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Rang: Aufgabenverständnis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:16 Sa 26.05.2012
Autor: silfide

Aufgabe
Seien a,b,c [mm] \in \IR^{n,1} [/mm]
(i) Bestimmen Sie den [mm] Rang(ba^{T}) [/mm]
(ii)Sei nun [mm] M(a,b):=ba^{T}-ab^{T}. [/mm] Zeigen Sie das folgendes gilt:
a) M(a,b)=-M(b,a) und M(a,b)c+M(b,c)a+M(c,a)b=0
b)...
c)...

Hallo Leute,

habe gerade keinen Schimmer wie ich die Aufgabe (ii)a) angehen soll.

Mit M(a,b)=-M(b,a) habe ich kein Problem, weil [mm] a:=ba^{T} [/mm] und [mm] b:=ab^{T}, [/mm]
also habe ich qausi [mm] ba^{T}-ab^{T}=-(ab^{T}-ba^{T}) [/mm] Habe das dann mit den Matrizen aufgerechnet, etc. Vllt. wäre das gar nicht nötig gewesen und ich hätte einfach sagen können:

[mm] ba^{T}-ab^{T} [/mm] = [mm] -(ab^{T}-ba^{T})=-ab^{T}+ba^{T}=ba^{T}-ab^{T} [/mm] ??

Aber eigentlich geht es mir um den zweiten Teil (M(a,b)c+M(b,c)a+M(c,a)b=0)

Habe dies auch erst versucht mit Matrizen zu lösen, allerding stoss ich dann bei M(b,c)a auf ein Problem. Da M(b,c)a eigentlich seien müsste als [mm] (ab^{T}-c)* [/mm]
[mm] ba^{T} [/mm] und ich von einer [mm] n\timesn [/mm] Matrize keine n [mm] \times [/mm] 1 Matrize subtrahieren kann ...

Oder kann ich einfach so vorgehen:(?)

M(a,b)c+M(b,c)a+M(c,a)b=0
(a-b)c+(b-c)a+(c-a)b=0
ac-bc+ba-ca+cb-ab=0
0=0

Oder habe ich generell einen Denkfehler bei  M(a,b)=-M(b,a)wo ich [mm] a:=ba^{T} [/mm] und [mm] b:=ab^{T} [/mm] definiere. Ist das vllt. gar nicht so gedacht??

Silfide

        
Bezug
Rang: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:49 Sa 26.05.2012
Autor: Diophant

Hallo,

ich denke, du stolperst über dein eigenes 'Bezeichnungs-Kuddelmuddel':

> Mit M(a,b)=-M(b,a) habe ich kein Problem, weil [mm]a:=ba^{T}[/mm]
> und [mm]b:=ab^{T},[/mm]

Das hier kann schon aus zwei Gründen nicht funktionieren: die Variablen a und b sind bereits vergeben. Aber viel schwerwiegender ist die Tatsache, dass [mm] ab^T [/mm] bzw. [mm] ba^T [/mm] nxn-Matritzen sind, a und b aber Spaltenvektoren. Von daher kann das nicht funktionieren, da du jetzt plötzlich eine nxn-Matrix einsetzt, dort wo per Definition ein Spaltenvektor stehen sollte.


Gruß, Diophant


Bezug
                
Bezug
Rang: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:18 Sa 26.05.2012
Autor: silfide


> Hallo,
>  
> ich denke, du stolperst über dein eigenes
> 'Bezeichnungs-Kuddelmuddel':
>  
> > Mit M(a,b)=-M(b,a) habe ich kein Problem, weil [mm]a:=ba^{T}[/mm]
> > und [mm]b:=ab^{T},[/mm]
>  
> Das hier kann schon aus zwei Gründen nicht funktionieren:
> die Variablen a und b sind bereits vergeben. Aber viel
> schwerwiegender ist die Tatsache, dass [mm]ab^T[/mm] bzw. [mm]ba^T[/mm]
> nxn-Matritzen sind, a und b aber Spaltenvektoren. Von daher
> kann das nicht funktionieren, da du jetzt plötzlich eine
> nxn-Matrix einsetzt, dort wo per Definition ein
> Spaltenvektor stehen sollte.
>  
>
> Gruß, Diophant

Hallo Diophant,

ich weiß was du meinst, allerding wird in der Aufgabenstellung eindeutig M(a,b) definiert [mm] (M(a,b):=ba^{T}-ab^{T}) [/mm] und somit wird für M(a,b) von einer n [mm] \times [/mm] n Matrize eine andere n [mm] \times [/mm] n Matrize abgezogen. Also kann ich doch nicht für -M(b,a) wieder davon ausgehen, dess hier zwei Spaltenvektoren gemeint sind, denn sonst würde das Mit M(a,b)=-M(b,a) nicht stimmen...

