Randwert Aufspüren < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo zusammen.
geg.: Sei f auf S definiert.
1. f(x,y)= x²+y²-1
2. S={(x,y): x²+y² [mm] \le [/mm] 1}
ges.: Extremwerte von f auf S.
Extremwertsatz
Nachdem man nun also sichergestellt hat, daß f stetig ist (reicht einmal ableiten um zu zeigen, daß eine Fkt. stetig ist?) und S kompakt ist, bestimmt man die Kandidaten, die in Frage kommen ein Extremum zu sein.
Das sind erstens die Werte für die [mm] \partial f/\partial [/mm] x und [mm] \partial f/\partial [/mm] y gleich Null werden.
Das ist zweitens der größte Wert auf dem Rand von S.
Suche nach Randwert
Im hier gegebenen Bsp. ist der Rand von S ein Kreis um den Ursprung.
Warum ist das ein Kreis?
Wäre der Rand einer Menge T im 3-dimensionalen eine Kugel?
Wie sieht der Rand von derartigen Mengen in 4. - n.-Dimension aus?
Auch Kugeln?
Danke Euch im Voraus,
Ahoi, Peter. ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
|
|
| |
|
> Hallo zusammen.
>
Salüü
> geg.: Sei f auf S definiert.
>
> 1. f(x,y)= x²+y²-1
>
> 2. [mm] S=\{(x,y): x²+y² \le 1 \}
[/mm]
>
> ges.: Extremwerte von f auf S.
>
> Extremwertsatz
> Nachdem man nun also sichergestellt hat, daß f stetig ist
> (reicht einmal ableiten um zu zeigen, daß eine Fkt. stetig
> ist?)
Du mischst da etwas: Stetigkeit bedeutet anschaulich, dass der Graph der Funktion zusammenhängt, dass du also nicht irgendwelche Sprungstellen drinn hast. Ecken sind aber sehr wohl möglich, was bedeutet, dass die Ableitung an der Ecke gar nicht definiert ist. Wenn du aber umgekehrt eine Funktion überall ableiten kannst (dh. sie ist differenzierbar) dann ist sie stetig:
Differenzierbarkeit [mm] \Rightarrow[/mm] Stetigkeit
Aber nicht umgekehrt!
Dass dein f stetig ist, sieht man ja vom Schiff aus :) Wo soll da eine Unstetigkeitsstelle herkommen? Gut, wenn du untersuchst, ob dieses f irgend eine Stelle hat, die nicht diff'bar ist, dann wirst du scheitern, will heissen, du kannst die obige Implikation benutzen.
>und S kompakt ist, bestimmt man die Kandidaten, die
> in Frage kommen ein Extremum zu sein.
>
> Das sind erstens die Werte für die [mm]\partial f/\partial[/mm] x
> und [mm]\partial f/\partial[/mm] y gleich Null werden.
>
> Das ist zweitens der größte Wert auf dem Rand von S.
>
> Suche nach Randwert
> Im hier gegebenen Bsp. ist der Rand von S ein Kreis um den
> Ursprung.
> Warum ist das ein Kreis?
Hmm also am Rand gilt
[mm]
x^2 + y^2 = 1
[/mm]
Mit Pythagoras siehst du, dass die 1 die Länge der Hypotenuse des Dreiecks mit Ecken (0|0), (x|0) und (x|y) ist. Alle Punkte die die obige Gleichung erfüllen, sind also die Punkte in [mm] \IR^{2} [/mm] die von (0|0) den Abstand 1 haben und das ist ja gerade ein Kreis um (0|0) mit Radius 1.
Weil du nun [mm] \le [/mm] hast, erfüllen auch alle Punkte innerhalb des Einheitskreises diese Bedingung. S ist damit eine sogenannte Kreisscheibe.
> Wäre der Rand einer Menge T im 3-dimensionalen eine
> Kugel?
Was ist T? Wenn du
[mm]
T={(x,y,z): x^2 + y^2 + z^2 \le 1}
[/mm]
meinst, dann hast du Recht.
> Wie sieht der Rand von derartigen Mengen in 4. -
> n.-Dimension aus?
> Auch Kugeln?
>
Ja, aber versuch' es dir besser nicht vorzustellen. Man spricht allgemein von den Sphären:
[mm]
S^{n-1}=\{(x_{1},x_{2},...,x_{n}) \in \IR^{n}: \summe_{i=1}^{n} (x_{i})^{2}=1\}
[/mm]
[mm] S^{1} [/mm] ist der Einheitskreis oder 1-Sphäre, [mm] S^{2} [/mm] die Einheitskugel oder 2-Sphäre.
> Danke Euch im Voraus,
>
> Ahoi, Peter.
>
Tschüss
EvenSteven
|
|
|
| |
|
Huhu EvenSteven, huhu Zusammen.
Vielen Dank für Deine Bemühungen.
