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| Aufgabe | | Gegeben Sei eine Matrix [mm] A\in\IK^{n\times m}. [/mm] Wie bestimmt man allgemein den Rang, also die Dimension des Bildes und den Defekt, also die Dimension des Kerns einer solchen Matrix? Kann man daraus Erkenntnisse über die Lösbarkeit ziehen? |
Hallo zusammen, bin grade in der Prüfungsvorbereitung und wollte mir das einmal klar machen. Also ich würde so vorgehen: Der Rang einer Matrix ist ja die maximale Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren, also muss ich diese ja auf lineare unabhängigkeit prüfen. Das ist doch äquivalent dazu, wie wenn ich das LGS A*x=0 löse, denn das Kriterium für lineare Unabhängigkeit von Vektoren [mm] (u_{1},...,u_{n}) [/mm] lautet doch: Für die Linearkomb. [mm] \alpha_{1}u_{1}+...+\alpha_{n}u_{n}=0, [/mm] nur für [mm] \alpha_{1}=...=\alpha_{n}=0.
[/mm]
Wenn ich das also löse, bekomme ich ja entweder eine eindeutige Lösung, also eine Obere Dreiecksgestalt, sodass alle Spalten linear unabhängig wären? Demnach wäre mein Rang= Anzahl der Spaltenvektoren, oder?
Jetzt gibt es natürlich oft den Fall, dass ich keine eindeutige Lösung bekomme, sondern 1,2,3... Parameter frei wählen kann/muss. Ich würde dann sagen Rang="Anzahl der Spalten“-„Anzahl frei wählbare Parameter“...kann man das so sagen?
Wenn ich den Rang berechnet habe, schenkt mir die Dimensionsformel doch direkt den Kern?
Und zuletzt noch etwas, was mich verwirrt: Wenn ich mit Ax=0 den Rang bestimmen kann, also die Dimension des Bildes, wie bestimmt man den Kern einer Matrix? Der Kern sind die Elemente, die auf die Null abgebildet werden, d.h. eigentlich müsste man doch wieder Ax=0 lösen? Da kann doch was nicht stimmen?
Wäre sehr dankbar, wenn hier mal jemand drüber schauen könnte und schnell untersuchen, inwieweit meine Überlegungen stimmen und so evt Fehler liegen. Danke schonmal im Voraus!
Liebe Grüße,
Theoretix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:58 Mo 31.01.2011 | | Autor: | pyw |
Hallo Theoretix,
> Gegeben Sei eine Matrix [mm]A\in\IK^{n\times m}.[/mm] Wie bestimmt
> man allgemein den Rang, also die Dimension des Bildes und
> den Defekt, also die Dimension des Kerns einer solchen
> Matrix? Kann man daraus Erkenntnisse über die Lösbarkeit
> ziehen?
> Hallo zusammen, bin grade in der Prüfungsvorbereitung und
> wollte mir das einmal klar machen. Also ich würde so
> vorgehen: Der Rang einer Matrix ist ja die maximale Anzahl
> linear unabhängiger Spaltenvektoren, also muss ich diese
> ja auf lineare unabhängigkeit prüfen.
Genau!
> Das ist doch äquivalent dazu, wie wenn ich das LGS A*x=0 löse, denn
> das Kriterium für lineare Unabhängigkeit von Vektoren
> [mm](u_{1},...,u_{n})[/mm] lautet doch: Für die Linearkomb.
> [mm]\alpha_{1}u_{1}+...+\alpha_{n}u_{n}=0,[/mm] nur für
> [mm]\alpha_{1}=...=\alpha_{n}=0.[/mm]
Indem du das Gleichungssystem Ax=0 löst, bekommst du in erster Linie lineare Abhängigkeiten zwischen den Spaltenvektoren. Die Elemente des Nullraums (also des Lösungsraums von Ax=0) sind gleichzeitig genau die Elemente des Kerns, da ja 0 rauskommt.
Wenn du an dieser Stelle schon die Dimensionsformel für lineare Abbildungen anwendest, bist du ganz schnell fertig: [mm] \dim [/mm] Bilf [mm] f+\dim [/mm] Kern f = [mm] \dim [/mm] V, wobei V den VR bezeichnet, aus dem du abbildest.
> Wenn ich das also löse, bekomme ich ja entweder eine
> eindeutige Lösung, also eine Obere Dreiecksgestalt, sodass
> alle Spalten linear unabhängig wären? Demnach wäre mein
> Rang= Anzahl der Spaltenvektoren, oder?
