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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:24 Mo 07.03.2011 | | Autor: | Paivren |
Hallo Leute, ich hab mal wieder einen Grenzwert, der erkannt werden will.
Wir haben die Regeln von diesem de l'Hospital noch nicht durchgenommen und ich wollte wissen, ob man ihn vielleicht doch irgendwie herausfinden kann (ist Teil einer Extremwertaufgabe).
[mm] \limes_{x\rightarrow 0+}x*\ln(\bruch{1}{x}) [/mm]
mfG.
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Hallo Paivren,
> Hallo Leute, ich hab mal wieder einen Grenzwert, der
> erkannt werden will.
> Wir haben die Regeln von diesem de l'Hospital noch nicht
> durchgenommen und ich wollte wissen, ob man ihn vielleicht
> doch irgendwie herausfinden kann (ist Teil einer
> Extremwertaufgabe).
>
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0+}x*\ln(\bruch{1}{x})[/mm]
Wenn du hier mal substituierst mit [mm]y:=\frac{1}{x}[/mm]
Dann kannst du äquivalent die Grenzwertbetrachtung
[mm]\lim\limits_{y\to +\infty}\frac{\ln(y)}{y}[/mm] machen.
Denn, wenn [mm]x \to 0^+[/mm] geht, so geht [mm]\frac{1}{x}=y\to +\infty[/mm]
Hattet ihr nun im Unterricht schon erwähnt, dass der Logarithmus schwächer wächst als jede Potenz von y?
Also insbesondere [mm]\ln(y)\le y^{\frac{1}{2}}=\sqrt{y} \ \ (\star)[/mm]
Dann nimm an, dass ohne Einschränkung [mm]y\ge 1[/mm] sei (du willst ja [mm]y\to +\infty[/mm] betrachten)
Dann ist [mm]0\le\frac{\ln(y)}{y}\overset{(\star)}{\le}\frac{y^{\frac{1}{2}}}{y}=\frac{1}{\sqrt{y}}[/mm]
Und was passiert hier für [mm]y\to +\infty[/mm] ?
>
>
> mfG.
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Mo 07.03.2011 | | Autor: | Paivren |
Ach, du hattest mir doch letztens auch schon geholfen, hallo :)
Ich verstehe, was du sagst.
[mm] \limes_{x\rightarrow 0+}x*\ln(\bruch{1}{x})
[/mm]
Nun Substituiere ich z= [mm] \bruch{1}{x}, [/mm] wodurch der Term so aussieht:
[mm] \bruch{ln(z)}{z}
[/mm]
Wenn ich x --> 0 im Ausgangsterm laufen lasse, dann ist das dasselbe, als wenn ich [mm] z-->\infty [/mm] im neuen Term laufen lasse.
Das heißt dann doch:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} x*\ln(\bruch{1}{x}) [/mm] = [mm] \limes_{z\rightarrow\infty} \bruch{ln(z)}{z} [/mm] = 0
Richtig?
Dann habe ich aber eine allgemeine Frage.
Substituieren ist doch eigtl. sowas wie eine Äquivalenzumformung oder?
Der Term verhält sich nach der Substitution genauso, wie davor.
Wie kann es dann also sein, dass der Grenzwert von der einen Funktion für x-->0 gleich des Grenzwertes der durch Substitution entstandenen Funktion für z--> [mm] \infty [/mm] ist.
Einmal gegen Null und einmal gegen Unendlich ist dasselbe oo?
Danke für die Antwort!
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Hallo Paivren,
du scheinst da ein Problem zu sehen, wo keines ist.
> Ach, du hattest mir doch letztens auch schon geholfen,
> hallo :)
(Das kommt hier schonmal vor) ;-=)
> Ich verstehe, was du sagst.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0+}x*\ln(\bruch{1}{x})[/mm]
>
> Nun Substituiere ich z= [mm]\bruch{1}{x},[/mm] wodurch der Term so
> aussieht:
>
> [mm]\bruch{ln(z)}{z}[/mm]
>
> Wenn ich x --> 0 im Ausgangsterm laufen lasse, dann ist das
> dasselbe, als wenn ich [mm]z-->\infty[/mm] im neuen Term laufen
> lasse.
Ja, genau. Warum er jetzt z heißen muss statt wie vorgeschlagen y, erschließt sich mir nicht, ist aber auch egal. Buchen wir es mal unter Transferleistung...
> Das heißt dann doch:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} x*\ln(\bruch{1}{x})[/mm] =
> [mm]\limes_{z\rightarrow\infty} \bruch{ln(z)}{z}[/mm] = 0
>
> Richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") So ist es.
> Dann habe ich aber eine allgemeine Frage.
> Substituieren ist doch eigtl. sowas wie eine
> Äquivalenzumformung oder?
Ja, das könnte man so sagen.
