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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Mi 02.03.2011 | | Autor: | Paivren |
Hallo.
Ich sollte mich an einer Kurvendiskussion versuchen und kam dabei bei der Bestimmung des Randverhaltens der Funktion für x gegen unendlich ins Grübeln.
[mm] f(x)=4\bruch{ln(x)}{x}
[/mm]
Ich habe mir jetzt folgendes überlegt:
Lasse ich x gegen Unendlich laufen, so steht im Nenner dann ein Unendlich und im Zähler der natürliche Logarithmus zu Unendlich.
Und [mm] e^{irgendwas} [/mm] kann nur Unendlich ergeben, wenn der Exponent auch Unendlich ist.
Das bedeutet im Zähler steht [mm] e^{\infty}.
[/mm]
Da exponentiale Funktionen schneller wachsen als "polynomiale", müsste die gesamte Funktion also gegen positiv unendlich gehen (und nicht gegen Null, wie man es bei dem Unendlich im Nenner ja annehmen könnte), oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:23 Mi 02.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo.
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> Ich sollte mich an einer Kurvendiskussion versuchen und kam
> dabei bei der Bestimmung des Randverhaltens der Funktion
> für x gegen unendlich ins Grübeln.
>
> [mm]f(x)=4\bruch{ln(x)}{x}[/mm]
>
> Ich habe mir jetzt folgendes überlegt:
> Lasse ich x gegen Unendlich laufen, so steht im Nenner
> dann ein Unendlich und im Zähler der natürliche
> Logarithmus zu Unendlich.
> Und [mm]e^{irgendwas}[/mm] kann nur Unendlich ergeben, wenn der
> Exponent auch Unendlich ist.
> Das bedeutet im Zähler steht [mm]e^{\infty}.[/mm]
Wieso das denn ? Wenn Du es schon so ausdrückem willst, so steht im Zähler [mm] ln(\infty)
[/mm]
> Da exponentiale Funktionen schneller wachsen als
> "polynomiale", müsste die gesamte Funktion also gegen
> positiv unendlich gehen (und nicht gegen Null, wie man es
> bei dem Unendlich im Nenner ja annehmen könnte), oder?
Nein.
Wenn Du die Regel von de l'Hospital kennst, so kannst Du damit locker den Grenzwert berechnen.
Wenn nicht , so setze z:=ln(x). Dann ist:
[mm] \bruch{ln(x)}{x}= \bruch{z}{e^z}
[/mm]
Was passiert nun , wenn x [mm] \to \infty [/mm] geht ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Mi 02.03.2011 | | Autor: | Paivren |
Aber warum ist mein Gedanke denn falsch?
Und worauf ich nach der Substitution achten muss, weiß ich auch nicht =/
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> Aber warum ist mein Gedanke denn falsch?
>
>
> Und worauf ich nach der Substitution achten muss, weiß ich
> auch nicht =/
Weil in deiner Funktion kein e auftaucht! Schreib uns dochmal die genaue Funktion auf, bitte! Sollte das etwa:
[mm] f(x)=4*\bruch{ln(x)}{x} [/mm] sein?
Dann wende einfach hier die Regel von de l'Hospital an, da beides, also Zähler und Nenner, für x gegen [mm] \infty [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] gehen. Deswegen ist aber Unendlich geteilt durch Unendlich weder 1 noch Unendlich! Das musst du schon explizit ausrechnen.
Noch einfacher: Man kann es auch durch logisches Denken und Draufsehen lösen! Fred hat dir sogar eine Umformung gezeigt, die dir sofort die Lösung zeigt:
Überlege: Wie verhalten sich die Gerade x und die Funktion ln(x) im Unendlichen? LN steigt kaum noch an, die Gerade wächst immer um den selben Betrag weiter. Was heißt das für sehr große Zahlen? Dass du praktisch eine Konstante (ln(10^10)) durch eine sehr große Zahl teilst (10^10 im Nenner). Was ist eine kleine Zahl geteilt durch eine sehr viel größere?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Mi 02.03.2011 | | Autor: | Paivren |
Genau, das ist die Funktion!
Auf das e bin ich halt gekommen, in dem ich mich gefragt habe, was denn [mm] ln(\infty) [/mm] anders geschrieben ist? Der natürliche Logarithmus von Unendlich müsste doch eigentlich Unendlich sein, weil nur ein Unendlich im Exponeten auch zum Ergebnis Unendlich führt.
Deswegen dachte ich, man könne für [mm] ln(\infty) [/mm] auch [mm] e^{\infty} [/mm] schreiben.
Denn wenn das so wäre, würde der Zähler der Funktion ja schneller wachsen, als der Nenner, aber scheinbar liege ich da falsch =/
Von diesem de l'Hospital habe ich leider noch nie was gehört =(
Wie gesagt, es ist die erste Funktion dieser Art, an der wir uns "versuchen" sollen, wahrscheinlich werde ich dann morgen aufgeklärt.
Und zum letzten Absatz:
Wie sich [mm] ln(\infty) [/mm] im Unendlichen verhält, kann ich, zu meiner Schande, wohl nicht erkennen ^^"
Aber danke euch beiden schonmal für die schnellen Antworten, dann hab ich wenigstens das Wissen, dass mein Randverhalten falsch ist.
