Rang einer Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:36 So 10.10.2004 | | Autor: | betthase |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:www.uniprotokolle.de
Hallo ihr mathe asse da draussen!!!
ich bin total ufähig zu kapieren wie man den rang einer matrix bestimmt...
könntet ihr mir vielleicht in einfachen deutschen sätzen dieses ystem erklären???
vielen dank schonmal
bettina
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Hallo Bettina!
Ich schätze mal, dass eine Antwort im Stil von "Der Rang einer Matrix ist definiert als die Dimension des Bildraumes, wenn man die Matrix als lineare Abbildung auffaßt" nicht wirklich hilfreich ist.
Also, ich werde es mal versuchen, genauer zu beschreiben. Du hast bestimmt schon mal gesehen, wie Matrizen mit linearen Gleichungssystemen zusammenhängen - wenn man ein lineares Gleichungssystem aus $m$ Gleichungen mit $n$ Variablen gegeben hat, dann kann man die vorkommenden Koeffizienten (auf die kommt es ja nur an) in eine Tabelle schreiben - da läßt man die Linien weg, setzt Klammern drum und tauft das Kind "Matrix".
Aus der Schule ist bekannt, dass man mit Gleichungen einige Umformungen anstellen kann, die die Lösungsmenge (die einen ja oft interessiert) unangetastet lassen - zum Beispiel kann man eine Gleichung mit einem Vielfachen (ungleich 0) multiplizieren oder man kann eine Gleichung zu einer der anderen addieren oder zwei Gleichungen tauschen... oder gar ein Vielfaches (ungleich 0) einer Gleichung zu einer anderen addieren.
All diese Operationen kann man auch auf den Zeilen der Matrix ausführen - man nennt dies oft "elementare Zeilenumformungen". Daraus hat sich der sogenannte Gauß'sche Algorithmus (der angeblich schon im China vorchristlicher Zeit bekannt war) entwickelt - man versucht, das System in Dreiecksform zu bringen, um die Lösungen elegant abzulesen.
Und hier kommt jetzt der Rang einer Matrix ins Spiel: Nachdem man diese Umformungen alle gemacht hat, kann es sein, dass unten einige Nullzeilen übrig bleiben. Die ignoriert man und betrachtet nur noch die Zeilen, die echte Information enthalten - die Anzahl dieser ist der sogenannte "Rang" der Matrix.
Ein Beispiel: Betrachte die Matrix [mm] $\pmat{1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1}$, [/mm] die zu einem ziemlich dämlichen Gleichungssystem gehört. Es sind nämlich drei Gleichungen, die alle das gleiche sagen: [mm] $x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 0$. (Ich meine immer sogenannte "homogene" Systeme, also solche, bei denen nach dem Gleichheitszeichen nur 0en stehen). Natürlich sind zwei dieser Gleichungen überflüssig, sie sagen ja ohnehin das gleiche - diese Matrix hat einen Rang von 1.
Bei komplexeren Systemen bzw. Matrizen ist der Rang oft nicht so offensichtlich und dann muß man genauer hinsehen - oder den Algorithmus einfach mal ausführen und schauen, was rauskommt.
Der Rang entspricht nämlich genau der Menge der "gebundenen" Variablen, das heißt also der Variablen, deren Wert durch die anderen festgelegt wird. Hat man drei gebundene und zwei freie Variablen in einem System, dann heißt das, dass man sich für die freien Variablen Werte aussuchen darf und dann liefert das Werte für die anderen, die sicherstellen, dass das System lösbar ist.
Sind alle Variablen gebunden, so gibt es nur eine einzige Lösung - man sagt das System hat "vollen Rang", alle Variablen sind gebunden.
Hm, ich hoffe das war einigermaßen verständlich - falls ihr Matrizen überhaupt nicht mit Gleichungssystemen in Verbindung gebracht hast, tut es mir sehr leid und Du kannst den ganzen Text ignorieren... aber ich hoffe, es bringt was. Wenn noch was unklar ist - einfach fragen!
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:40 So 10.10.2004 | | Autor: | betthase |
hi lars!!!
erst mal vielen dank für deine Hilfe, werde mich morgen nochmal gnauer mit diesem thema befassen und hoffe irgendwann einen lichtblick zu haben!!
melde mich dann nochmal ob ich auf ne lösung kam!!!
danke nochmal
bettina
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