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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 Mo 20.02.2012 | | Autor: | Fee |
| Aufgabe | Auf dem Tisch liegt ein Haufen mit 2001 Spielscheinen, der schrittweise in Haufen mit je 3 Steinen umgewandelt werden soll.
Dabei besteht ein Schritt darin, dass ein Haufen ausgewählt wird, daraus ein Stein entfernt und der Resthaufen in 2 Haufen zerlegt wird.
Kann dies mit einer Folge von vollständig ausgeführten Schritten erreicht werden ?
Tipp : Indirekter Beweis |
Hallo ihr Lieben ! :)
Bedeutet die letzte Frage, dass man mit dem einen angegebenen Schritt am Ende ganz viele Haufen mit je drei Spielsteinen hat ?
Sollte man vielleicht als erstes 2001 durch 3 teilen, bringt das was ?
Und was ist ein Indirekter Beweis ?
Vielen Dank !!!
Eure Fee
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> Auf dem Tisch liegt ein Haufen mit 2001 Spielscheinen, der
> schrittweise in Haufen mit je 3 Steinen umgewandelt werden
> soll.
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Scheine in Steine verwandeln ??
vermutlich alles Steine, oder ?
> Dabei besteht ein Schritt darin, dass ein Haufen
> ausgewählt wird, daraus ein Stein entfernt und der
> Resthaufen in 2 Haufen zerlegt wird.
>
> Kann dies mit einer Folge von vollständig ausgeführten
> Schritten erreicht werden ?
>
> (Tipp : Indirekter Beweis)
> Hallo ihr Lieben ! :)
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> Bedeutet die letzte Frage, dass man mit dem einen
> angegebenen Schritt am Ende ganz viele Haufen mit je drei
> Spielsteinen hat ?
> Sollte man vielleicht als erstes 2001 durch 3 teilen,
> bringt das was ?
> Und was ist ein Indirekter Beweis ?
>
> Vielen Dank !!!
>
> Eure Fee
Hallo Fee,
mir ist der Spielvorgang nicht so ganz klar. Am Schluss
sollten ja wohl 667 Haufen zu je 3 Steinen vorliegen, oder ?
Bei jedem einzelnen Spielzug soll aber ein Stein "entfernt"
werden. Was ist damit genau gemeint ? Sollen diese
"entfernten" Steine gar nicht zu neuen Dreierhaufen
gruppiert werden ?
Werden diese Steine tatsächlich aus dem Spiel entfernt,
so würden am Schluss natürlich weniger als 667
Dreierhaufen übrigbleiben. Unter dieser neuen Annahme
kann man sich jetzt weitere Fragen stellen.
Die Art der Fragestellung lässt ja vermuten, dass eine
solche Aufteilung nicht möglich ist. Ein indirekter
Beweis bestünde dann darin, dass man mal probeweise
annimmt, dass es eine solche Aufteilung trotzdem gäbe,
aber dann zeigt, dass aus dieser Annahme ein logischer
Widerspruch folgt.
Du könntest also etwa annehmen, dass wir eine Schluss-
Situation mit einer Anzahl n von Dreierhaufen hätten.
Dann gehen wir Zug für Zug zurück, d.h. wir holen in
jedem (umgekehrten) Zug einen der ausgeschiedenen
Steine zurück und fügen ihn zusammen mit 2 Haufen zu
einem größeren Haufen zusammen. Nun ist die Frage,
ob man auf diese Weise zu einer Endsituation mit genau
einem Haufen von genau 2001 Steinen gelangen kann.
(nebenbei: ich habe noch keine Ahnung, ob diese Idee
zu irgendeiner "optimalen" oder "eleganten" Lösung
führt !)
LG Al-Chw.
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Du könntest dir zum Beispiel klar machen, welche
Stein-Anzahlen in Frage kommen für die einzelnen
Haufen. Ganz am Schluss muss jeder Haufen aus
exakt 3 Steinen bestehen. Welche Stein-Anzahlen
kommen vor dem letzten Schritt in Frage ? Welche
vor dem zweitletzten Schritt, usw. ?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:10 Mo 20.02.2012 | | Autor: | abakus |
> Auf dem Tisch liegt ein Haufen mit 2001 Spielscheinen, der
> schrittweise in Haufen mit je 3 Steinen umgewandelt werden
> soll.
>
> Dabei besteht ein Schritt darin, dass ein Haufen
> ausgewählt wird, daraus ein Stein entfernt und der
> Resthaufen in 2 Haufen zerlegt wird.
>
> Kann dies mit einer Folge von vollständig ausgeführten
> Schritten erreicht werden ?
>
> Tipp : Indirekter Beweis
Angenommen, der gewünschte Zustand würde nach n Schritten erreicht.
Da in jedem Schritt 1 Stein entfernt wird, sind dann nur noch 2001-n Steine vorhanden.
Da man in jedem Schritt auch noch aus einem der Haufen zwei Haufen macht (die Anzahl der vorhandenen Haufen also um 1 erhöht), gibt es nach n Schritten insgesamt n+1 Haufen (mit letztlich je drei Steinen).
Somit würde also
2001-n = (n+1)*3 gelten.
Überprüfe, ob es eine Zahl n gibt, mit der das geht.
Gruß Abakus
> Hallo ihr Lieben ! :)
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> Bedeutet die letzte Frage, dass man mit dem einen
> angegebenen Schritt am Ende ganz viele Haufen mit je drei
> Spielsteinen hat ?
> Sollte man vielleicht als erstes 2001 durch 3 teilen,
> bringt das was ?
> Und was ist ein Indirekter Beweis ?
>
> Vielen Dank !!!
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> Eure Fee
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