Ordnung vorliegt Terme 2. Ordnung
> vorkommen. Was bedeutet das für mein Vorstellung von einem
> Gebirge?
nur wenig. Dein Gebirge bekommst du ja, indem du die implizite Formel nach z auflöst.
Kommt nur z vor, hast du das typische Gebirge.
Kommt z aber quadratisch vor, gibts ja ne quadratische Gleichung mit 2;1;0 Lösungen. In dem Bereich mit 2 Lösungen hast du sozusagen zwei Gebirge, die dort zusammenstoßen, wo es nur eine Lösung gibt. Ich verweise hier wieder auf die Kugelgleichung.
Wenn z sogar kubisch vorkommt, hast du möglicherweise stellenweise drei Gebirgefunktionen übereinander.
Allerdings muß z ja nicht mit der Ordnung der Ebene vorkommen, denn x²y²+z=0 ist 4. Ordnung, das z kommt aber nur einfach vor.
Somit gibt dir die Ordnung sozusagen nur vor, wieviele Gebirgefunktionen du maximal übereinander haben kannst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Fr 21.07.2006 | | Autor: | amalie |
Herzlichen Dank nun hab ich ein bisschen mehr eine Vorstellung von dem was ich da tue.
Ich habe nun die Aufgabe gelöst und bekomme folgende Punkte:
p1= (1,0,0); p2=(-1,0,0); p3456=( [mm] \pm \bruch{1}{\wurzel{2}}, \pm \bruch{1}{\wurzel{2}}, \bruch{1}{4} [/mm] )
Zu meiner Sicherheit dass ich nun alles richtig gemacht habe freue ich mich wenn jemand sich die Mühe macht es nachzuprüfen.
Vielen Dank
LG Amalie
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Ich sehe da grade eine Vereinfachung:
Deine Funktion lautet:
x²y²-(x²+y²)+1
und mit x²+y²=1
nur noch x²y². Dieses Ding ist punktsymmetrisch! Es ist auch immer größer null, außer wenn x=0 oder y=0.
Das bedeutet, daß auf den Achsen auch stets ein Minimum liegt. Bei dir fehlen die beiden Ergebnisse (0;1;0) und (0;-1;0)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:25 Fr 21.07.2006 | | Autor: | amalie |
ach ja richtig das ist ja cool. vielen Dank dir!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Fr 21.07.2006 | | Autor: | amalie |
nun komm ich Anschaulich doch noch nicht ganz mit.
Ist dann also meine Raumkurve die die auf den Einheitskreis beschränkte Funktion beschreibt z=x²y²?
Wenn ich hier aber den Gradienten bilde und und =0 setze dann bekomme ich ja nur einen Punkt (0,0,1)?
Hm
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> nun komm ich Anschaulich doch noch nicht ganz mit.
> Ist dann also meine Raumkurve die die auf den Einheitskreis
> beschränkte Funktion beschreibt z=x²y²?
Ja, der Rest verschwindet, wenn du auf dem Einheitskreis bist
> Wenn ich hier aber den Gradienten bilde und und =0 setze
> dann bekomme ich ja nur einen Punkt (0,0,1)?
Der Gradient bezieht sich ja auf die gesamte Funktion, nicht nur auf die eingeschränkte. Demnach kannst du nicht den Gradienten von diesem einfachen Ding nehmen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:38 Mo 24.07.2006 | | Autor: | amalie |
Ich danke dir herzlichst!!!
Gruß
Amalie
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