R Teilkörper von L < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei L/K eine algebraische Körpererweiterung und R ein Ring mit R [mm] \subset [/mm] R [mm] \subset [/mm] L.
Zeigen Sie:
R ist ein Teilkörper von L |
Hallo
Ich versuch mich grad an folgender Aufgabe.
In der Vorlesung haben wir folgenden Satz bewiesen:
i)L/K K-Erweiterung. [a [mm] \in [/mm] L | a algebraisch über k ] ist ein Unterkörper von L
ii) [mm] k\subset [/mm] L [mm] \subset [/mm] M : L/K,M/L algebraische <=>M/K algebraisch
Also zu zeigen ist, dass alle Elemente in R invertierbar sind
Ich weiß nach ii), dass R/K algebraisch ist und nach i) ist [a [mm] \in [/mm] R | algebraisch über K] ein Unterkörper von R=> Alle Elemente aus R sind invertierbar.
Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Wenn mein Geschreibsel falsch ist, dann wäre ich froh, wenn mir einer einen anderen Ansatz gibt, die Aussage zu beweisen
Gruß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:02 So 11.12.2011 | | Autor: | hippias |
> Sei L/K eine algebraische Körpererweiterung und R ein Ring
> mit R [mm]\subset[/mm] R [mm]\subset[/mm] L.
> Zeigen Sie:
> R ist ein Teilkörper von L
> Hallo
> Ich versuch mich grad an folgender Aufgabe.
>
> In der Vorlesung haben wir folgenden Satz bewiesen:
> i)L/K K-Erweiterung. [a [mm]\in[/mm] L | a algebraisch über k ]
> ist ein Unterkörper von L
Achtung: dabei wird vorausgestzt, dass $L$ ein Koerper ist!
> ii) [mm]k\subset[/mm] L [mm]\subset[/mm] M : L/K,M/L algebraische <=>M/K
> algebraisch
>
>
> Also zu zeigen ist, dass alle Elemente in R invertierbar
> sind
> Ich weiß nach ii), dass R/K algebraisch ist und nach i)
> ist [a [mm]\in[/mm] R | algebraisch über K] ein Unterkörper von
> R=> Alle Elemente aus R sind invertierbar.
>
Wie oben angedeutet, kannst Du diesen Satz hier nicht anwenden, da seine Voraussetzungen nicht erfuellt sind. Versuche auszunutzen, dass alle [mm] $r\in [/mm] R$ algebraisch ueber $K$ sind. Schreibe in einer ausfuehrlichen Gleichung auf, was das heisst und versuche diese Gleichung so umzuformen, dass Du $1= [mm] r(\ldots)$ [/mm] erhaelst.
> Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Wenn mein
> Geschreibsel falsch ist, dann wäre ich froh, wenn mir
> einer einen anderen Ansatz gibt, die Aussage zu beweisen
>
> Gruß
>
> TheBozz-mismo
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Hallo
Erstmal vielen lieben Dank für deine Antwort. Es freut mich, dass du anstatt das Ergebnis lieber Hilfen aufzeigst.
Also, ich soll ausnutzen, dass alle r algebraisch sind über K, d. h. es existiert ein Polynom P [mm] \in [/mm] K[X]ohne das Nullpolynom, sodass
P(r)=0
Wenn ich mir nur eine allgemeines Polynom nehme, dann sähe das wie folgt aus:
[mm] a_{0}+a_{1}*r+a_{2}*r^2+...+a_{n}*r^n=0
[/mm]
Diese Gleichung ist ja nur für ein r. Wenn es es für alle r annehme, muss ich dann noch ne Summe bilden?
Und diese Gleichung muss ich so umformen, dass 1=r(...)?
Die [mm] a_{i}'s [/mm] kann ich nicht näher bestimmen. Ich weiß nur, dass mindestens ein [mm] a_{i}\not=0 [/mm] ist
Ist meine Gleichung so richtig?
Vielen Dank für die Hilfe
Gruß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 So 11.12.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
> Also, ich soll ausnutzen, dass alle r algebraisch sind
> über K, d. h. es existiert ein Polynom P [mm]\in[/mm] K[X]ohne das
> Nullpolynom, sodass
> P(r)=0
> Wenn ich mir nur eine allgemeines Polynom nehme, dann
> sähe das wie folgt aus:
> [mm]a_{0}+a_{1}*r+a_{2}*r^2+...+a_{n}*r^n=0[/mm]
> Diese Gleichung ist ja nur für ein r. Wenn es es für
> alle r annehme, muss ich dann noch ne Summe bilden?
