Rang, Ker und Basis < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:41 Di 15.01.2008 | | Autor: | skydyke |
| Aufgabe | Es sei [mm] \phi \in [/mm] Hom [mm] (\IR_2[x]) [/mm] definiert durch:
[mm] \phi(a+bx+cx²)=(a+2b)+(2b+2c)x+(2a+3b-c)x².
[/mm]
Bestimmen Sie Rang [mm] \phi, [/mm] dim Ker [mm] \phi [/mm] und je eine Basis für Im [mm] \phi [/mm] und Ker [mm] \phi. [/mm] |
Auch hier fehlt mir leider schon der Ansatz.
Hoffe ihr könnt mir hier auch etwas auf die Sprünge helfen.
Liebe Grüße
Sabrina
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei [mm]\phi \in[/mm] Hom [mm](\IR_2[x])[/mm] definiert durch:
> [mm]\phi(a+bx+cx²)=(a+2b)+(2b+2c)x+(2a+3b-c)x².[/mm]
> Bestimmen Sie Rang [mm]\phi,[/mm] dim Ker [mm]\phi[/mm] und je eine Basis
> für Im [mm]\phi[/mm] und Ker [mm]\phi.[/mm]
> Auch hier fehlt mir leider schon der Ansatz.
Hallo,
warum?
Kannst Du bitte beschreiben, wo Dein Problem liegt? (Auch das wäre etwas, was wir unter eigene Lösungsansätze verstehen.)
Wie sind Rang und Kern einer Abbildung definiert?
Die zu betrachtende lineare Abbildung geht vom Raum der Polynome in den Raum der Polynome, sie wird also auf Polynome angewendet und liefert Polynome.
Die Null in diesem Raum ist das Nullpolynom.
Bevor ich hier jetzt weiterrede, würde ich gern erstmal wissen, an welcher Stelle Dein Problem liegt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Do 17.01.2008 | | Autor: | skydyke |
Ja mir fehlt einfach komplett der Ansatz.
Muss ich bei der Gleichung erst so rechnen, dass
das [mm] \phi [/mm] alleine auf der linken Seite steht?
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> Ja mir fehlt einfach komplett der Ansatz.
> Muss ich bei der Gleichung erst so rechnen, dass
> das [mm]\phi[/mm] alleine auf der linken Seite steht?
???
Was meinst Du nur damit? [mm] \Phi [/mm] ist doch eine Abbildung.
Wie ist denn der Kern einer Abbildung definiert?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Do 17.01.2008 | | Autor: | skydyke |
Der Kern ist doch die Anzahl der Werte die die Abbildungen auf 0 bzw das 0-Element abbilden lässt.
Also muss ich herausfinden, wie viele Möglichkeiten es gibt, damit diese Funktion auf 0 abbildet?
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> Der Kern ist doch die Anzahl der Werte die die Abbildungen
> auf 0 bzw das 0-Element abbilden lässt.
Nein.
Es ist sehr wichtig, daß Du die Definitionen richtig kannst.
Natürlich kann man nur einen Ansatz haben, wenn man weiß, worum es geht.
Der Kern von [mm] \phi [/mm] ist die Menge aller Vektoren, die durch [mm] \Phi [/mm] auf die Null abgebildet werden.
Ihr habt in der Vorlesung oder Übung gezeigt, daß der Kern ein Unterrraum des Startraumes der linearen Abbildung ist, also hat er eine Basis.
Um den Kern zu bestimmen, mußt Du also zunächst herausfinden, welche Polynome P:= [mm] a+bx+cx^2 [/mm] auf die Null abgebildet werden - über die Null hatte ich ja eingangs schon gesprochen.
(Du mußt berechnen, wie a,b,c "beschaffen" sein müssen).
Gruß v. Angela
>
> Also muss ich herausfinden, wie viele Möglichkeiten es
> gibt, damit diese Funktion auf 0 abbildet?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Do 17.01.2008 | | Autor: | skydyke |
Also wenn man das ganze in die Standardform umwandel, erhält man [mm] x^2+x=0.
[/mm]
Und durch die PQ-Formel erhalte ich somit:
x1=-1 und x2=0
Wenn man das nun einsetzt,erhalte ich
a-b+c=0
bzw a=0
Oder ist das auch schonwieder KOMPLETT falsch?
