Rang < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 So 03.06.2012 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | Seien K ein Körper, m,n,s [mm] \in \IN, [/mm] A [mm] \in K^{n,m} [/mm] und B [mm] \in K^{n,s}. [/mm] Für i=1,...,s bezeichne [mm] b_{i} [/mm] die i-te Spalte von B.
Zeigen Sie, dass das lineare Gleichungssystem AX=B genau dann mindestens eine Lösung X \ in [mm] K^{m,s} [/mm] hat, wenn
[mm] Rg(A)=Rg([A,b_{1}])=Rg([A,b_{2}])=...=Rg([A,b_{s}]).
[/mm]
Unter welcher Bedingung ist diese Lösung eindeutig. |
Hallo,
noch eine Aufgabenstellung über deren Herangehensweise ich mir unschlüssig bin. (genauer: Ich tappe im Dunklen!)
Also mein Köpfchen sagt:
[mm] Rg(A)=Rg([A,b_{1}])=Rg([A,b_{2}])=...=Rg([A,b_{s}])
[/mm]
stimmt nur, wenn jede Spalte von B eine lineare Kombination von A ist.
Also dachte ich mir, okay legen wir doch mal ein n,m und s fest und schauen uns das mal an.(n=3, m=2, S=4)
[mm] A=\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} }
[/mm]
[mm] x=\pmat{ x_{11} & x_{12} & x_{13} & x_{14} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} & x_{24} }
[/mm]
Nun A mit X multipliziert, ergibt für
[mm] B=\pmat{ a_{11}x_{11}+a_{12}x_{21} & a_{11}x_{12}+a_{12}x_{22} & a_{11}x_{13}+a_{12}x_{23} & a_{11}x_{14}+a_{12}x_{24} \\ a_{21}x_{11}+a_{22}x_{21} & a_{21}x_{12}+a_{22}x_{22} & a_{21}x_{13}+a_{22}x_{23} & a_{21}x_{14}+a_{22}x_{24} \\ a_{31}x_{11}+a_{32}x_{21} & a_{31}x_{12}+a_{32}x_{22} & a_{31}x_{13}+a_{32}x_{23} & a_{31}x_{14}+a_{32}x_{24} \\ }
[/mm]
Das könnte man natürlich allgemein gültig machen.
Aber ich denke nicht, dass das einer der Lösungswege für diese Aufgabe ist oder als Lösungsweg funktioniert.
Ideen??
Mia
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Hi,
> Seien K ein Körper, m,n,s [mm]\in \IN,[/mm] A [mm]\in K^{n,m}[/mm] und B [mm]\in K^{n,s}.[/mm]
> Für i=1,...,s bezeichne [mm]b_{i}[/mm] die i-te Spalte von B.
> Zeigen Sie, dass das lineare Gleichungssystem AX=B genau
> dann mindestens eine Lösung X \ in [mm]K^{m,s}[/mm] hat, wenn
>
> [mm]Rg(A)=Rg([A,b_{1}])=Rg([A,b_{2}])=...=Rg([A,b_{s}]).[/mm]
>
> Unter welcher Bedingung ist diese Lösung eindeutig.
> Hallo,
>
> noch eine Aufgabenstellung über deren Herangehensweise ich
> mir unschlüssig bin. (genauer: Ich tappe im Dunklen!)
>
> Also mein Köpfchen sagt:
>
> [mm]Rg(A)=Rg([A,b_{1}])=Rg([A,b_{2}])=...=Rg([A,b_{s}])[/mm]
>
> stimmt nur, wenn jede Spalte von B eine lineare Kombination
> von A ist.
>
> Also dachte ich mir, okay legen wir doch mal ein n,m und s
> fest und schauen uns das mal an.(n=3, m=2, S=4)
>
> [mm]A=\pmat{ a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32} }[/mm]
>
> [mm]x=\pmat{ x_{11} & x_{12} & x_{13} & x_{14} \\
x_{21} & x_{22} & x_{23} & x_{24} }[/mm]
>
> Nun A mit X multipliziert, ergibt für
> [mm]B=\pmat{ a_{11}x_{11}+a_{12}x_{21} & a_{11}x_{12}+a_{12}x_{22} & a_{11}x_{13}+a_{12}x_{23} & a_{11}x_{14}+a_{12}x_{24} \\
a_{21}x_{11}+a_{22}x_{21} & a_{21}x_{12}+a_{22}x_{22} & a_{21}x_{13}+a_{22}x_{23} & a_{21}x_{14}+a_{22}x_{24} \\
a_{31}x_{11}+a_{32}x_{21} & a_{31}x_{12}+a_{32}x_{22} & a_{31}x_{13}+a_{32}x_{23} & a_{31}x_{14}+a_{32}x_{24} \\
}[/mm]
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> Das könnte man natürlich allgemein gültig machen.
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> Aber ich denke nicht, dass das einer der Lösungswege für
> diese Aufgabe ist oder als Lösungsweg funktioniert.
>
> Ideen??
AX=B
sind genau s lineare Gleichungssysteme. [mm] $AX_i=B_i$ [/mm] mit [mm] $X_i,B_i$ [/mm] jeweils Spaltenvektor. Für die kennst du ja die Bedingung für die Lösbarkeit. Das nutzt du.
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> Mia
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