Randextrema bei offenem Interv < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle lokalen Extrema der folgenden Funktionen und bestimmen Sie, ob es sich um lokale
oder globale Maxima oder Minima handelt.
f : [mm] (-\infty, \pi [/mm] ) [mm] \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto e^{x}+e^{2x}
[/mm]
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Für die Funktion schreib ich jetzt mal
f(x) = [mm] e^{x}+e^{2x} [/mm] auf dem gegeben intervall.
laut vorlesung kann man sagen, dass
[mm] e^{x} [/mm] und [mm] e^{2x} [/mm] auf [mm] (-\infty, \infty [/mm] ) monton wachend sind, also erst recht auf [mm] (-\infty, \pi [/mm] )
und
[mm] e^{x} [/mm] und [mm] e^{2x} [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] x
Dies gilt dann auch für die Summe der beiden.
Meine Frage nun, wie sieht das mit den Randpunkten bzgl Extremstellen aus.
Das Intervall ist ja offen.
Das heißt ja [mm] f(-\infty) [/mm] und [mm] f(\pi) [/mm] werden nie erreicht
=> existieren keine Extrema?
muss man da noch n großen beweis anbringen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Mo 11.02.2008 | | Autor: | clwoe |
Hi,
da die Funktion f auf ganz [mm] \IR [/mm] streng monoton steigend ist, kann sie ja keine Extrema besitzen. Da dein Intervall hier zwar beschränkt aber offen ist werden die Grenzwerte, die natürlich hier am Rand des Definitionsbereiches liegen müssen, nie erreicht. Die globalen Extrema sind hier die Grenzwerte der Funktion an den Rändern des Definitionsbereiches. Um das zu zeigen, kannst du argumentativ vorgehen und die strenge Monotonie der Funktion sowie die beschränkte offene Menge als Definitionsbereich für die Argumentation verwenden. Dann würde ich den Limes der Funktion gegen die beiden Randwerte hinschreiben und zeigen gegen welchen Funktionswert das ganze konvergiert. Das müsste meiner Meinung nach vollkommen ausreichen.
Gruß,
clwoe
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