> Der Term verhält sich nach der Substitution genauso, wie
> davor.
> Wie kann es dann also sein, dass der Grenzwert von der
> einen Funktion für x-->0 gleich des Grenzwertes der durch
> Substitution entstandenen Funktion für z--> [mm]\infty[/mm] ist.
> Einmal gegen Null und einmal gegen Unendlich ist dasselbe
> oo?
Ja, hier ganz offensichtlich.
Es ist doch auch [mm] \lim_{x\to 0}x=\lim_{z\to\infty}\bruch{1}{z}
[/mm]
Genau darum geht es hier bei der Substitution mit dem Kehrwert. Der Logarithmus ist dabei zwar der Anlass, tut in der Sache aber eigentlich nichts besonderes mehr dazu.
> Danke für die Antwort!
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 Mo 07.03.2011 | | Autor: | Paivren |
> Hallo Paivren,
N'abend, thx für die Antwort.
> Ja, genau. Warum er jetzt z heißen muss statt wie
> vorgeschlagen y, erschließt sich mir nicht, ist aber auch
> egal. Buchen wir es mal unter Transferleistung...
Weil ich Y eventuell noch später im Beitrag verwenden wollte (im Sinne von f(x)), deswegen^^
> So ist es.
Gut *sich selbst auf die Schulter klopf*
> Es ist doch auch [mm]\lim_{x\to 0}x=\lim_{z\to\infty}\bruch{1}{z}[/mm]
Ja, das stimmt.
Was mir allerdings irgendwie spanisch vorkommt:
Wenn eine Substitution im Grunde genommen eine Äquivalenzumformung ist, dann müsste bei beiden Termen, sowohl für [mm] x*\ln(\bruch{1}{x}) [/mm] als auch für [mm] \bruch{ln(z)}{z}, [/mm] wenn man die Variable gegen denselben Wert laufen lässt, doch dasselbe rauskommen.
Ein Bsp. mit einer Gleichung:
3x=12
[mm] \gdw [/mm] 6x=24
Die Gleichungen sind äquivalent und es kommt dasselbe Ergebnis raus.
Wenn eine Substitution genau wie eine Äquivalenzumformung ist, dann müssten bei beiden Termen für dieselbe Grenzwertbetrachtung doch dasselbe rauskommen.
Tut es aber nicht.
Es ist [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} x*\ln(\bruch{1}{x}) [/mm] = [mm] \limes_{z\rightarrow\infty} \bruch{ln(z)}{z} [/mm] und nicht [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} x*\ln(\bruch{1}{x}) [/mm] = [mm] \limes_{z\rightarrow\ 0} \bruch{ln(z)}{z}.
[/mm]
Und das "fühlt" sich bei mir irgendwie falsch an =/
mfG.
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Hallo Paivren,
es liegt nur an Deinem "Gefühl". Das ist noch nicht so entwickelt, dass es auch mit Substitutionen umgehen kann. 
> > Hallo Paivren,
>
> N'abend, thx für die Antwort.
Aber gerne.
> > Ja, genau. Warum er jetzt z heißen muss statt wie
> > vorgeschlagen y, erschließt sich mir nicht, ist aber auch
> > egal. Buchen wir es mal unter Transferleistung...
>
> Weil ich Y eventuell noch später im Beitrag verwenden
> wollte (im Sinne von f(x)), deswegen^^
Ach so.
> > So ist es.
>
> Gut *sich selbst auf die Schulter klopf*
>
>
> > Es ist doch auch [mm]\lim_{x\to 0}x=\lim_{z\to\infty}\bruch{1}{z}[/mm]
>
> Ja, das stimmt.
> Was mir allerdings irgendwie spanisch vorkommt:
> Wenn eine Substitution im Grunde genommen eine
> Äquivalenzumformung ist, dann müsste bei beiden Termen,
> sowohl für [mm]x*\ln(\bruch{1}{x})[/mm] als auch für
> [mm]\bruch{ln(z)}{z},[/mm] wenn man die Variable gegen denselben
> Wert laufen lässt, doch dasselbe rauskommen.
Nein, eben nicht.
> Ein Bsp. mit einer Gleichung:
> 3x=12
> [mm]\gdw[/mm] 6x=24
> Die Gleichungen sind äquivalent und es kommt dasselbe
> Ergebnis raus.
Stimmt natürlich.
> Wenn eine Substitution genau wie eine Äquivalenzumformung
> ist, dann müssten bei beiden Termen für dieselbe
> Grenzwertbetrachtung doch dasselbe rauskommen.
Nein, weil die Äquivalenzumformung nicht nur die Terme, sondern auch Ziel und Laufrichtung auf den Grenzwert zu beeinflussen kann. Das gehört dazu.
> Tut es aber nicht.
> Es ist [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} x*\ln(\bruch{1}{x})[/mm] =
> [mm]\limes_{z\rightarrow\infty} \bruch{ln(z)}{z}[/mm]
Ja, eben.
