www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Randwertproblem
Randwertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Randwertproblem: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:10 Di 26.06.2012
Autor: teo

Aufgabe
Bestimmen Sie jeweils alle Lösungen [mm] u:\IR \to \IR [/mm] der Differentialgleichung u'' -10u' + 34u = 0 für die Randwertprobleme:

a) u(0) = 0, [mm] u(\frac{\pi}{2}) [/mm] = 1

b) u(0) = 0, [mm] u(\pi) [/mm] = 1

c) u(0) = 0, [mm] u(\pi) [/mm] = 0

Hallo,

die allgemeine Lösung ist:

[mm] \phi(t) = c_1e^{5t}cos(3t) + c_2e^{5t}sin(3t) [/mm]

So wie ich das jetzt verstanden habe, setze ich die Randwerte einfach mal ein und guck was sich für die Konstanten [mm] c_1, c_2 [/mm] ergibt.

Es ist [mm] \phi(0) = c_1e^{3*0}cos(3*0) + c_2e^{5*0}sin(3*0) = c_1 = 0 [/mm] also ist für alle Teilaufgaben a) bis c) [mm] c_1 [/mm] = 0.

a) [mm] \phi(\frac{\pi}{2})=c_2e^{5*\frac{\pi}{2}}sin(3*\frac{\pi}{2})=c_2 e^{5*\frac{\pi}{2}} * (-1) = 1[/mm]
Also muss [mm] c_2=-e^{-5*\frac{\pi}{2}} [/mm] gelten. Und die Lösung für a) wäre [mm] \phi(t) [/mm] = -sin(3t) <- stimmt aber nicht wenn ich das in u'' - 10u' + 34u = 0 einsetze...

b) [mm] \phi(\pi)=c_2 e^{5\pi}sin(3\pi) = 0 [/mm] für alle [mm] c_2 \in \IR, [/mm] folglich gibt es keine Lösung außer der trivialen..

c)[mm]\phi(\pi)=c_2e^{5\pi}sin(3\pi) = 0 [/mm] für alle [mm] c_2 \in \IR [/mm]
folglich ist die Lösung [mm] \phi(t) [/mm] = [mm] c_2e^{5t} [/mm] sin(3t)

Stimmt das?

Was ist alles falsch?

Danke


        
Bezug
Randwertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:24 Di 26.06.2012
Autor: MathePower

Hallo teo,

> Bestimmen Sie jeweils alle Lösungen [mm]u:\IR \to \IR[/mm] der
> Differentialgleichung u'' -10u' + 34u = 0 für die
> Randwertprobleme:
>  
> a) u(0) = 0, [mm]u(\frac{\pi}{2})[/mm] = 1
>  
> b) u(0) = 0, [mm]u(\pi)[/mm] = 1
>  
> c) u(0) = 0, [mm]u(\pi)[/mm] = 0
>  Hallo,
>
> die allgemeine Lösung ist:
>  
> [mm]\phi(t) = c_1e^{5t}cos(3t) + c_2e^{5t}sin(3t)[/mm]
>  
> So wie ich das jetzt verstanden habe, setze ich die
> Randwerte einfach mal ein und guck was sich für die
> Konstanten [mm]c_1, c_2[/mm] ergibt.
>  
> Es ist [mm]\phi(0) = c_1e^{3*0}cos(3*0) + c_2e^{5*0}sin(3*0) = c_1 = 0[/mm]
> also ist für alle Teilaufgaben a) bis c) [mm]c_1[/mm] = 0.
>  
> a)
> [mm]\phi(\frac{\pi}{2})=c_2e^{5*\frac{\pi}{2}}sin(3*\frac{\pi}{2})=c_2 e^{5*\frac{\pi}{2}} * (-1) = 1[/mm]
> Also muss [mm]c_2=-e^{-5*\frac{\pi}{2}}[/mm] gelten. Und die Lösung
> für a) wäre [mm]\phi(t)[/mm] = -sin(3t) <- stimmt aber nicht wenn
> ich das in u'' - 10u' + 34u = 0 einsetze...
>  


Die Lösung ergibt sich doch zu:

[mm]\phi\left(t\right)=c_{2}*e^{5t}\sin\left(3t\right)=\blue{-e^{-5*\frac{\pi}{2}}}*e^{5t}\sin\left(3t\right)[/mm]


> b) [mm]\phi(\pi)=c_2 e^{5\pi}sin(3\pi) = 0[/mm] für alle [mm]c_2 \in \IR,[/mm]
> folglich gibt es keine Lösung außer der trivialen..
>  


Es gibt auch keine triviale Lösung für diese Anfangswerte.