Was ich meine verstanden zu haben:
Hat man x²+y²=1 gegeben, dann kann man daraus ablesen, daß nach dem Satz von Pythagoras, die Summe der Katheten x²+y² gleich dem Quadrat der Hypothenuse also hier = 1 ist.
Radiziert man das Hypothenusenquadrat ergibt sich 1 für den Wert der Hypothenuse.
Was ich nicht verstanden habe:
"Mit Pythagoras siehst du, dass die 1 die Länge der Hypotenuse des Dreiecks mit Ecken (0|0), (x|0) und (x|y) ist."
Hat das Dreieck, das Du meinst nicht die Ecken (0|0),(x|0),(0,y)?
Warum wird bei einer Menge wie [mm] px+qy\lem [/mm] , [mm] x\ge0 [/mm] , [mm] y\ge0 [/mm] (also für positive Parameter x,y)
die Hypothenuse als Gerade dargestellt und nicht ebenfalls als Kreissegment wie im obigen Bsp.?
Die gesamte Menge wird also als Dreieck dargestellt.
Kriege ich gerade irgendwie nicht zusammen unter einen Hut.
Danke im Voraus.
Lieben Gruß,
Peter.
|
|
|
| |
|
Hallo und guten Morgen,
ich seh Euer Problem grad nicht. Offenbar bildet doch f surjektiv nach [-1,0] ab, d.h. die Extremwerte sind -1 (angenommen nur im Punkt (0,0))
und 0 (angenommen auf dem Rand, d.h. für alle (x,y) mit [mm] x^2+y^2=1.
[/mm]
Gruss,
Mathias
|
|
|
| |
|
Huhu EvenSteven, huhu Zusammen.
Vielen Dank für Deine Bemühungen.
Was ich meine verstanden zu haben:
Hat man x²+y²=1 gegeben, dann kann man daraus ablesen, daß nach dem Satz von Pythagoras, die Summe der Katheten x²+y² gleich dem Quadrat der Hypothenuse also hier = 1 ist.
Radiziert man das Hypothenusenquadrat ergibt sich 1 für den Wert der Hypothenuse.
Was ich nicht verstanden habe:
"Mit Pythagoras siehst du, dass die 1 die Länge der Hypotenuse des Dreiecks mit Ecken (0|0), (x|0) und (x|y) ist."
Hat das Dreieck, das Du meinst nicht die Ecken (0|0),(x|0),(0,y)?
Warum wird bei einer Menge wie [mm] px+qy\lem [/mm] , [mm] x\ge0 [/mm] , [mm] y\ge0 [/mm] (also für positive Parameter x,y)
die Hypothenuse als Gerade dargestellt und nicht ebenfalls als Kreissegment wie im obigen Bsp.?
Die gesamte Menge wird also als Dreieck dargestellt.
Kriege ich gerade irgendwie nicht zusammen unter einen Hut.
Danke im Voraus.
Lieben Gruß,
Peter.
|
|
|
| |
|
> Huhu EvenSteven, huhu Zusammen.
>
Salüüü
> Was ich meine verstanden zu haben:
>
> Hat man x²+y²=1 gegeben, dann kann man daraus ablesen, daß
> nach dem Satz von Pythagoras, die Summe der Katheten x²+y²
> gleich dem Quadrat der Hypothenuse also hier = 1 ist.
> Radiziert man das Hypothenusenquadrat ergibt sich 1 für den
> Wert der Hypothenuse.
Jup genau.
> Was ich nicht verstanden habe:
>
> "Mit Pythagoras siehst du, dass die 1 die Länge der
> Hypotenuse des Dreiecks mit Ecken (0|0), (x|0) und (x|y)
> ist."
>
> Hat das Dreieck, das Du meinst nicht die Ecken
> (0|0),(x|0),(0,y)?
>
Nein, so wie ich es geschrieben habe. Nehmen wir mal folgendes Beispiel an:
[mm] $x=\bruch{1}{2}$
[/mm]
[mm] $y=\bruch{\wurzel{3}}{2}$
[/mm]
Das Dreieck mit Ecken [mm] $A=(0|0),B=(\bruch{1}{2}|0)$ [/mm] und [mm] $C=(\bruch{1}{2}|\bruch{\wurzel{3}}{2})$ [/mm] hat die Katheten [mm] \overline{AB} [/mm] und [mm] \overline{BC}, [/mm] die Hypotenuse ist [mm] \overline{AC}. [/mm] Die Hyptonuse hat Länge [mm] $\wurzel{x^2+y^2}=\wurzel{\left( \bruch{1}{2} \right)^2+\left( \bruch{\wurzel{3}}{2} \right)^2}=\wurzel{\bruch{1}{4} + \bruch{3}{4}}=1$. [/mm] Dieser Punkt (x|y) erfüllt die Gleichung [mm] $x^2+y^2=1$.