Ich hatte nämlich einen Extrempunkt, der wenig Sinn ergeben hätte =/
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> Genau, das ist die Funktion!
> Auf das e bin ich halt gekommen, in dem ich mich gefragt
> habe, was denn [mm]ln(\infty)[/mm] anders geschrieben ist? Der
> natürliche Logarithmus von Unendlich müsste doch
> eigentlich Unendlich sein, weil nur ein Unendlich im
> Exponeten auch zum Ergebnis Unendlich führt.
> Deswegen dachte ich, man könne für [mm]ln(\infty)[/mm] auch
> [mm]e^{\infty}[/mm] schreiben.
> Denn wenn das so wäre, würde der Zähler der Funktion ja
> schneller wachsen, als der Nenner, aber scheinbar liege ich
> da falsch =/
Ah das erklärt so einiges. In der tat liegst du damit falsch, das wäre ja ein Ding, wenn es keinen Unterschied zw. diesen Funktionen gäbe. Der ln ist die Umkehrfunktion der e-Funktion. [mm] ln(\infty) [/mm] heißt ja sinngemäß: e hoch welche Zahl ergibt [mm] \infty. [/mm] Natürlich kann man jetzt sagen, das sei doch Unendlich, aber e hoch Unendlich kann nicht dasselbe sein wie [mm] ln(\infty), [/mm] auch nicht im Unendlichen! Daher sagte dir fred:
Du kannst den Bruch mit e erweitern, also e^ln(x)=x und im Nenner [mm] e^x. [/mm] Damit siehst du sofort, dass der Nenner wesentlich schneller wächst.
>
> Von diesem de l'Hospital habe ich leider noch nie was
> gehört =(
> Wie gesagt, es ist die erste Funktion dieser Art, an der
> wir uns "versuchen" sollen, wahrscheinlich werde ich dann
> morgen aufgeklärt.
Dann vergiss ihn, aber es ist wirklich eine ganz einfache Regel:
Wenn zwei Grenzwerte im Nenner und Zähler gegen 0 oder [mm] \infty [/mm] streben, so gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{f(x)}{g(x)}=\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{f('x)}{g'(x)}
[/mm]
Du kannst also in diesem Beispiel ln(x) und x durch ihre Ableitungen ersetzen!
>
> Und zum letzten Absatz:
> Wie sich [mm]ln(\infty)[/mm] im Unendlichen verhält, kann ich, zu
> meiner Schande, wohl nicht erkennen ^^"
>
Dann mal dir den Verlauf von ln(x) auf! Du solltest sehr schnell einsehen, dass der ln zwar immer langsamer aber doch beständig wächst, also immer [mm] ln(x_{n+1}) [/mm] > [mm] ln(x_n) [/mm] gilt.
> Aber danke euch beiden schonmal für die schnellen
> Antworten, dann hab ich wenigstens das Wissen, dass mein
> Randverhalten falsch ist.
> Ich hatte nämlich einen Extrempunkt, der wenig Sinn
> ergeben hätte =/
Na immerhin! Aber das ist doch wirklich nicht schwer, jetzt wo du so viele Tipps bekommen hast, oder? Weißt du denn, wie der ln oder allg. eine log-Funtkion aussieht? Wenn nicht, mach dir eine Wertetabelle und lerne danach einen Mustergraphen auswendig. Dann passiert dir sowas nicht mehr ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:33 Mi 02.03.2011 | | Autor: | Paivren |
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> Ah das erklärt so einiges. In der tat liegst du damit
> falsch, das wäre ja ein Ding, wenn es keinen Unterschied
> zw. diesen Funktionen gäbe. Der ln ist die Umkehrfunktion
> der e-Funktion. [mm]ln(\infty)[/mm] heißt ja sinngemäß: e hoch
> welche Zahl ergibt [mm]\infty.[/mm] Natürlich kann man jetzt sagen,
> das sei doch Unendlich, aber e hoch Unendlich kann nicht
> dasselbe sein wie [mm]ln(\infty),[/mm] auch nicht im Unendlichen!
> Daher sagte dir fred:
Lustig, wie ich annehmen konnte [mm] e^{\infty} [/mm] könne man anstelle von [mm] ln(\infty) [/mm] schreiben. Mir ist der Fehler nun klar oO
> Du kannst den Bruch mit e erweitern, also e^ln(x)=x und im
> Nenner [mm]e^x.[/mm] Damit siehst du sofort, dass der Nenner
> wesentlich schneller wächst.
Ahh *Lichtaufgeh*
Ja, das ergibt Sinn.
Beide laufen also ins Unendliche, aber durch Fred's Substitution kann man erkennen, welche Funktion schneller wächst - die des Nenners.
Das heißt dann also, dass die Funktion gegen Null läuft - was sich wieder mit dem einzigen Hoch- und dem einzigen Wendepunkt deckt, den ich gefunden habe.
Dieser de l'Hospital wird mir dann wohl die nächsten Tage mal über den Weg laufen. Ich wusste bisher sowieso nicht, dass Grenzwerte nicht immer "mal eben so" abzulesen sind oo
Und das mit dem Graphen - hab grad Geogebra installiert ;)
Vielen Dank, Problem gelöst!
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