Rang einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:41 Sa 01.01.2011 | | Autor: | Monoid |
| Aufgabe | a; b; c seien reelle Zahlen. Bestimmen Sie den Rang der Matrix
A = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 } [/mm] |
Happy new Year liebes Forum,
ich habe da eine (wahrscheinlich leichte) Aufgabe, bei der ich nicht weiter komme.
Der Rang ist doch eine von Null verschiedene Zeile (auch Spalte?).
Also bei A = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
hätte ich den Rang 3, weil jede Zeile genau (oder min?) ein Ergebnis hat und nicht unendlich viele.
Wären in der Matrix nur Zahlen, würde ich sie ja in die Dreiecksform bringen, aber die Buchstaben (und die Quadrate) machen mir große Sorgen. Was ist mein erster Schritt bei dieser Aufgabe?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Monoid,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> a; b; c seien reelle Zahlen. Bestimmen Sie den Rang der
> Matrix
> A = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 }[/mm]
>
> Happy new Year liebes Forum,
>
> ich habe da eine (wahrscheinlich leichte) Aufgabe, bei der
> ich nicht weiter komme.
>
> Der Rang ist doch eine von Null verschiedene Zeile (auch
> Spalte?).
Der Rang ist nach Anwendung des Gauß-Algorithmus
die Anzahl der von Null verschiedenen Zeilen.
>
> Also bei A = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> hätte ich den Rang 3, weil jede Zeile genau (oder min?)
> ein Ergebnis hat und nicht unendlich viele.
>
> Wären in der Matrix nur Zahlen, würde ich sie ja in die
> Dreiecksform bringen, aber die Buchstaben (und die
> Quadrate) machen mir große Sorgen. Was ist mein erster
> Schritt bei dieser Aufgabe?
Bestimme zunächst die Determinante der Matrix A.
Ist die Determinante von Null verschieden,
dann hat die Matrix vollen Rang.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 Sa 01.01.2011 | | Autor: | Monoid |
Hallo Mathepower, danke für die Willkommensgrüße und die schnelle Powerantwort. 
Die Matrix A=$ [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] $ hat nach der Regel von Sarrus det(A) = 1.
NR: det(A) = aei + bfg + cdh − gec − hfa − idb
also = 111 + 110 + 100 - 011 - 011 - 011
= 1 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 1
Stimmt doch?
Aber wie gehe ich hier $ [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 } [/mm] $ vor?
Buchstaben kann man doch nicht verrechnen oder?
Vg
|
|
|
| |
|
Hallo Monoid,
> Hallo Mathepower, danke für die Willkommensgrüße und die
> schnelle Powerantwort.
>
> Die Matrix A=[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
> hat nach der Regel von Sarrus det(A) = 1.
>
> NR: det(A) = aei + bfg + cdh − gec − hfa − idb
> also = 111 + 110 + 100 - 011 - 011 - 011
> = 1 + 0 + 0 - 0 - 0 -
> 0 = 1
> Stimmt doch?
>
>
> Aber wie gehe ich hier [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 }[/mm]
> vor?
>
> Buchstaben kann man doch nicht verrechnen oder?
Mit Buchstaben kann man rechnen.
Behandle die Buchstaben wie Variablen.
>
> Vg
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Sa 01.01.2011 | | Autor: | Monoid |
Hallo MathePower,
ich habe deinen Rat befolgt, die Buchstaben ignorant miteinander in einen Topf geschmissen und habe jetzt stehen:
det(A) = c^2b - c^2a + b^2a - b^2c + a^2c - a^2b
Das kann doch nicht die Hausaufgabe für eine Woche gewesen sein oder??
Ist obige Lösung wirklich richtig? Kann man da nichts mehr vereinfachen o.ä.?
Vg
|
|
|
| |
|
Hallo Monoid,
> Hallo MathePower,
>
> ich habe deinen Rat befolgt, die Buchstaben ignorant
> miteinander in einen Topf geschmissen und habe jetzt
> stehen:
>
> det(A) = c^2b - c^2a + b^2a - b^2c + a^2c - a^2b
>
> Das kann doch nicht die Hausaufgabe für eine Woche gewesen
> sein oder??
> Ist obige Lösung wirklich richtig? Kann man da nichts
> mehr vereinfachen o.ä.?
Jetzt geht es an das Faktorisieren,
d.h.es sind diejenigen Werte zu ermitteln
für welche dieser Ausdruck Null wird.
>
> Vg
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:27 Sa 01.01.2011 | | Autor: | Monoid |
Hallo MathePower,
also nach dem Faktorisieren habe ich
[mm] c^2(b-a) [/mm] + [mm] b^2(a-c) [/mm] + [mm] a^2(c-b)
[/mm]
Der Ausdruck wird dann Null, wenn a=b=c. Oder?
Vg
PS.: ThX again
|
|
|
| |
|
Hallo Monoid,
> Hallo MathePower,
>
> also nach dem Faktorisieren habe ich
> [mm]c^2(b-a)[/mm] + [mm]b^2(a-c)[/mm] + [mm]a^2(c-b)[/mm]
Das kannst Du noch weiter faktorisieren,
so daß ein Produkt da steht.
>
> Der Ausdruck wird dann Null, wenn a=b=c. Oder?
Das ist einer der Fälle, für den das eintritt.
>
> Vg
>
> PS.: ThX again
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:49 Sa 01.01.2011 | | Autor: | Monoid |
Hallo MathePower
Ich bin mir jetzt nicht allzu sicher ob das stimmt, aber ich habe
(a-c)(b-a)(c-b) herausbekommen.
