Raum der orient. Geraden < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:54 Di 26.01.2016 | | Autor: | algieba |
Hallo
Ich habe eine Definition von dem Raum der orientierten Geraden:
Eine orientierte Gerade kann durch ihre Richtung, also einen Winkel [mm] $\varphi$, [/mm] und ihren vorzeichenbehafteten Abstand $p$ vom Ursprung $0$ beschrieben werden. (das Vorzeichen von p wird von dem Rahmen bestimmt, der aus dem orthogonalen Vektor vom Ursprung zur Geraden und aus dem Richtungsvektor der Geraden besteht)
Ich habe mal versucht das grafisch darzustellen (so wie ich es verstehe): [Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe das so verstanden, das in der Situation meines Bildes p positiv sein muss. Die Gerade auf der anderen Seite des Ursprungs mit dem gleichen Abstand p und dem gleichen Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] muss dann ein negatives p haben. Ist das richtig?
Nun lautet eine Aufgabe:
Sei $0' = 0 + (a,b)$ eine andere Wahl des Ursprungs. Zeigen Sie, dass die neuen Koordinaten von den alten folgendermaßen abhängen:
[mm] $\varphi [/mm] ' = [mm] \varphi$
[/mm]
$p' = p - a [mm] \sin \varphi [/mm] + b [mm] \cos \varphi$
[/mm]
Ersteres ist klar, der Winkel verändert sich nicht.
bei p' habe ich es aber auch mal mit ganz einfachen festen Werten durchgerechnet, und es kamen keine sinnvollen Werte raus. Habe ich schon den Ansatz falsch verstanden?
Meine Rechnung (siehe Bild):
$p = [mm] \sqrt{32}$
[/mm]
[mm] $\varphi [/mm] = [mm] \frac{\pi}{2}$
[/mm]
$a=2$
$b=1$
[mm] $\Rightarrow [/mm] p' = [mm] \sqrt{32} [/mm] - 2 [mm] \sin \frac{\pi}{2} [/mm] + [mm] \cos \frac{\pi}{2} [/mm] = [mm] \sqrt{32} [/mm] - 2 [mm] \neq [/mm] 6.36$
Viele Grüße und vielen Dank
PS: Ich habe die gleiche Frage auch ![[]](/images/popup.gif) hier gestellt
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 Di 26.01.2016 | | Autor: | Fulla |
> Nun lautet eine Aufgabe:
> Sei [mm]0' = 0 + (a,b)[/mm] eine andere Wahl des Ursprungs. Zeigen
> Sie, dass die neuen Koordinaten von den alten
> folgendermaßen abhängen:
> [mm]\varphi ' = \varphi[/mm]
> [mm]p' = p - a \sin \varphi + b \cos \varphi[/mm]
>
> Ersteres ist klar, der Winkel verändert sich nicht.
> bei p' habe ich es aber auch mal mit ganz einfachen festen
> Werten durchgerechnet, und es kamen keine sinnvollen Werte
> raus. Habe ich schon den Ansatz falsch verstanden?
>
> Meine Rechnung (siehe Bild):
> [mm]p = \sqrt{32}[/mm]
> [mm]\varphi = \frac{\pi}{2}[/mm]
> [mm]a=2[/mm]
> [mm]b=1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow p' = \sqrt{32} - 2 \sin \frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2} = \sqrt{32} - 2 \neq 6.36[/mm]
Hallo algieba,
ich denke, dass die Verschiebung des Ursprungs "falsch herum" angegeben wurde. Mit [mm]0^\prime =0-(a,b)[/mm] (oder [mm]p^\prime=p+a\sin\varphi-b\cos\varphi[/mm]) funktioniert deine Rechnung.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:05 Di 26.01.2016 | | Autor: | algieba |
Du hast Recht, dann stimmt es. Ich habe es jetzt auch hergeleitet, und dort sind die Vorzeichen auch vertauscht. Vielen Dank für den Tipp!
Jetzt wird hier erwähnt dass dieser Raum eine Flächenform
[mm] $\Omega [/mm] = [mm] d\varphi \wedge [/mm] dp$ hat.
Ich kann mir unter dem Begriff einer Flächenform nichts vorstellen, und ich habe auch im Internet nichts dazu gefunden. Kann mir jemand erklären was das anschauliich bedeutet?
Vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Fr 29.01.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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