Rang einer Matrix < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:14 Sa 03.05.2014 | | Autor: | racy90 |
Hallo
Ich habe folgende Aufgabe zu lösen
Gegeben ist
[mm] A=\pmat{ 1 &
1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 }
[/mm]
[mm] b=\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\0}
[/mm]
Ich solll zeigen das Ax=b unlösbar ist und eine Lösung des entsprechenden Ausgleichsproblem bestimmen.
Ich habe zahlreiche Zeilenumformungen gemacht : z2-z6 ;z5+z3;z3*2;z3-z4;z6-z5;z5+z2;z6*2;z6-z2;z5-z1;z5*2;z5-z2;z5+z4; z4 getauscht mir z3 ; z3 getauscht mit z2
und erhalte folgendes Ergebnis:
[mm] Ab=\pmat{ 1 &
1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 } [/mm]
Rang (A)= 3 das stimmt noch mit dem TR überein aber Rang(Ab)=5 aber der TR gibt mir 4 an
Habe ich etwas vergessen zum umformen?
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Hallo,
> Hallo
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> Ich habe folgende Aufgabe zu lösen
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> Gegeben ist
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> [mm]A=\pmat{ 1 &
1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 }[/mm]
>
> [mm]b=\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\0}[/mm]
> Ich solll zeigen das
> Ax=b unlösbar ist und eine Lösung des entsprechenden
> Ausgleichsproblem bestimmen.
>
>
> Ich habe zahlreiche Zeilenumformungen gemacht : z2-z6
> ;z5+z3;z3*2;z3-z4;z6-z5;z5+z2;z6*2;z6-z2;z5-z1;z5*2;z5-z2;z5+z4;
> z4 getauscht mir z3 ; z3 getauscht mit z2
>
> und erhalte folgendes Ergebnis:
>
>
> [mm]Ab=\pmat{ 1 &
1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 }[/mm]
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> Rang (A)= 3 das stimmt noch mit dem TR überein aber
> Rang(Ab)=5 aber der TR gibt mir 4 an
>
> Habe ich etwas vergessen zum umformen?
Also ich habe jetzt nicht nachgerechnet (muss man theoretisch hier auch nicht tun: betrachte mal im Ausgangs-LGS die Zeilen 3 und 4). Aber wie soll denn eine Matrix Rang 5 haben, wenn sie nur vier Spalten hat?
Abgesehen davon sollte es klar sein, dass auch Rg(Ab)=4>3 ausreicht, deine Frage zu klären.
PS: ist es üblich, die erweiterete Koeffizientenmatrix mit Ab zu bezeichnen, ich habe zweimal hinschauen müssen, um zu verstehen, was du meinst.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 Sa 03.05.2014 | | Autor: | racy90 |
im Ausgangsgleichungssystem :
Habe ich für die 3.Zeile x2=0
und für doe 4.Zeile 2*x2=1
Somit wäre x2 nicht eindeutig bestimmt oder überbestimmt. Aber wie hilft mir das weiter zu Bestimmung des Rangs der Matrix(A) und Ab
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Hallo,
> im Ausgangsgleichungssystem :
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> Habe ich für die 3.Zeile x2=0
> und für doe 4.Zeile 2*x2=1
>
> Somit wäre x2 nicht eindeutig bestimmt oder überbestimmt.
Na ja, ich denke dass du schon das richtige meinst. Die Gleichungen (3) und (4) widersprechen sich, somit ist die Lösungsmenge von Ax=b leer.
> Aber wie hilft mir das weiter zu Bestimmung des Rangs der
> Matrix(A) und Ab
Gar nicht, aber ursprünglich wolltest du nachweisen, dass das LGS keine Lösung besitzt und den Rang dazu verwenden. Um ihn zu berechnen musst du schon den guten Herrn Gauss bemühen. 
EDIT: das hast du ja getan. Betrachte mal in deiner Matrix Ab die 4. und die 6. Zeile. Jetzt sollte dir aber Rg(Ab)=4 klar sein?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 Sa 03.05.2014 | | Autor: | racy90 |
Dort steht beide male quasi 0=-1
Ich habe gelernt der Rang bestimmt sich durch abzählen der nicht Zeilen die nicht komplett 0 sind das wären bei mir 5.
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Hallo,
> Dort steht beide male quasi 0=-1
>
> Ich habe gelernt der Rang bestimmt sich durch abzählen der
> nicht Zeilen die nicht komplett 0 sind das wären bei mir
> 5.
Nein. Die Zeilen (4) und (6) sind gleich, also kann man aus beiden durch Subtraktion eine weitere Nullzeile gewinnen. Somit verbleiben vier linear unabhängige Zeilen und damit hast du Rg(Ab)=4.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:10 Sa 03.05.2014 | | Autor: | racy90 |
Danke!
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