Rang Matrix mit Nullen auf HD < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:32 Fr 17.09.2010 | | Autor: | kickerle |
Hallo zusammen,
ganz kurze Frage:
Wenn ich eine matrix habe, bei der sämtliche Einträge auf der Hauptdiagonalen gleich Null sind und alle Einträge außerhalb der Hauptdiagonalen ungleich Null sind, dann hat die Matrix immer vollen Rang,ja?
Ich möchte diese Aussage beim Beweis einer komplexeren Fragestellung benutzen. Bin mir eigentlich sicher dass die Aussage gilt, aber eine kurze Bestätigung würde mir dennoch helfen.
Danke.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:41 Fr 17.09.2010 | | Autor: | statler |
Hi!
> Wenn ich eine matrix habe, bei der sämtliche Einträge auf
> der Hauptdiagonalen gleich Null sind und alle Einträge
> außerhalb der Hauptdiagonalen ungleich Null sind, dann hat
> die Matrix immer vollen Rang,ja?
>
> Ich möchte diese Aussage beim Beweis einer komplexeren
> Fragestellung benutzen. Bin mir eigentlich sicher dass die
> Aussage gilt, aber eine kurze Bestätigung würde mir
> dennoch helfen.
Was ist mit [mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 }?
[/mm]
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:42 Fr 17.09.2010 | | Autor: | wieschoo |
Gegenbeispiel:
[mm]\pmat{ 0 & -1&1 \\ 1 & 0&-1\\-1&1&0 }\to \left( \begin {array}{ccc} 1&0&-1\\ 0&1&-1
\\ 0&0&0\end {array} \right)
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:21 Fr 17.09.2010 | | Autor: | kickerle |
Da habt ihr beiden natürlich Recht, Danke.
In meinem konkreten Fall, sind noch einige anderen Eigenschaften der Matrix bekannt. Sie ist nämlich symmetrisch, hat außerhalb der HD nur positive Einträge und in jeder Zeile nehmen die Einträge bis zur 0 (also dem Hauptdiagonal Element) streng ab, nach der Null nehmen sie dann Betragsmäßig streng zu. Genau gesagt handelt es sich um eine IPDM falls euch dass was sagt. Ich denke, dass für diese meine Ausgangsbehauptung gilt, sehe aber schon, dass ich das wohl extra beweisen muss.
Falls euch auch dazu auf die schnelle ein Gegenbeispiel einfällt, nur her damit:)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:16 Fr 17.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Da habt ihr beiden natürlich Recht, Danke.
>
> In meinem konkreten Fall, sind noch einige anderen
> Eigenschaften der Matrix bekannt. Sie ist nämlich
> symmetrisch, hat außerhalb der HD nur positive Einträge
> und in jeder Zeile nehmen die Einträge bis zur 0 (also dem
> Hauptdiagonal Element) streng ab, nach der Null nehmen sie
> dann Betragsmäßig streng zu. Genau gesagt handelt es sich
> um eine IPDM falls euch dass was sagt.
Inter point distance matrix ?
Wenn ja, vielleicht hilft das:
https://ccrma.stanford.edu/~dattorro/EDM.pdf
http://www.convexoptimization.com/dattorro/cone_of_euclidean_distance_matrices.html
http://www.stat.washington.edu/wxs/Stat593-s03/Slides/metric-scaling.pdf
FRED
> Ich denke, dass für
> diese meine Ausgangsbehauptung gilt, sehe aber schon, dass
> ich das wohl extra beweisen muss.
>
> Falls euch auch dazu auf die schnelle ein Gegenbeispiel
> einfällt, nur her damit:)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:26 Fr 17.09.2010 | | Autor: | wieschoo |
sorry. Wer lesen kann ist klar im Vorteil. Meine Matrix war nicht symmetrisch.
Ja nee doch!
[mm]\left( \begin {array}{cccc} 0&1&2&9\\ 1&0&1&2
\\ 2&1&0&1\\ 9&2&1&0\end {array}
\right)\to \left( \begin {array}{cccc} 1&0&0&-1\\ 0&1&0&3
\\ 0&0&1&3\\ 0&0&0&0\end {array}
\right)
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:31 Fr 17.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> sorry.
Wieso ? kickerle hat in seiner ersten Anfrage nichts von Symmetrie gesagt.
FRED
> Wer lesen kann ist klar im Vorteil. Meine Matrix war
> nicht symmetrisch.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:33 Fr 17.09.2010 | | Autor: | wieschoo |
> In meinem konkreten Fall, sind noch einige anderen Eigenschaften der Matrix bekannt. Sie ist nämlich symmetrisch
In der zweiten Frage war dann aber die Rede von Symmetrie.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:46 Fr 17.09.2010 | | Autor: | kickerle |
@wieshoo: Danke für das Gegenbeispiel. Damit gebe ich es dann auch auf die Voraussetzungen (gegeben ist eigentlich eine IPDM=InterPointDistanceMatrix) in irgendeiner Weise abzuschwächen.
Ich denke, dass der Rang einer IPDM immer voll ist, da dies bisher bei allen Bsp die ich berechnet habe der Fall war. Da ich im www nirgends eine Aussage darüber finden konnte, kam ich zu dem (zugegebenermaßen etwas naiven) Trugschluß, dass dies wohl offensichtlich ist. Andererseits lässt mich die Tatsache, dass ich diese Aussage nirgends finden auch wieder daran zweifeln, dass der Rang immer voll ist.
@Fred: vielen Dank für die Quellen, leider kenne ich die schon. Eventl. hast du auch schon die Erfahrung gemacht, dass Infos über IPDM im www etwas rar gesät sind.
|
|
|
|