> c)[mm]\phi(\pi)=c_2e^{5\pi}sin(3\pi) = 0[/mm] für alle [mm]c_2 \in \IR[/mm]
>  
> folglich ist die Lösung [mm]\phi(t)[/mm] = [mm]c_2e^{5t}[/mm] sin(3t)
>  

[ok]


> Stimmt das?
>  
> Was ist alles falsch?
>  
> Danke

>


Gruss
MathePower  

Bezug
                
Bezug
Randwertproblem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:29 Di 26.06.2012
Autor: teo


> Hallo teo,
>  
> > Bestimmen Sie jeweils alle Lösungen [mm]u:\IR \to \IR[/mm] der
> > Differentialgleichung u'' -10u' + 34u = 0 für die
> > Randwertprobleme:
>  >  
> > a) u(0) = 0, [mm]u(\frac{\pi}{2})[/mm] = 1
>  >  
> > b) u(0) = 0, [mm]u(\pi)[/mm] = 1
>  >  
> > c) u(0) = 0, [mm]u(\pi)[/mm] = 0
>  >  Hallo,
> >
> > die allgemeine Lösung ist:
>  >  
> > [mm]\phi(t) = c_1e^{5t}cos(3t) + c_2e^{5t}sin(3t)[/mm]
>  >  
> > So wie ich das jetzt verstanden habe, setze ich die
> > Randwerte einfach mal ein und guck was sich für die
> > Konstanten [mm]c_1, c_2[/mm] ergibt.
>  >  
> > Es ist [mm]\phi(0) = c_1e^{3*0}cos(3*0) + c_2e^{5*0}sin(3*0) = c_1 = 0[/mm]
> > also ist für alle Teilaufgaben a) bis c) [mm]c_1[/mm] = 0.
>  >  
> > a)
> >
> [mm]\phi(\frac{\pi}{2})=c_2e^{5*\frac{\pi}{2}}sin(3*\frac{\pi}{2})=c_2 e^{5*\frac{\pi}{2}} * (-1) = 1[/mm]
> > Also muss [mm]c_2=-e^{-5*\frac{\pi}{2}}[/mm] gelten. Und die Lösung
> > für a) wäre [mm]\phi(t)[/mm] = -sin(3t) <- stimmt aber nicht wenn
> > ich das in u'' - 10u' + 34u = 0 einsetze...
>  >  
>
>
> Die Lösung ergibt sich doch zu:
>  
> [mm]\phi\left(t\right)=c_{2}*e^{5t}\sin\left(3t\right)=\blue{-e^{-5*\frac{\pi}{2}}}*e^{5t}\sin\left(3t\right)[/mm]

ja stimmt... danke!

>
> > b) [mm]\phi(\pi)=c_2 e^{5\pi}sin(3\pi) = 0[/mm] für alle [mm]c_2 \in \IR,[/mm]
> > folglich gibt es keine Lösung außer der trivialen..
>  >  
>
>
> Es gibt auch keine triviale Lösung für diese
> Anfangswerte.
>  
>
> > c)[mm]\phi(\pi)=c_2e^{5\pi}sin(3\pi) = 0[/mm] für alle [mm]c_2 \in \IR[/mm]
>  
> >  

> > folglich ist die Lösung [mm]\phi(t)[/mm] = [mm]c_2e^{5t}[/mm] sin(3t)
>  >  
>
> [ok]
>  
>
> > Stimmt das?
>  >  
> > Was ist alles falsch?
>  >  
> > Danke
>  >
>  
>
> Gruss
>  MathePower    

Dann doch so einfach. Vielen Dank!

Grüße

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]