> und nicht
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} x*\ln(\bruch{1}{x})[/mm] =
> [mm]\limes_{z\rightarrow\ 0} \bruch{ln(z)}{z}.[/mm]
>
> Und das "fühlt" sich bei mir irgendwie falsch an =/
Tja, wie gesagt, es liegt an Deinem Gefühl. Bei dieser Art Äquivalenzumformung kommt es nicht nur auf das Gleichheitszeichen an, sondern auch auf die Zielangabe des Grenzwerts. Da steht aber eine Variable, die auch im zu untersuchenden Term vorkommt.
Anders wäre es hier:
[mm] \lim_{u\to 0}x*\ln{\left(\bruch{1}{x}\right)}=\lim_{u\to \blue{\text{?}}}\bruch{\ln{(z)}}{z}
[/mm]
...mit der gleichen Ersetzung [mm] z=\bruch{1}{x}
[/mm]
Da wäre das Fragezeichen eindeutig mit 0 zu ersetzen, und dann hättest Du das, was Du willst.
Wenn da aber x oder z stehen, dann muss auch der Index des Limes mit substiuiert werden.
Du wirst dem gleiche Phänomen (später?) bei der Substitution von Integranden bzw. Variablen in Integrationen begegnen. Deswegen ist es wichtig, dass Du schon hier verstehst, warum zur Äquivalenzumformung bei Grenzwerten die Betrachtung des Index (also der Zielangabe) unbedingt mit dazu gehört.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:53 Mo 07.03.2011 | | Autor: | Paivren |
> es liegt nur an Deinem "Gefühl". Das ist noch nicht so
> entwickelt, dass es auch mit Substitutionen umgehen kann.
>
Wenn dem so ist, dann wird sich das mit der Zeit hoffentlich klären =S
> Aber gerne.
Das Forum ist echt gut, wenn Leute wie du hier sind, die sich wirklich Zeit nehmen^^
> Nein, weil die Äquivalenzumformung nicht nur die Terme,
> sondern auch Ziel und Laufrichtung auf den Grenzwert zu
> beeinflussen kann. Das gehört dazu.
Ja, das ergibt Sinn und zwar nicht zu knapp oô
Wenn ich auch die Grenzwertbetrachtung selbst Substituiere, dann sind die beiden Grenzwertbetrachtungen wirklich äquivalent.
Das ist dann wohl dasselbe wie beim Integrieren mit Substitution, wenn man auch die Intervallgrenzen ersetzt, gell.
> Du wirst dem gleiche Phänomen (später?) bei der
> Substitution von Integranden bzw. Variablen in
> Integrationen begegnen. Deswegen ist es wichtig, dass Du
> schon hier verstehst, warum zur Äquivalenzumformung bei
> Grenzwerten die Betrachtung des Index (also der Zielangabe)
> unbedingt mit dazu gehört.
Naja, ich KANN zwar mit Substitution integrieren, kann aber nicht behaupten, es voll verstanden zu haben.
Die Sache mit dem Umwandeln von dx zu dz... ist wohl auch so ähnlich wie das Problem hier, was?
Ich hatte dazu auch einen Thread erstellt, aber noch nicht die Zeit gefunden, mich der Antwort zu widmen.
Naja Problem gelöst.
Vielen Dank nochmal!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Do 21.07.2011 | | Autor: | RWBK |
Hab hier gerade durchzufall diesen Artikel hier gefunden und hab dazu jetzt mal eine Frage. Heißt das also wenn ich einen Grenzwert ermitteln möchte mit Hilfe der Substitution, dass sich mein Grenzwert immer ändert?Hieße also zum Beispiel [mm] \limes_{n\rightarrow 0} [/mm] würde dann zu [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}. [/mm] Ich kann mir das irgendwie nicht erklären warum das so ist. Kann mir das vllt jemand näher erläutern?
mfg
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> Hab hier gerade durchzufall diesen Artikel hier gefunden
> und hab dazu jetzt mal eine Frage. Heißt das also wenn ich
> einen Grenzwert ermitteln möchte mit Hilfe der
> Substitution, dass sich mein Grenzwert immer ändert?Hieße
> also zum Beispiel [mm]\limes_{n\rightarrow 0}[/mm] würde dann zu
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}.[/mm] Ich kann mir das irgendwie
> nicht erklären warum das so ist. Kann mir das vllt jemand
> näher erläutern?
>
> mfg
Hallo RWBK,
du hängst dich hier in einen Thread ein, der vor Monaten
aktuell war. Ich würde dir empfehlen, einen neuen Thread
zu eröffnen, in dem du deine Frage(n) neu stellst, und
zwar möglichst mit Beispielen und mit eigenen Ideen bzw.
Ansätzen.
LG Al-Chwarizmi
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