>
> Jetzt gibt es natürlich oft den Fall, dass ich keine
> eindeutige Lösung bekomme, sondern 1,2,3... Parameter frei
> wählen kann/muss. Ich würde dann sagen Rang="Anzahl der
> Spalten“-„Anzahl frei wählbare Parameter“...kann man
> das so sagen?
Du sprichst hier die ganze Zeit vom Gaußschen Algorithmus, also dass du die Matrix auf Zeilenstufenform bringst. Sag das doch einmal ;)
Und nein, die Anzahl der frei wählbaren Variablen ist dann die Dimension des Kerns. Du erhälst doch z. B. eine Basis des Kerns, indem du immer eine frei wählbare Variable auf 1 und die anderen auf 0 setzt. Den Rang kannst du hingegen an der Anzahl der Pivotstellen ablesen.
>
> Wenn ich den Rang berechnet habe, schenkt mir die
> Dimensionsformel doch direkt den Kern?
Ja!
>
> Und zuletzt noch etwas, was mich verwirrt: Wenn ich mit
> Ax=0 den Rang bestimmen kann, also die Dimension des
> Bildes, wie bestimmt man den Kern einer Matrix? Der Kern
> sind die Elemente, die auf die Null abgebildet werden, d.h.
> eigentlich müsste man doch wieder Ax=0 lösen? Da kann
> doch was nicht stimmen?
siehe oben :)
>
> Wäre sehr dankbar, wenn hier mal jemand drüber schauen
> könnte und schnell untersuchen, inwieweit meine
> Überlegungen stimmen und so evt Fehler liegen. Danke
> schonmal im Voraus!
> Liebe Grüße,
>
> Theoretix
Gruß, pyw
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:15 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Theoretix |
Super, jetzt ist alles klar! Danke dir für die Antwort!
Gruß
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| Aufgabe | | Ist der einzige Weg, den Rang einer Matrix zu bestimmen, das LGS Ax=0 zu lösen? Wobei [mm] A\in\IK^{n\times m} [/mm] und [mm] x\in\IK^{m} [/mm] |
Hallo, ganz kurze Frage hinsichtlich der Effizienz in einer Klausur z.B.
Angenommen es heißt nur ich solle für ein gegebenes LGS den Rang der Koeffizientenmatrix, sowie den Rang der erweiterten Koeffizientanmatrix berechnen und darüber dann Aussagen über die Lösbarkeit des LGS treffen. Dann kann es doch nicht sein, dass der einzige Weg, den Rang der Matrix zu berechnen über die Dimensionsformel rang f+def f=dimU läuft, indem ich mit Ax=0 den defekt errechne und damit dann den Rang bekomme?
Weil dann wäre das Verfahren keineswegs hilfreich, weil ich ja das LGS quasi trotzdem lösen müsste?
Nehmen wir das obige Bsp. wie bestimmt man am schnellsten den Rang einer Koeffizienten bzw. erweiterten Koeffizientenmatrix?
Wäre nett, wenn mir das schnell jemand erklären könnte!
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:49 Mo 31.01.2011 | | Autor: | moody |
Hallo,
> Ist der einzige Weg, den Rang einer Matrix zu bestimmen,
> das LGS Ax=0 zu lösen? Wobei [mm]A\in\IK^{n\times m}[/mm] und
> [mm]x\in\IK^{m}[/mm]
> Hallo, ganz kurze Frage hinsichtlich der Effizienz in
> einer Klausur z.B.
Ich fürchte das ist der einzige Weg, du brauchst die Zeilenstufen / Spaltenstufenform.
> Angenommen es heißt nur ich solle für ein gegebenes LGS
> den Rang der Koeffizientenmatrix, sowie den Rang der
> erweiterten Koeffizientanmatrix berechnen und darüber dann
> Aussagen über die Lösbarkeit des LGS treffen. Dann kann
> es doch nicht sein, dass der einzige Weg, den Rang der
> Matrix zu berechnen über die Dimensionsformel rang f+def
> f=dimU läuft, indem ich mit Ax=0 den defekt errechne und
> damit dann den Rang bekomme?
> Weil dann wäre das Verfahren keineswegs hilfreich, weil
> ich ja das LGS quasi trotzdem lösen müsste?
