Randwertproblem DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Lösen Sie die Randwertaufgaben
(a) x''(t) = 1, x' (0) = 0, x' (1) = 2,
(b) x''(t) = 1, x' (0) = 0, x' (1) = 1.
(c) x''(t) − 2x' (t) = 0, x(0) = 1, x(1) = 0 |
Hallo,
ich denke aufgabe b habe ich schon gelöst:
x'(t)= t >> x'(0)=0 >> x'(1)= 1
>>x(t)= [mm] \bruch{t^2}{2}
[/mm]
aufgabe a) wäre ja eigentlich fast der selbe ansatz, aber bei x'(1) = 2 gehts nicht...ich komme nicht drauf..
aufgabe c) : wie soll ich hier ansetzen, auch einfach im kopf integrieren oder gibt es da eine bestimmte vogehensweise?
grüße
|
|
| |
|
ich habe jetzt einfach mal hochintegriert und das so zusammengefasst:
aufgabe a)
x''(t)=1 >> x'(t) = t + C >> x'(0) = 0 + C mit C=0 und x'(1) = 1+ C mit C=1
>> ist nicht eindeutig lösbar
aufgabe c)
das charakteristische polynom gebildet: [mm] \lambda^2 -2\lambda [/mm] = 0
damit die eigenwerte: [mm] \lambda_1 [/mm] = 0 und [mm] \lambda_2 [/mm] = 2
damit die lösungen über exponentialansatz: [mm] x_1= [/mm] e^0t=1 und [mm] x_2= [/mm] e^2t
die allgemeine lösung ist dann: x(t)= A*1 + B* e^2t
für das RWP1 gilt dann: x(0) = A + B = 1
für RWP2 somit: x(1) = A + [mm] B*e^2 [/mm] = 0
damit wäre die lösung: A= 1 + [mm] \bruch{1}{e^2 - 1 } [/mm] B= - [mm] \bruch{1}{e^2 - 1 }
[/mm]
damit: x(t)= 1 + [mm] \bruch{1}{e^2 - 1 } [/mm] - [mm] \bruch{1}{e^2 - 1 }*e^2t
[/mm]
kann das so stimmen?
|
|
|
| |
|
Hallo pandabaer,
> ich habe jetzt einfach mal hochintegriert und das so
> zusammengefasst:
>
> aufgabe a)
>
> x''(t)=1 >> x'(t) = t + C >> x'(0) = 0 + C mit C=0 und
> x'(1) = 1+ C mit C=1
>
> >> ist nicht eindeutig lösbar
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> aufgabe c)
>
> das charakteristische polynom gebildet: [mm]\lambda^2 -2\lambda[/mm]
> = 0
> damit die eigenwerte: [mm]\lambda_1[/mm] = 0 und [mm]\lambda_2[/mm] = 2
> damit die lösungen über exponentialansatz: [mm]x_1=[/mm] e^0t=1
> und [mm]x_2=[/mm] e^2t
> die allgemeine lösung ist dann: x(t)= A*1 + B* e^2t
>
> für das RWP1 gilt dann: x(0) = A + B = 1
> für RWP2 somit: x(1) = A + [mm]B*e^2[/mm] = 0
>
> damit wäre die lösung: A= 1 + [mm]\bruch{1}{e^2 - 1 }[/mm] B= -
> [mm]\bruch{1}{e^2 - 1 }[/mm]
>
> damit: x(t)= 1 + [mm]\bruch{1}{e^2 - 1 }[/mm] - [mm]\bruch{1}{e^2 - 1 }*e^2t[/mm]
>
> kann das so stimmen?
Ja, Aufgabe c) stimmt auch.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo pandabaer,
> Lösen Sie die Randwertaufgaben
> (a) x''(t) = 1, x' (0) = 0, x' (1) = 2,
> (b) x''(t) = 1, x' (0) = 0, x' (1) = 1.
> (c) x''(t) − 2x' (t) = 0, x(0) = 1, x(1) = 0
> Hallo,
> ich denke aufgabe b habe ich schon gelöst:
>
> x'(t)= t >> x'(0)=0 >> x'(1)= 1
> >>x(t)= [mm]\bruch{t^2}{2}[/mm]
Stimmt.
>
> aufgabe a) wäre ja eigentlich fast der selbe ansatz, aber
> bei x'(1) = 2 gehts nicht...ich komme nicht drauf..
>
> aufgabe c) : wie soll ich hier ansetzen, auch einfach im
> kopf integrieren oder gibt es da eine bestimmte
> vogehensweise?
Diese Fragen hast Du Dir in diesem Artikel schon beantwortet.
>
> grüße
Gruss
MathePower
|
|
|
|
