R mit üblicher Topologie < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [mm] \IR [/mm] mit der üblichen Topologie ist ein Hausdorffraum. |
[mm] \IR [/mm] mit der üblichen Topologie..
Menge U [mm] \subset \IR [/mm] offen <=> [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] U [mm] \exists \epsilon(x) [/mm] : (x- [mm] \epsilon, [/mm] x+ [mm] \epsilon) \subset [/mm] U
Ich weiß nicht recht wie ich zeigen kann dass es sich um einen hausdorffraum handelt.
[mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in \IR, [/mm] x [mm] \not= [/mm] y [mm] \exists [/mm] U [mm] \in [/mm] U(x), [mm] \exists [/mm] V [mm] \in [/mm] U(y)
Wie soll ich die Umgebungen wählen?
|
|
| |
|
Hallo,
> [mm]\IR[/mm] mit der üblichen Topologie ist ein Hausdorffraum.
> [mm]\IR[/mm] mit der üblichen Topologie..
> Menge U [mm]\subset \IR[/mm] offen <=> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] U [mm]\exists \epsilon(x)[/mm]
> : (x- [mm]\epsilon,[/mm] x+ [mm]\epsilon) \subset[/mm] U
> Ich weiß nicht recht wie ich zeigen kann dass es sich um
> einen hausdorffraum handelt.
> [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in \IR,[/mm] x [mm]\not=[/mm] y [mm]\exists[/mm] U [mm]\in[/mm] U(x), [mm]\exists[/mm]
> V [mm]\in[/mm] U(y)
> Wie soll ich die Umgebungen wählen?
Na wähle einfach zwei offene Intervalle, die sich nicht überschneiden!
Wegen [mm] $x\not= [/mm] y$ ist $d := [mm] \frac{|x-y|}{4} [/mm] > 0$.
Die offenen Intervalle
$(x-d,x+d)$ und $(y-d,y+d)$
überschneiden sich nicht.
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
Hallo
Stimmt meine Argumentation:
[mm] U_x [/mm] = (x-d,x+d)
[mm] U_y [/mm] = (y-d,y+d)
Sei z [mm] \in U_x \cap U_y [/mm] => |x-z|<d, |z-y| <d
4d = |x-y| [mm] \le [/mm] |x-z| + |z-y| < 2d
was ein widerspruch ist.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Hallo
> Stimmt meine Argumentation:
> [mm]U_x[/mm] = (x-d,x+d)
> [mm]U_y[/mm] = (y-d,y+d)
>
> Sei z [mm]\in U_x \cap U_y[/mm] => |x-z|<d, |z-y|="" <d<br="">> 4d = |x-y| [mm]\le[/mm] |x-z| + |z-y| < 2d
> was ein widerspruch ist.
Genau!
Damit hast du nachgewiesen, dass [mm] $U_x \cap U_y [/mm] = [mm] \emptyset$.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
</d,>
|
|
|
|