>
> Nehmen wir das obige Bsp. wie bestimmt man am schnellsten
> den Rang einer Koeffizienten bzw. erweiterten
> Koeffizientenmatrix?
Du musst auf jeden Fall Gauß anwenden aber mit ein wenig Übung sollte das nichts mehr sein wo du dir um die Zeit Sorgen machen musst.
Lasse dir hier einfach zufällige Systeme generieren und löse diese selber: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm
Es können auch Rechenwege + Erklärungen mit erzeugt werden, daher halte ich das für recht sinnvoll falls doch mal was schief geht ( du dich verrechnest z.b. ).
Lies dir jede Aufgabe am besten direkt komplett durch in der Klausur, wendest du in a) Gauß an um den Rang zu bestimmen und sollst dann später [mm] A\vec{x} [/mm] = [mm] \vec{b} [/mm] lösen, ist es natürlich sinnvoll den Vektor b direkt in a) mit hinzuschreiben.
[mm] \pmat{ 1 & 2 & | 1 & 0 \\ 1 & 5 & | 2 & 0 \\ 9 & 2 & | 3 & 0 }
[/mm]
A = [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 1 & 5 \\ 9 & 2} \vec{b} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
So kannst du dir Zeit sparen.
lg moody
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Mo 31.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
um den Rang der matrix zu bestimmen ist meist der schnellste Weg, sie auf Dreiecksform zu bringen, dann sieht man direkt, die zahl der lin unabh. vektoren, wenn man die erweiterte matrix gleich mitbehandelt hat man beides.
Gruss leduart
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Hallo, ich danke euch für die Antworten!
Es heißt doch, mithilfe des Ranges könne man Aussagen über die Lösbarkeit machen, ohne aber das gesamte LGS lösen zu müssen. Aber das ist doch dann nicht ganz richtig: Denn wenn ich die Matrix auf Zeilenstufenform bringe, mache ich ja nichts anderes als mit den üblichen Regeln zu spielen um ein LGS umzuformen und letztlich zu lösen (eben dargestellt in Form von Eliminations und Perumutationsmatrizen) aber wenn ich die Matrix auf Zeilenstufenform gebracht habe, kann ich ja auch direkt die Lösungen ablesen, also habe ich das LGS doch auch gelöst...Deswegen mal die Frage an euch: Wo liegen da jetzt die Vorteile? Ich sehe das noch nicht wirklich.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Mo 31.01.2011 | | Autor: | moody |
> gelöst...Deswegen mal die Frage an euch: Wo liegen da
> jetzt die Vorteile? Ich sehe das noch nicht wirklich.
Du kannst daran ablesen ob es eine Lösung gibt, ob es eindeutig lösbar ist oder ob es mehrere Lösungen hat.
lg moody
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Inwieweit kann ich denn Aussagen über die Lösbarkeit eines LGS machen, wenn ich den Rang der Koeffizientenmatrix und den der erweiterten Koeffizientenmarix kenne? In welchem Verhältnis müssen die beiden Ränge zueinander stehen, damit ich i) keine Lösung, ii) eine eindeutige Lösung, iii) unendlich viele Lösungen,
bekomme?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Di 01.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Inwieweit kann ich denn Aussagen über die Lösbarkeit
> eines LGS machen, wenn ich den Rang der Koeffizientenmatrix
> und den der erweiterten Koeffizientenmarix kenne? In
> welchem Verhältnis müssen die beiden Ränge zueinander
> stehen, damit ich i) keine Lösung, ii) eine eindeutige
> Lösung, iii) unendlich viele Lösungen,
> bekomme?
Ein Lgs ist genau dann lösbar, wenn
Rang der Koeffizientenmatrix = Rang der erweiterten Koeffizientenmarix .
In diesem Fall kann man allerdings in dieser Allgemeinheit keine Aussage über die "Anzahl" der Lösungen machen.
FRED
>
> Gruß
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Dankeschön für die Antwort!
Wenn sich der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix erhöht-erhält man dann keine oder unendlich viele Lösungen?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Di 01.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Das habe ich geschrieben:
"Ein Lgs ist genau dann lösbar, wenn
Rang der Koeffizientenmatrix = Rang der erweiterten Koeffizientenmarix ."
Das kann man auch so formulieren:
"Ein Lgs ist genau dann unlösbar, wenn
Rang der Koeffizientenmatrix [mm] \ne [/mm] Rang der erweiterten Koeffizientenmarix ."
FRED
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