Radikal homogener Ideale < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Mi 09.12.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Sei [mm] I\subset K[X_1,...,X_n] [/mm] ein beliebiges homogenes Ideal.
Zeigen Sie, dass das Radikal bzw. Ideal [mm] \wurzel{I} [/mm] auch homogen ist. |
Hallo Leute,
also zunächst mal gibt es ein Polynom [mm] f\in [/mm] I mit [mm] f=f^{(0)}+...+f^{(d)} [/mm] sodass [mm] f^k\in [/mm] I für alle k, da I nach Voraussetzung bereits homogen.
Nun steck ich aber fest. Wie könnt ich hier weitermachen? Mein Tutor hat mir noch den Tipp mitgegeben ich solle mal zeigen, dass [mm] (f^{(d)})^k [/mm] in I liegt, was mir im Moment auch nicht so recht weiterhilft. Daher möchte ich euch bitten mir nen Hinweis bzw. Tipp zu geben, der mich hier weiterbringt. Vielen Dank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:47 Do 10.12.2009 | | Autor: | kegel53 |
So an ganz kleiner Tipp würd mir schon recihen :).
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:09 Do 10.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]I\subset K[X_1,...,X_n][/mm] ein beliebiges homogenes
> Ideal.
> Zeigen Sie, dass das Radikal bzw. Ideal [mm]\wurzel{I}[/mm] auch
> homogen ist.
>
> also zunächst mal gibt es ein Polynom [mm]f\in[/mm] I mit
> [mm]f=f^{(0)}+...+f^{(d)}[/mm] sodass [mm]f^k\in[/mm] I für alle k, da I
> nach Voraussetzung bereits homogen.
Toll, du hast offenbar die Definition von "$I$ ist homogenes Ideal" gefunden :)
> Nun steck ich aber fest. Wie könnt ich hier weitermachen?
Du nimmst ein Polynom $f [mm] \in K[X_1, \dots, X_n]$ [/mm] mit [mm] $f^t \in [/mm] I$ fuer ein $t [mm] \ge [/mm] 1$. Schreibe $f = [mm] \sum_{i=0}^\ell f_\ell$ [/mm] mit [mm] $f_\ell$ [/mm] homogen von Grad [mm] $\ell$.
[/mm]
Rechne mal konkret [mm] $f^t$ [/mm] aus und benutze das, was du oben geschrieben hast: die homogenen Komponenten von [mm] $f^t$ [/mm] muessen dann ebenfalls in $I$ liegen.
Folgere daraus, dass [mm] $f_\ell^t$ [/mm] ebenfalls in $I$ liegt fuer jedes [mm] $\ell$. [/mm] Daraus folgt [mm] $f_\ell \in \sqrt{I}$ [/mm] fuer jedes [mm] $\ell$, [/mm] was du zeigen musst damit [mm] $\sqrt{I}$ [/mm] ein homogenes Ideal ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:03 Do 10.12.2009 | | Autor: | kegel53 |
Ich bedanke mich vielmals.
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