Rang Adjungierte Matrix < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] $n\ge [/mm] 2$ und [mm] $A\in K^{n\times n}$.
[/mm]
Zeigen Sie, dass
[mm] $\mathrm{rang}(\mathrm{adj}(A))=\begin{cases} n, \mbox{ wenn }\mathrm{rang}(A)=n;\\ 1, \mbox{ wenn } \mathrm{rang}(A)=n-1;\\ 0, \mbox{ wenn } \mathrm{rang}(A)\leq n-2. \end{cases}$ [/mm] |
Hallo,
ich arbeite gerade an dieser Aufgabe.
Ich komme aber nicht weiter.
Ich habe mir bisher überlegt:
Wenn gilt: $rang(A)=n$, dann hat die Matrix $A$ vollen Rang und somit gilt:
[mm] $det(A)\neq [/mm] 0$ und somit:
[mm] $adj(A)=det(A)*A^{-1}$
[/mm]
Da gilt: [mm] $det(A)\neq [/mm] 0$ und [mm] $rang(A^{-1})=n$, [/mm] gilt:
$rang(adj(A))=n$.
Jedoch weiß ich nicht, wie ich es bei den anderen beiden zeigen soll.
Vielen Dank für die Hilfe
lG
Dudi
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Hallo,
also zu $rang(adj(A))$, wenn [mm] $rang(A)\leq [/mm] n-2$ habe ich nun auch eine Idee:
Der Rang der Matrix ist ja die größte Zahl r, für die es eine $R [mm] \times [/mm] r$-Untermatrix mit Determinante [mm] $\neq [/mm] 0$ gibt.
Ist nun [mm] $r\leq [/mm] n-2$, so haben alle [mm] $(n-1)\times [/mm] (n-1)$-Untermatrizen die Determinante 0.
Und die adjungierte Matrix besteht aber eben aus diesen Matrizen.
Somit entsteht die Nullmatrix, also gilt:
$rang(adj(A))$ mit [mm] $rang(A)\leq [/mm] n-2 =0$, da die Nullmatrix den Rang 0 besitzt.
Jetzt fehlt mir nur noch der Beweis zu $rang(A)=n-1$
Wäre sehr dankbar, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte.
lG
Dudi
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Hi,
für [mm]\operatorname{rang}(\operatorname{adj}(A))=1[/mm] genügt [mm]A\operatorname{adj}(A)=det(A)*E=0[/mm] (Nullmatrix) zu betrachten.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:20 Mo 04.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:39 So 20.01.2013 | | Autor: | hk61 |
Ja hallo ich muss auch dieselbe Aufgabe lösen, jedoch finde ich keinen Ansatz. Könntet ihr mit vielleicht ein paar Ansätze geben mit denen ich was anfangen kann??
gruß
Hk61> Sei [mm]n\ge 2[/mm] und [mm]A\in K^{n\times n}[/mm].
> Zeigen Sie, dass
> [mm]\mathrm{rang}(\mathrm{adj}(A))=\begin{cases} n, \mbox{ wenn }\mathrm{rang}(A)=n;\\ 1, \mbox{ wenn } \mathrm{rang}(A)=n-1;\\ 0, \mbox{ wenn } \mathrm{rang}(A)\leq n-2. \end{cases}[/mm]
>
> Hallo,
> ich arbeite gerade an dieser Aufgabe.
> Ich komme aber nicht weiter.
> Ich habe mir bisher überlegt:
> Wenn gilt: [mm]rang(A)=n[/mm], dann hat die Matrix [mm]A[/mm] vollen Rang
> und somit gilt:
> [mm]det(A)\neq 0[/mm] und somit:
> [mm]adj(A)=det(A)*A^{-1}[/mm]
> Da gilt: [mm]det(A)\neq 0[/mm] und [mm]rang(A^{-1})=n[/mm], gilt:
> [mm]rang(adj(A))=n[/mm].
> Jedoch weiß ich nicht, wie ich es bei den anderen beiden
> zeigen soll.
>
> Vielen Dank für die Hilfe
> lG
> Dudi
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