Ich weiß einfach nicht mehr weiter :(
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Hallo skydyke,
> Also wenn man das ganze in die Standardform umwandel,
> erhält man [mm]x^2+x=0.[/mm]
> Und durch die PQ-Formel erhalte ich somit:
> x1=-1 und x2=0
> Wenn man das nun einsetzt,erhalte ich
> a-b+c=0
> bzw a=0 ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
>
> Oder ist das auch schonwieder KOMPLETT falsch?
ziemlich 
Nicht den Kopf hängen lassen...
> Ich weiß einfach nicht mehr weiter :(
Du musst - wie Angela schon gesagt hat - welche Polynome [mm] $p(x)=a+bx+cx^2$ [/mm] auf das Nullpolynom (= Nullvektor im Zielraum) abgebildet werden.
Das Nullpolynom in [mm] $\IR_2[x]$ [/mm] kannst du schreiben als [mm] $n(x)=0+0\cdot{}x+0\cdot{}x^2$
[/mm]
Nun schauen wir mal, welche Polynome darauf abgebildet werden unter der obigen Abbildung:
Nehmen wir uns ein Poynom [mm] $p(x)=a+bx+cx^2$
[/mm]
Das wird unter [mm] $\phi$ [/mm] abgebildet auf [mm] $(a+2b)+(2b+2c)x+(2a+3b-c)x^2$
[/mm]
Wann ist das gleich dem Nullpolynom?
Doch genau dann, wenn alle Koeffizienten $a+2b, 2b+2c, 2a+3b-c \ = \ 0$ sind
Du hast also im Endeffekt ein (kleines) LGS mit 3 Gleichungen in den 3 Unbekannten $a, b, c$ zu lösen.
Daraus bestimmst du dann deine Polynome aus dem Kern von [mm] $\phi$
[/mm]
Alternativ kannst du das über Matrizenrechnung lösen, nimm dir zB die Standardbasis [mm] $\mathcal{B}=\{1,x,x^2\}$ [/mm] des [mm] $\IR_2[x]$ [/mm] her und bestimme die Darstellungsmatrix von [mm] $\phi$ [/mm] bgl. dieser Basis.
Damit kannst du auch schnell den Kern und das Bild bestimmen.
Aber fang erst mal an, dann sehen wir, wie's weitergeht
Lieben Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:02 Fr 18.01.2008 | | Autor: | skydyke |
Ok ich habe ein LGS erstellt.
und zwar:
a+2b=0
2b+2c=0
2a+3b-c=0
dann rechne ich Zeile 1 mal 2 und ziehe sie von Zeile 3 ab.
a+2b=0
2b+2c=0
-b-c=0
Wenn ich nun die 2. Zeile durch 2 rechne und zu der 3. addiere erhalte ich:
a+2b=0
2b+2c=0
0=0
Also
a=-2b
b=-c
c=-b
Aus dem LGS kann ich doch schonmal zeigen, dass der Rang [mm] \phi [/mm] = 2 ist, oder?
Also muss ich für den Kern schonmal 2 Elemente haben.
Kann man die Dimension des Kern erst bestimmen, nachdem man die Basis ausgerechnet hat?
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> Ok ich habe ein LGS erstellt.
>
> und zwar:
> a+2b=0
> 2b+2c=0
> 2a+3b-c=0
>
> dann rechne ich Zeile 1 mal 2 und ziehe sie von Zeile 3
> ab.
>
> a+2b=0
> 2b+2c=0
> -b-c=0
>
> Wenn ich nun die 2. Zeile durch 2 rechne und zu der 3.
> addiere erhalte ich:
>
> a+2b=0
> 2b+2c=0
> 0=0
>
> Also
> a=-2b
> b=-c
> c=-b
0=0
>
> Aus dem LGS kann ich doch schonmal zeigen,
sehen
> dass der Rang
> [mm]\phi[/mm] = 2 ist, oder?
Ja.
Ich finde es übersichtlicher, solche Aufgaben mit Matrizen, welche in ZSF gebracht werden zu lösen, aber im Prinzip ist das natürlich Geschmackssache.
Man verlangt allerdings v. Dir, daß Du den Gaußalgorithmus jkannst, da bin ich mir ziemlich sicher.
Das aber nur nebenbei.
>
> Also muss ich für den Kern schonmal 2 Elemente haben.
