Radius und Sigma Umgebung < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 Mo 02.01.2006 | | Autor: | Blinky |
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Hallo
Ich habe eine Frage. Wie kann ich den Radius einer Umgebung bestimmen oder kann man den garnicht ausrechnen? Ich habe bis jetzt immer nur gesehen r=0,5 oder r=3,5 u.s.w, aber wie ich auf den Wert komme das steht wonirgents geschrieben. Und diesen Radius muss ich dann ja mal Sigma nehmen. Aber was sagt mir dann dieser Wert, welcher daraus kommt? Was sagt mir überhapt der Radius?
(Das alles ist auf die Umgebung des Erwartungswertes bezogen)
Vielen Dank im vorraus, ich bin für jede Antwort dankbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:01 Mo 02.01.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Blinky,
> Ich habe eine Frage. Wie kann ich den Radius einer Umgebung
> bestimmen oder kann man den garnicht ausrechnen?
Naja, wie üblich: Der Radius ist der doppelte Durchmesser. Und wenn's eine Umgebung auf der Zahlengeraden (x-Achse) ist, ist's halt die halbe Länge des Intervalls!
> Ich habe
> bis jetzt immer nur gesehen r=0,5 oder r=3,5 u.s.w, aber
> wie ich auf den Wert komme das steht wonirgents
> geschrieben. Und diesen Radius muss ich dann ja mal Sigma
> nehmen. Aber was sagt mir dann dieser Wert, welcher daraus
> kommt? Was sagt mir überhaupt der Radius?
>
> (Das alles ist auf die Umgebung des Erwartungswertes
> bezogen)
Du musst da mal ein Beispiel geben!
Klar ist, dass Du mit "Sigma" die Standardabweichung meinst. Aber woher r=0,5 oder r=3,5 kommen, weiß ich auf Anhieb auch nicht!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Mo 02.01.2006 | | Autor: | Blinky |
| Aufgabe | Unter der Umgebung des Erwartungswertes u wollen wir also Intervalle verstehen, die in der Form u-r [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] u+r notiert werden können. Wir untersuchen nun die symmetrischen Treppenfiguren des Histogramms zur Binomialverteilung mit n=100 und p=0,3 und u=30 das Rechteck bei X=30, die Treppenfiguren für 29 [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 31, 28 [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 32, ........
Die halbe Breite dieser Treppenfiguren wollen wir als Radius der Umgebung des Erwartungswertes u bezeichnen. In der abgedruckten Grafik ist die Umgebung des Erwartungswertes u =30 mit dem Radius r=7,5
Diesen Radius einer Umgebung vergleichen wir mit der oeben berechneten Standartabweichung o=4,58, d.h. wir nehmen o als Maßeinheit und geben an, wie oft diese Maßeinheit in den Radius passt.
Beispiele:
(1) r=0,5; also [mm] \bruch{r}{o}= \bruch{0,5}{4,58}= [/mm] 0,11 d.h. r=0.11o
(2) r=1,5= 0,33o
(3) r=2,5=0,55o
(4) r=3,5= 0,77o |
Ich habe hier jetzt einmal einen Textauszug aus meinem Buch abgetippt.
Ich verstehe aber nicht, was mit
"das Rechteck bei X=30, die Treppenfiguren für 29 [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 31, 28 [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 32, ........"
gemeint ist.
Komme ich auf den Radius 7,5, indem ich die 30 durch 4 teile?
aber was meinen die mit wie oft diese Maßeinheit in den Radius passt? und woher nehmen die dan die radien 0,5; 1,5; 2,5; und 3,5 und was bringen mir die Ergebnisse.
Mfg Blinky
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Hi, Blinky,
> Unter der Umgebung des Erwartungswertes u wollen wir also
> Intervalle verstehen, die in der Form u-r [mm]\le[/mm] X [mm]\le[/mm] u+r
> notiert werden können. Wir untersuchen nun die
> symmetrischen Treppenfiguren des Histogramms zur
> Binomialverteilung mit n=100 und p=0,3 und u=30 das
> Rechteck bei X=30, die Treppenfiguren für 29 [mm]\le[/mm] X [mm]\le[/mm]
> 31, 28 [mm]\le[/mm] X [mm]\le[/mm] 32, ........