Silfide

P.S. Wie ist den deiner Meinung nach -M(b,a) definiert?  


Bezug
                        
Bezug
Rang: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:45 Sa 26.05.2012
Autor: Leopold_Gast

[mm]-M(b,a)[/mm] ist nicht neu definiert, sondern bereits eine Anwendung der Definition von [mm]M(a,b)[/mm]. Klebe nicht an Buchstaben. Entscheidend sind die Rollen der Variablen. In [mm]M(a,b)[/mm] spielt [mm]a[/mm] die Rolle des ersten Arguments und [mm]b[/mm] die Rolle des zweiten. Nach Definition ist

[mm]M(a,b) = ba^{\top} - ab^{\top}[/mm]

Lies die Definition so: "2. Argument mal (1. Argument transponiert) minus 1. Argument mal (2. Argument transponiert)"

Und genau das mußt du nun bei [mm]M(b,a)[/mm] machen. Jetzt ist aber [mm]b[/mm] das erste Argument und [mm]a[/mm] das zweite. Also gilt

[mm]-M(b,a) = - \left( ab^{\top} - ba^{\top} \right)[/mm]

Und hier wurde nur die Definition auf die neue Situation angewendet. Das vordere Minuszeichen hat damit nichts zu tun. Jetzt wird aber die Klammer nach den üblichen Regeln aufgelöst:

[mm]- \left( ab^{\top} - ba^{\top} \right) = -ab^{\top} + ba^{\top} = ba^{\top} - ab^{\top}[/mm]

Vergleicht man das mit der Definition von [mm]M(a,b)[/mm], so ist nun gezeigt:

[mm]-M(b,a) = M(a,b)[/mm]

Was ist eigentlich [mm]M(a,b)[/mm] für ein Typ? [mm]ba^{´\top}[/mm] ist vom Typ "Spalte mal Zeile" und somit eine n×n-Matrix. Ebenso [mm]ab^{\top}[/mm]. Die Differenz zweier n×n-Matrizen ist wieder eine n×n-Matrix. Somit ist [mm]M(a,b)[/mm] eine n×n-Matrix. Und eine solche kann man mit einer Spalte multiplizieren und erhält als Ergebnis wieder eine Spalte. In der Summe

[mm]M(a,b) \cdot c + M(b,c) \cdot a + M(c,a) \cdot b[/mm]

werden also drei Spalten miteinander addiert, und das Ergebnis ist wieder eine Spalte. Jetzt wende die Definition von [mm]M[/mm] an. Für den zweiten Summanden führe ich das einmal vor:

[mm]M(a,b) \cdot c + M(b,c) \cdot a + M(c,a) \cdot b = \ldots + \left( cb^{\top} - bc^{\top} \right) \cdot a + \ldots = \ldots + cb^{\top} a - bc^{\top} a + \ldots[/mm]

Beim Multiplizieren von Matrizen kann man auf Klammern verzichten (Assoziativgesetz). Dagegen kann man die Matrix-Faktoren nicht einfach vertauschen. Allerdings liegt hier eine spezielle Situation vor. Wenn man nämlich neu klammert, z.B.

[mm]c \cdot \left( b^{\top} a \right)[/mm]

dann ist die Klammer vom Typ "Zeile mal Spalte" und damit ein Skalar. Skalare aber darf man in Matrizenprodukten an eine beliebige Stelle bringen. Und mit diesem "Trick" mußt du arbeiten ...

Bezug
                                
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Rang: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:35 Mo 28.05.2012
Autor: silfide

Danke, nun habe ich verstanden...

Silfide

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