Radizieren komplexer Zahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:03 Mi 24.02.2010 | | Autor: | phily |
| Aufgabe | | Lösen Sie die Gleichung [mm] z^{4} [/mm] = −8 + j 8 [mm] \wurzel{3} [/mm] nach z auf!! |
Hallo Leute...
Habe zu der Aufgabe folgende Ergebnisse mitbekommen:
[mm] z_0 [/mm] = [mm] 2e^{j \bruch{\pi}{6}}
[/mm]
[mm] z_1 [/mm] = [mm] 2e^{j \bruch{4\pi}{6}}
[/mm]
[mm] z_2 [/mm] = [mm] 2e^{j \bruch{7\pi}{6}}
[/mm]
[mm] z_3 [/mm] = [mm] 2e^{j \bruch{10\pi}{6}}
[/mm]
Ich habe aber leider überhaupt keine Ahnung wie ich auf diese Ergebnisse komme. Ich kenne nur die ganz normale Formel nach Moivre mit cos und sin usw. zum Radizieren komplexer Zahlen.
Mich verwirrt jetzt diese Eulersche Zahl darin völlig. Hab schon alles mögliche ausprobiert, komme aber nie zum Ergebnis!! Bin schon total am verzweifeln.
Ich hoffe, mir kann einer von euch weiterhelfen???
Bin für jede Hilfe dankbar!
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Lösen Sie die Gleichung [mm]z^{4}[/mm] = −8 + j 8 [mm]\wurzel{3}[/mm] nach
> z auf!!
hier erstmal die imaginäre zahl auf der rechten seite in die polarform umwandeln, dann den satz anwenden:
[mm] \sqrt[n]{z} [/mm] = [mm] \sqrt[n]{r}\cdot e^{\mathrm i \frac{\varphi + 2k\pi}n}, [/mm] mit k=0,1,2,3
> Hallo Leute...
> Habe zu der Aufgabe folgende Ergebnisse mitbekommen:
>
> [mm]z_0[/mm] = [mm]2e^{j \bruch{\pi}{6}}[/mm]
> [mm]z_1[/mm] = [mm]2e^{j \bruch{4\pi}{6}}[/mm]
>
> [mm]z_2[/mm] = [mm]2e^{j \bruch{7\pi}{6}}[/mm]
> [mm]z_3[/mm] = [mm]2e^{j \bruch{10\pi}{6}}[/mm]
>
> Ich habe aber leider überhaupt keine Ahnung wie ich auf
> diese Ergebnisse komme. Ich kenne nur die ganz normale
> Formel nach Moivre mit cos und sin usw. zum Radizieren
> komplexer Zahlen.
> Mich verwirrt jetzt diese Eulersche Zahl darin völlig.
statt der kartesischen form ist hier halt die polarform angewendet..
die verknüpfung läuft doch über [mm] e^{i\,x} [/mm] = [mm] \cos [/mm] x + [mm] i\,\sin [/mm] x
> Hab
> schon alles mögliche ausprobiert, komme aber nie zum
> Ergebnis!! Bin schon total am verzweifeln.
> Ich hoffe, mir kann einer von euch weiterhelfen???
> Bin für jede Hilfe dankbar!
>
> Gruß
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Mi 24.02.2010 | | Autor: | phily |
> hier erstmal die imaginäre zahl auf der rechten seite in
okay, also ich habe für r=16 und der Winkel ist bei mir [mm] \bruch{\pi}{3}
[/mm]
wenn ich das in deine Formel einsetze, bekomme ich bei [mm] z_{0} [/mm] aber z.b. raus:
[mm] z_{0}= [/mm] 2* [mm] e^{j \bruch{\pi}{12}}
[/mm]
Was mach ich falsch??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:08 Mi 24.02.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Phily!
Dein Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] ist falsch. Schließlich liegt die gegebene komplexe Zahl im 2. Quadranten der Gauß'schen Zahlenebene, so dass gelten muss:
[mm] $$\bruch{\pi}{2} [/mm] \ < \ [mm] \varphi [/mm] \ < \ [mm] \pi$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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