??? (=bgleich es natürlich stimmt.)
> Kann man die Dimension des Kern erst bestimmen, nachdem
> man die Basis ausgerechnet hat?
Nein. Die Dimension des Kerns kannst Du jetzt schon wissen, wenn Dir der einschlägige Satz bekannt sind. (Schau Dich mal beim Kern-Bild-Satz / Dimensionsformel) um.
Aber eine Basis solltest Du trotzdem angeben, ich meine mich zu erinnern, daß es auch Bestandteil der Aufgabe ist.
Worüber reden wir eigentlich? Ich glaube über zwei Kerne gleichzeitig...
Bestimme jetzt zuerst eine Basis des Kerns des Gleichungssystems, und daraus gewinnst Du dann eine Basis des Kerns Deiner Abbildung. (Du mußt dann ja nur noch die entsprechenden a,b,c einsetzen.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:29 Fr 18.01.2008 | | Autor: | skydyke |
[mm] \{ \vektor{1 \\ 0 \\ 2} , \vektor{2 \\ 2 \\ 3} \} [/mm] wäre also die Basis des Kerns?
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> [mm]\{ \vektor{1 \\ 0 \\ 2} , \vektor{2 \\ 2 \\ 3} \}[/mm] wäre also
> die Basis des Kerns?
Nein.
Hast Du Dir Gedanken über die Dimension des Kerns gemacht? Welche Dimension hat der denn?
Ich gehe davon aus, daß wir im Moment über den Kern des vorliegenden homogenen Gleichungssystems reden - also die Lösungsmenge.
Welche [mm] \vektor{a \\ b\\c } [/mm] lösen denn nun das System?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:41 Fr 18.01.2008 | | Autor: | skydyke |
Wenn man jetzt zB für c = 1 wählt, dann erhält man b=1 und a=-2
wäre das eine Lösung?
Oder wäre eine Lösung [mm] \vektor{-2b \\ -1/2a \\ 0 } [/mm] ?
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> Wenn man jetzt zB für c = 1 wählt, dann erhält man b=1 und
> a=-2
>
> wäre das eine Lösung?
Hallo,
wenn Du c=1 wählst, erhältst Du aus
a=-2b
b=-c
0=0
b=-1 und a=2,
und hast mit [mm] \vektor{2 \\ -1\\1} [/mm] eine Basis des Kerns des Gleichungssystems gefunden.
Und wenn Du das jetzt in [mm] a+bx+cx^2 [/mm] einsetzt, weißt Du, wie die Basis des Kerns von [mm] \Phi [/mm] aussieht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Fr 18.01.2008 | | Autor: | skydyke |
d.h. ich habe die basis vom Kern B= [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
das stimmt doch so oder?
nur wie bekomme ich denn die Basis für Im [mm]\phi [/mm] heraus?
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> d.h. ich habe die basis vom Kern B= [mm]\vektor{2 \\ -1 \\ 1}[/mm]
>
> das stimmt doch so oder?
Ja, das ist richtig.
Du darfst nun aber nicht vergessen, warum Du das gemacht hast, Du wolltest doch wissen, für welche a,b,c das Polynom [mm] a+bx+cx^2 [/mm] durch [mm] \Phi [/mm] auf das Nullpolynom abgebildet wird.
Du weißt nun: sämtliche [mm] p_t:=2t-1*tx+1*tx^2=t(2-1x+1x^2) [/mm] werden auf die Null abgebildet, also ist [mm] 2-1x+1x^2 [/mm] eine Basis des Kerns von [mm] \Phi.
[/mm]
Ich rate Dir eindringlich, das, was wir getan haben, nochmals von Anfang an zu durchdenken, es reicht nicht, wenn Du das auf Deinem Aufgabenblatt jetzt so hinschreibst. Wenn Du diese Dinge nämlich nicht durchschaust, kommst Du in des Teufels Küche - jedenfalls wenn Du Dich entscheidest, an Klausuren und Prüfungen teilzunehmen.
Was ist der Kern einer Abbildung?
Was muß man herausfinden, wenn man den Kern von [mm] \Phi [/mm] bestimmen will?
Wie haben wir das gemacht?
Was sagt uns das Ergebnis?
> nur wie bekomme ich denn die Basis für Im [mm]\phi[/mm] heraus?
