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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Rang
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Rang: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:38 Do 04.12.2008
Autor: Arina

Aufgabe
Seien A,B Matrizen mit Einträgen aus einem Körper, so dass A*B definiert ist.
Untersuchen Sie, ob folgende Aussagen wahr sind:
(i) rg(A*B) [mm] \le [/mm] rg(A)
(ii) rg (A*B) [mm] \le [/mm] rg(B)

Hallo zusammen!
Die Aussagen sind doch falsch, oder?
Ich habe Paar Beispielen gemacht, und die zeigen mir, dass der Rang des Produkts größer gleich Rang von A bzw. von B ist? Stimmt das, dass die zwei Aussagen falsch sind????
Gruß, Arina
        
Bezug
Rang: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:00 Do 04.12.2008
Autor: Herby

Hallo,

im allg. gilt:  [mm] Rang(A\* B)\le min\{Rang(A),Rang(B\} [/mm]


Liebe Grüße
Herby
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Bezug
Rang: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:07 Do 04.12.2008
Autor: Arina

danke schön für deine Anwort!
aber wie kann ich das zeigen? weil wenn ich i-welche matrizen nehme, dann geht bei mir, dass der rang des produkts größer oder gleich dem rang von A bzw. von B ist, und das widerspricht doch....
Bezug
                        
Bezug
Rang: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:10 Do 04.12.2008
Autor: fred97


> danke schön für deine Anwort!
>  aber wie kann ich das zeigen? weil wenn ich i-welche
> matrizen nehme, dann geht bei mir, dass der rang des
> produkts größer oder gleich dem rang von A bzw. von B ist,
> und das widerspricht doch....



Nein. Aussage (1): [mm] a\le [/mm] b.      Aussage (2)  a [mm] \ge [/mm] b.

Widersprechen sich diese beiden Aussagen ?

FRED
Bezug
                                
Bezug
Rang: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:27 Do 04.12.2008
Autor: Arina

was für (1) und (2)?????
ich muss die zwei aussagen untersuchen:
rg(a*b)<= rg (a)
rg(a*b)<= rg (b)

und wenn ich z.B die a= (1 5
                         2 2
                         3 1)
und die b= (1 2 3 5 1
            2 4 3 1 3)
betracht, dann kommt raus
a*b= (11 22 18 10 16
      5  12 12 12  8
      5  10 12 16  9)

=>  2=rg(a) < rg(a*b)=5

und das widerspricht doch der Aussage!!!
Bezug
                                        
Bezug
Rang: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:17 Do 04.12.2008
Autor: Herby

Hallo [hand]

bin wieder da.

> was für (1) und (2)?????

>  ich muss die zwei aussagen untersuchen:
>  (1)  rg(a*b)<= rg (a)
>  (2)  rg(a*b)<= rg (b)

genau, nämlich (1) und (2) ;-)


Wenn du jetzt noch meinen Spruch von vorhin dazu nimmst, dann ergibt auch sicher die Aussage von Fred einen Sinn für dich - wir ergänzen uns quasi (ähm - nicht oft, aber manchmal)

[mm] $Rang(A\*B)\ \le\ [/mm] min\ [mm] \{Rang(A),Rang(B)\}$ [/mm]

Dann ist bei (1)  $a\ [mm] \le\ [/mm] b$
und bei (2)  $b\ [mm] \le\ [/mm] a$

mit a bzw. b ist abkürzend der Rang gemeint

Nun klarer?

>  
> und wenn ich z.B die a= (1 5
>                           2 2
>                           3 1)
>  und die b= (1 2 3 5 1
> 2 4 3 1 3)
>  betracht, dann kommt raus
>  a*b= (11 22 18 10 16
>        5  12 12 12  8
>        5  10 12 16  9)
>  
> =>  2=rg(a) < rg(a*b)=5

kleiner mistake :-)  Du hast als Produkt eine 3x5-Matrix - und wir wissen aus der Vorlesung, dass der Rang eine Matrix maximal was sein kann???

Genau, also fällt die 5 schon mal ins Wasser. Bringst du das Ding auf Zeilenstufenform, dann bekommst du schnell in der letzten Zeile ein 00000-Reihe. Ergo: Rang 2 und alles ist im grünen Bereich.


Liebe Grüße
Herby
Bezug
                                                
Bezug
Rang: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:18 Fr 05.12.2008
Autor: Arina

Vielen vielen Dank!!!!!
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