> Und diese Gleichung muss ich so umformen, dass 1=r(...)?
> Die [mm]a_{i}'s[/mm] kann ich nicht näher bestimmen. Ich weiß
> nur, dass mindestens ein [mm]a_{i}\not=0[/mm] ist
> Ist meine Gleichung so richtig?
Die Gleichung stimmt, forme sie mal wie folgt um:
[mm]a_{0}+a_{1}*r+a_{2}*r^2+...+a_{n}*r^n=0[/mm]
[mm] $\Rightarrow -a_{0}=a_{1}*r+a_{2}*r^2+...+a_{n}*r^n$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow -a_0 [/mm] = [mm] r(a_{1}+a_{2}*r+...+a_{n}*r^{n-1})$
[/mm]
Überlege dir, warum $o.B.d.A. [mm] \;a_0 \not=0$. [/mm] Wie kommst du dann weiter?
LG Lippel
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Hallo nochmal
> Die Gleichung stimmt, forme sie mal wie folgt um:
> [mm]a_{0}+a_{1}*r+a_{2}*r^2+...+a_{n}*r^n=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow -a_{0}=a_{1}*r+a_{2}*r^2+...+a_{n}*r^n[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow -a_0 = r(a_{1}+a_{2}*r+...+a_{n}*r^{n-1})[/mm]
>
> Überlege dir, warum [mm]o.B.d.A. \;a_0 \not=0[/mm]. Wie
>
Naja, ich weiß ja, dass mindestens ein [mm] a_{i} \not=0 [/mm] sein muss, da es nicht das Nullpolynom sein darf, aber so ganz weiß ich nicht, warum ich o. B.d.A. annehmen darf, dass der konstante Term ungleich 0 ist, denn das Polynom könnte doch auch [mm] X^3+X^2=0 [/mm] sein und da ist [mm] a_{0}=0
[/mm]
Könntest du mir das genauer erklären?
Ok, wenn die linke Seite ungleich 0, dann ist die rechte Seite auch ungleich 0 und weil wir r aus dem Ring ist, muss auch gelten:
[mm] r\not=0 [/mm] und [mm] a_{1}+a_{2}*r+...+a_{n}*r^{n-1}\not=0. [/mm] Kann man das jetzt sukzessive fortsetzen, also ausklammern und argumentieren), jedoch weiß ich nicht warum, da wir ja nur wissen, das ein [mm] a_{i} [/mm] ungleich 0 ist.
Wäre für jeden weiteren Tipp bzw. Erklärung sehr dankbar
Gruß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:35 So 11.12.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Die Gleichung stimmt, forme sie mal wie folgt um:
> > [mm]a_{0}+a_{1}*r+a_{2}*r^2+...+a_{n}*r^n=0[/mm]
> > [mm]\Rightarrow -a_{0}=a_{1}*r+a_{2}*r^2+...+a_{n}*r^n[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow -a_0 = r(a_{1}+a_{2}*r+...+a_{n}*r^{n-1})[/mm]
> >
> > Überlege dir, warum [mm]o.B.d.A. \;a_0 \not=0[/mm]. Wie
> >
> Naja, ich weiß ja, dass mindestens ein [mm]a_{i} \not=0[/mm] sein
> muss, da es nicht das Nullpolynom sein darf, aber so ganz
> weiß ich nicht, warum ich o. B.d.A. annehmen darf, dass
> der konstante Term ungleich 0 ist, denn das Polynom könnte
> doch auch [mm]X^3+X^2=0[/mm] sein und da ist [mm]a_{0}=0[/mm]
> Könntest du mir das genauer erklären?
Es gibt mindestens immer ein solches Polynom, welches [mm] $a_0 \neq [/mm] 0$ erfuellt. Nimm etwa ein Polynom von kleinstem Grad; warum gilt dann [mm] $a_0 \neq [/mm] 0$?
> Ok, wenn die linke Seite ungleich 0, dann ist die rechte
> Seite auch ungleich 0 und weil wir r aus dem Ring ist, muss
> auch gelten:
> [mm]r\not=0[/mm] und [mm]a_{1}+a_{2}*r+...+a_{n}*r^{n-1}\not=0.[/mm] Kann
> man das jetzt sukzessive fortsetzen, also ausklammern und
Was kann man jetzt sukzessive fortsetzen? Du brauchst da nicht viel auszuklammern, du bist hier schon fast fertig. Du musst nur noch den letzten Schritt machen.
LG Felix
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