> Die halbe Breite dieser Treppenfiguren wollen wir als
> Radius der Umgebung des Erwartungswertes u bezeichnen. In
> der abgedruckten Grafik ist die Umgebung des
> Erwartungswertes u =30 mit dem Radius r=7,5
> Diesen Radius einer Umgebung vergleichen wir mit der oeben
> berechneten Standartabweichung o=4,58, d.h. wir nehmen o
> als Maßeinheit und geben an, wie oft diese Maßeinheit in
> den Radius passt.
>
> Beispiele:
> (1) r=0,5; also [mm]\bruch{r}{o}= \bruch{0,5}{4,58}=[/mm] 0,11
> d.h. r=0.11o
> (2) r=1,5= 0,33o
> (3) r=2,5=0,55o
> (4) r=3,5= 0,77o
> Ich habe hier jetzt einmal einen Textauszug aus meinem
> Buch abgetippt.
>
> aber was meinen die mit wie oft diese Maßeinheit in den
> Radius passt? und woher nehmen die dan die radien 0,5; 1,5;
> 2,5; und 3,5 und was bringen mir die Ergebnisse.
Also: u = 30 ist der Erwartungswert, [mm] \sigma [/mm] (Du schreibst meist "o") ist die Standardabweichung; sie beträgt bei Deinem Beispiel 4,58.
Die Radien (r=0,5; r=1,5; usw.) werden vorgegeben.
Dividierst Du diese Werte durch [mm] \sigma, [/mm] bedeutet das im Grunde, dass Du die Standardabweichung als Einheit verwendest.
Z.B. ist r=0,5 das 0,11-Fache von [mm] \sigma, [/mm] also gut 1/10 der Standardabweichung.
> Ich verstehe aber nicht, was mit
> "das Rechteck bei X=30, die Treppenfiguren für 29 [mm]\le[/mm] X
> [mm]\le[/mm] 31, 28 [mm]\le[/mm] X [mm]\le[/mm] 32, ........"
> gemeint ist.
Nun: Im Histogramm wird die zu einem bestimmten Zufallswert (hier: X=30) gehörige Wahrscheinlichkeit als Rechtecksfläche anschaulich dargestellt. Die Breite des Rechtecks ist meist 1 LE (der jeweilige Zufallswert - hier X=30 - liegt auf der Mitte dieser Seite), die Rechteckshöhe entspricht dann der zugehörigen Wahrscheinlichkeit (in Deinem Fall: P(X=30)=0,08678).
Wenn Du nun 29 [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 31 betrachtest, ergeben sich drei nebeneinander liegende Rechtecke, deren "obere Ränder" zusammen betrachtet, wie eine Treppe aussehen: Daher Treppenfigur.
> Komme ich auf den Radius 7,5, indem ich die 30 durch 4
> teile?
Nein: Mit der 30 hat das nichts zu tun. Die 30 ist lediglich die Mitte Deiner Intervalle: der Erwartungswert. In seiner "Nähe" liegen (zumindest bei einer Binomialverteilung) die Zufallswerte mit der relativ größten Wahrscheinlichkeit.
Der Aufgabensteller lässt nun den Radius schrittweise von 0,5 über 1,5; 2,5; 3,5; usw. immer größer werden und schreibt dann diese Radien in Vielfachen der Standardabweichung:
Aus 0,5 wird [mm] 0,11\sigma,
[/mm]
aus 1,5 wird [mm] 0,33\sigma
[/mm]
aus 2,5 wird [mm] 0,55\sigma, [/mm] etc.
(Ich vermute, die ganze Sache läuft letztlich auf eine Standardisierung hinaus, stimmt's?)
mfG!
Zwerglein
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 Mo 02.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Je sicherer du sein willst, dass du dich nicht irrst, also zu unrecht deinen angenommenen Erwartungswert anhand der Stichprobe verifizierst, desto kleiner ist natürlich dein Vertrauensintervall und damit der Radius um den angenommenen Erwartungswert.
Somit hängt der Radius vom Signifikanzniveau [mm] $\alpha$ [/mm] ab. Da man bei den Standardaufgaben immer die gleichen [mm] $\alpha$ [/mm] wählt, kommt man auch immer auf die gleichen Radien. Den genauen Zusammenhang erklärt Brigitte hier und ich habe mir anschließend erlaubt ihre Erklärungen anhand der Rückfrage noch etwas zu umschreiben.
Liebe Grüße
Julius
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