Ich nehme an, daß Du im Moment ungern mit der darstelelnden Matrix arbeiten möchtest.
Mach es so:
berechne die Bilder der kanonischen Basis des [mm] \IR_2[x], [/mm] und prüfe deren (Un)abhängigkeit.
Fisch' ggf. eine maximale unabhängige Menge heraus.
Mit der darstellenden Matrix:
berechne die Bilder der kanonischen Basis des [mm] \IR_2[x], [/mm] und schreibe sie als Koordinatenvektor bzgl. dieser Basis (*).
Stecke diese Vektoren als Spalten in eine Matrix, bestimme deren Rang. (Zeilenstufenform)
Wenn Du diese Matrix hast, zeige ich Dir, wei Du die Basis des Bildes finden kannst.
zu(*) Die Kanonische Basis ist hier [mm] E:=(1,x,x^2)
[/mm]
Wenn ich den Vektor [mm] p=5x^2+1+3x [/mm] in Koordinaten bzgl dieser Basis schreibe ist das [mm] \vektor{1 \\3\\5}_E, [/mm] denn es ist [mm] 5x^2+1+3x=1*1+3*x+5*x^2.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Fr 18.01.2008 | | Autor: | skydyke |
Also die Bilder der kanonischen Basen sind:
1 + [mm] 2x^2, [/mm] 2 + 2x + [mm] 3x^2, [/mm] 2x - [mm] 2x^2
[/mm]
die hab ich dann in die Matrixdarstellung gebracht :
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & -2 }
[/mm]
Am Ende hab ich dann die Matrix als Zeilenstufenform:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 }
[/mm]
Somit ist der Rang 2
und es ist linear unabhängig,
d.h. doch jetzt das 1 + [mm] 2x^2, [/mm] 2 + 2x + [mm] 3x^2, [/mm] 2x - [mm] 2x^2 [/mm] eine Basis des Im [mm] \Phi [/mm] ist, oder?
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Hallo,
der Weg ist schon sehr gut, aber:
Wie kann denn der Rang deiner unten berechneten Matrix 2 sein, die hat doch Rang 3, so wie sie dasteht, du hast ja keine Nullzeile in ZSF erhalten.
Das sollte dich stutzig machen, es muss sich also ein Rechenfehler eingeschlichen haben. Denn du weißt ja bereits, dass die Dimension des Kernes 1 und damit die des Bildes 2 sein muss, das passt aber nicht zu deiner Matrix
Und in der Tat, beim Bild des 3.Basisvektors hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen.
Es ist [mm] $\phi(x^2)=\phi(0\cdot{}1+0\cdot{}x+1\cdot{}x^2)=2x-x^2$
[/mm]
Damit ergibt sich für den Eintrag [mm] $a_{33}$ [/mm] der Darstellungsmatrix eine $-1$ und nicht $-2$
Damit bekommst du dann auch bei den Umformungen der Matrix die nötige Nullzeile heraus...
> Am Ende hab ich dann die Matrix als Zeilenstufenform:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 }[/mm]
>
> Somit ist der Rang 2
>
> und es ist linear unabhängig,
> d.h. doch jetzt das 1 + [mm]2x^2,[/mm] 2 + 2x + [mm]3x^2,[/mm] 2x - [mm]2x^2[/mm]
> eine Basis des Im [mm]\Phi[/mm] ist, oder?
Dann wäre 3=2
Da [mm] Rang(A)=2=dim(Bild(\phi)) [/mm] ist, wähle 2 linear unabh. Spaltenvektoren von A als Basis des Bildes und gibt die entsprechenden Polynome dazu nochmal an.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Fr 18.01.2008 | | Autor: | skydyke |
danke,
d.h. meine Basis von Im [mm] \Phi [/mm] ist jetzt:
B = {1 [mm] +2x^2, [/mm] 2 + 2x + [mm] 3x^2} [/mm] ,
diese beiden sind nämlcih linear unabhängig.
stimmt das jetzt so?
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Hallo Sabrina,
> danke,
> d.h. meine Basis von Im [mm]\Phi[/mm] ist jetzt:
>
> B = [mm] \{1+2x^2, 2+2x+3x^2\} [/mm]
na klaro
>
> diese beiden sind nämlcih linear unabhängig.
>
> stimmt das jetzt so?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") jo !!
LG
schachuzipus
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