[/mm]
Ich versuche es anders zu erklären: Wie gross ist der Abstand d eines allgemeinen Punktes (x|y) der Ebene vom Ursprung? Wir gucken irgendeinen in der Ebene an und sehen mit Pythgoras:
[mm] $d=\wurzel{x^2+y^2}$
[/mm]
Nun lassen wir d konstant, das heisst während der folgenden Überlegung ist es fest. Anschaulich: Du stehst in der Ebene und hast ein Seil der Länge d in der Hand, dass am "Ursprung" der Ebene (irgend ein Pflock) befestigt ist. Wie kannst du dich nun bewegen ohne das Seil zu zerreissen (also weiter weg laufen) oder lockern (näher zum Pflock laufen)? Natürlich nur auf einem Kreis mit dem Radius d, denn genau da bleibt das Seil immer gespannt.
Zurück zur Frage: Es soll also gelten: [mm] $x^2+y^2=1$. [/mm] Ziehen wir daraus die Wurzel, so haben wir
[mm] $\wurzel{x^2+y^2}=\wurzel{1}=1$ [/mm] Es ist also d=1 und du hast einen Kreis mit Radius 1. Verständlicher nun?
>
> Warum wird bei einer Menge wie [mm]px+qy\lem[/mm] ,
> [mm]x\ge0[/mm] , [mm]y\ge0[/mm]
> (also für positive Parameter x,y)
> die Hypothenuse als Gerade dargestellt und nicht ebenfalls
> als Kreissegment wie im obigen Bsp.?
> Die gesamte Menge wird also als Dreieck dargestellt.
>
Das verstehe ich jetzt nicht ganz...
[mm]px+qy= \mbox{was?}[/mm]
Ohne ein = hat das so viel Aussagewert wie "Ash nazg krimpatul" *g*
>
> Kriege ich gerade irgendwie nicht zusammen unter einen Hut.
>
> Danke im Voraus.
>
> Lieben Gruß,
>
> Peter.
>
Grüsse
EvenSteven
|
|
|
| |
|
Huhu EvenSteven, huhu Zusammen.
1A-anschauliches Beispiel. Danke Dir.
Meine Frage war tatsächlich unvollständig.
Warum wird bei einer Menge wie px+qy [mm] \le [/mm] m , [mm] x\ge0 [/mm] , [mm] y\ge0 [/mm] (also für positive Parameter x,y)
die Hypothenuse als Gerade dargestellt und nicht ebenfalls als Kreissegment wie im obigen Bsp.?
Die gesamte Menge wird also als Dreieck dargestellt (Mit den Seiten x, y und m).
Danke Vielmals!
Grüße, Peter. 
|
|
|
| |
|
> Huhu EvenSteven, huhu Zusammen.
>
> 1A-anschauliches Beispiel. Danke Dir.
>
> Meine Frage war tatsächlich unvollständig.
>
> Warum wird bei einer Menge wie px+qy [mm]\le[/mm] m , [mm]x\ge0[/mm] , [mm]y\ge0[/mm]
> (also für positive Parameter x,y)
Normalerweise bezeichnet man p und q als Parameter und demgegenüber x und y als Variable (Vergewissere dich vom Unterschied!). Ich gehe nun davon aus, dass du es so gemeint hast (mit den genannten Bed. an die Variabeln x und y)
> die Hypothenuse als Gerade dargestellt und nicht ebenfalls
> als Kreissegment wie im obigen Bsp.?
> Die gesamte Menge wird also als Dreieck dargestellt (Mit
> den Seiten x, y und m).
>
> Danke Vielmals!
>
> Grüße, Peter.
>
>
Ich habe Mühe deine Frage zu verstehen, denn du mischst wieder ein paar Sachen:
- Der Begriff Hypotenuse macht nur Sinn, wenn du ein rechtwinkeliges Dreieck hast. Die längste Seite wird als Hypotenuse bezeichnet. Menge und Hypotenuse haben nichts miteinander zu tun.
> Hypotenuse als Gerade dargestellt
oO Die Hypotenuse ist immer eine Gerade!
> Hypotenuse als Kreissegment darstellen
Siehe oben: Da eine Hypotenuse eine Gerade ist, kann sie nicht auch noch eine Fläche sein.
> Die gesamte Menge wird also als Dreieck dargestellt (Mit
> den Seiten x, y und m).
x ist eine Variable, keine Benennung einer Seite. Vermutlich meinst du folgende Aussage:
Die gesamte Menge wird als Dreieck dargestellt, begrenzt nach "oben" durch die Gerade $px+qy = m$ und den ersten Quadranten ( wo also [mm]x\ge0[/mm] , [mm]y\ge0[/mm] gilt).
Lass' dir das in Ruhe etwas durch den Kopf gehen und formuliere deine Frage besser - evt. hat es sich danach geklärt 
Gruss
EvenSteven
|
|
|
|