Dann müsste ich noch zu meiner Angabe a=b=c folgende Erweiterung hinzufügen:
a=c bzw. b=a bzw. c=b
Zurück zur Aufgabe
det (A) = (a-c)(b-a)(c-b)
Wie schreibe ich jetzt (auf mathematisch) dass det (A) null werden kann?
Vg
|
|
|
| |
|
Hallo Monoid,
> Hallo MathePower
>
> Ich bin mir jetzt nicht allzu sicher ob das stimmt, aber
> ich habe
> (a-c)(b-a)(c-b) herausbekommen.
>
> Dann müsste ich noch zu meiner Angabe a=b=c folgende
> Erweiterung hinzufügen:
>
> a=c bzw. b=a bzw. c=b
>
> Zurück zur Aufgabe
> det (A) = (a-c)(b-a)(c-b)
>
> Wie schreibe ich jetzt (auf mathematisch) dass det (A) null
> werden kann?
[mm]\operatorname{det}\left(A\right)=0 \gdw a-c=0 \vee b-a=0 \vee c-b=0[/mm]
>
> Vg
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 So 02.01.2011 | | Autor: | Monoid |
Hallo MathePower, Hallo Forum
Bei dieser Aufgabe muss ich also erst die Regel von Sarrus anwenden um die Determinante herauszufinden. Ist diese ungleich Null, hat die Matrix den vollen Rang
Was, wenn die Determinante gleich Null ist? Welchen Rang hat die Matrix dann?
Ändert das hier [mm] \varepsilon M(c;\IR) [/mm] etwas an der Vorgehensweise?
|
|
|
| |
|
Hallo, mache jetzt eine Fallunterscheidung
(1)
a=b=c=0
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
(2)
c=b und a=c und b=a folgt a=b=c
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ a & a & a \\ a^{2} & a^{2} & a^{2}}
[/mm]
jetzt kannst du die Fälle getrennt untersuchen
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 So 02.01.2011 | | Autor: | Monoid |
Danke für deine Antwort.
Mir ist da wohl ein Malheur unterlaufen, die 2.Aufgabe wurde nur teilweise übertragen.
Zu deiner Antwort;
Ich muss also einmal von a=b=c=0 ausgehen und einmal in Abhängigkeit von a,b,c arbeiten. Ok.
Wenn ich eine neue Aufgabe [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } \varepsilon [/mm] M(5/IR) habe, ändert sich etwas an der Vorgehensweise?
Vg
|
|
|
| |
|
> Zu deiner Antwort;
> Ich muss also einmal von a=b=c=0 ausgehen und einmal in
> Abhängigkeit von a,b,c arbeiten. Ok.
Hallo,
lies hierzu bitte meine Mitteilung.
>
> Wenn ich eine neue Aufgabe [mm]\pmat{ 1 & 2 \\
3 & 4 } \varepsilon[/mm] M(5/IR)
Mit [mm] \varepsilon [/mm] ist sicher [mm] \in [/mm] gemeint, aber auf M(5/IR) kann ich mir keinen Reim machen.
Gruß v. Angela
>habe, ändert sich etwas an der Vorgehensweise?
>
> Vg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:05 So 02.01.2011 | | Autor: | Monoid |
Super!
Vielen dank (@ all) für die schnelle und präzise Hilfestellung.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 So 02.01.2011 | | Autor: | Monoid |
Diese Diagonalmatrix
[mm] \pmat{ a_1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & a_2 & ... & 0 \\ ... \\ 0 & 0 ... & a_n }
[/mm]
soll diesen rang(A) = n - | {i | [mm] a_i [/mm] = 0} | haben.
Hier kann ich den Rang nicht mithilfe der Determinante bestimmen, weiterhin gilt, dass der Rang einer Diagonalmatrix gleich der Anzahl
ihrer von Null verschiedenen Einträge.
Laut der Definition müsste der Rang doch [mm] a_n [/mm] lauten und nicht n - | {i | [mm] a_i [/mm] = 0} |. Liege ich falsch?
|
|
|
| |
|
> Diese Diagonalmatrix
> [mm]\pmat{ a_1 & 0 & ... & 0 \\
0 & a_2 & ... & 0 \\
... \\
0 & 0 ... & a_n }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> soll diesen rang(A) = n - | {i | [mm]a_i[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= 0} | haben.
>
> Hier kann ich den Rang nicht mithilfe der Determinante
> bestimmen, weiterhin gilt, dass der Rang einer
> Diagonalmatrix gleich der Anzahl
> ihrer von Null verschiedenen Einträge.
> Laut der Definition müsste der Rang doch [mm]a_n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
lauten und
> nicht n - | {i | [mm]a_i[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= 0} |. Liege ich falsch?
Hallo,
ich habe den Eindruck, daß Du gar nicht weißt, was der Rang einer Matrix ist: das ist die Anzahl linear unabhängiger Spalten/Zeilen.
Wenn die a_i allesamt von Null verschieden sind, ist der Rang offensichtlich =n.
Und wenn nun aber beispielsweise a_2, a_3 und a_9 alle =0 sind, ist der Rang der Matrix halt n-3.
Mach Dir doch mal ein paar Diagonalmatrizen, dann wird Dir alles klar werden.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo,
wir hatten doch det (A) = (a-c)(b-a)(c-b).
Es wurde bereits festgestellt, daß der Rang von A gleich 3 ist, wenn a,b,c paarweise verschieden sind.
> Hallo, mache jetzt eine Fallunterscheidung
>
> (1)
> a=b=c=0
>
>
> (2)
> c=b und a=c und b=a folgt a=b=c
>
Das sind nicht die Fallunterschiedungen, die man hier braucht, sondern
1. a=b=c
(welchen Wert sie haben, ist egal)
2. Nur zwei der Werte sind gleich.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
