R-integrierbar < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Do 24.04.2008 | | Autor: | bonczi |
| Aufgabe | | Zeigen Sie folgenden Sachverhalt mit Hilfe des Lebesgueschen Integrabilitätskriteriums. Sind die funktionen [mm] f_{n}: [a,b]\to\IR, [/mm] n=1,2..., R-integrierbar und konvergiert [mm] f_{n}\to [/mm] f gleichmäßig, so ist auch f R-integrierbar. |
Hallo Leute, wollte mal wissen, ob meine Überlegungen richtig sind. Bin dankbar für jede Korrektur!
Also nach dem Lebesgueschen Int-krit. muss ich ja beweisen, dass f beschränkt ist und endlich viele Unstetigkeitsstellen (bestenfalls stetig ist) hat.
f ist stetig, da [mm] f_{n}\to [/mm] f gleichmäßig konvergiert und eine gleichmäßig konvergente Folge von Funktionen eine stetige Grenzfunktion hat. f ist also die stetige Grenzfunktion.
und f ist beschränkt, da jede in einem kompakten Intervall (hier [a,b] ) stetige Funktion beschränkt ist. (Satz vom Maximum)
daraus folgt, dass auch f Riemann-integrierbar ist.
jetzt ist noch meine frage: ist das richtig? muss ich noch die rückrichtung des beweises zeigen oder hat der beweis eine genau-dann-wenn-beziehung?
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Hallo bonczi,
> Zeigen Sie folgenden Sachverhalt mit Hilfe des
> Lebesgueschen Integrabilitätskriteriums. Sind die
> funktionen [mm]f_{n}: [a,b]\to\IR,[/mm] n=1,2..., R-integrierbar und
> konvergiert [mm]f_{n}\to[/mm] f gleichmäßig, so ist auch f
> R-integrierbar.
> Hallo Leute, wollte mal wissen, ob meine Überlegungen
> richtig sind. Bin dankbar für jede Korrektur!
>
> Also nach dem Lebesgueschen Int-krit. muss ich ja beweisen,
> dass f beschränkt ist und endlich viele
> Unstetigkeitsstellen (bestenfalls stetig ist) hat.
>
> f ist stetig, da [mm]f_{n}\to[/mm] f gleichmäßig konvergiert und
> eine gleichmäßig konvergente Folge von Funktionen eine
> stetige Grenzfunktion hat. f ist also die stetige
> Grenzfunktion.
Aus der gleichmäßigen Konvergenz folgt die Stetigkeit. Ok.
>
> und f ist beschränkt, da jede in einem kompakten Intervall
> (hier [a,b] ) stetige Funktion beschränkt ist. (Satz vom
> Maximum)
Aus der Stetigkeit folgt die Beschränktheit.
>
> daraus folgt, dass auch f Riemann-integrierbar ist.
>
Ja. da f beschränkt folgt, daß f auch Riemann-integrierbar ist. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> jetzt ist noch meine frage: ist das richtig? muss ich noch
> die rückrichtung des beweises zeigen oder hat der beweis
> eine genau-dann-wenn-beziehung?
Dieser Beweis hat nur diese Richtung: "[mm]\Rightarrow[/mm]"
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Do 24.04.2008 | | Autor: | bonczi |
f ist stetig, da $ [mm] f_{n}\to [/mm] $ f gleichmäßig konvergiert und
> eine gleichmäßig konvergente Folge von Funktionen eine
> stetige Grenzfunktion hat. f ist also die stetige
> Grenzfunktion.
möchte da noch etwas korrigieren:
f ist stetig, da $ [mm] f_{n}\to [/mm] $ f gleichmäßig konvergiert und eine gleichmäßig konvergente Folge von STETIGEN Funktionen eine stetige Grenzfunktion hat. f ist also die stetige Grenzfunktion.
So jetzt bin ich aber in einer Zwickmühle, denn ich weiß nicht, ob fn auch stetig ist oder folgt das vielleicht aus der gleichmäßigen konvergenz?
so die rückrichtung:
also fn muss schon mal beschränkt sein, da es eine grenzfunktion f gibt. oder?
auf die stetigkeit könnte man jetzt kommen, wenn aus der gleichmäßigen konvergenz die stetigkeit folgt. das weiß ich jedoch nicht genau???
also meine frage, wenn [mm] f_{n}\to [/mm] f glichmäßig konvergiert, folgt dann daraus die stetigkeit?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:36 Do 24.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Bonczi,
> f ist stetig, da [mm]f_{n}\to[/mm] f gleichmäßig konvergiert und
> > eine gleichmäßig konvergente Folge von Funktionen eine
> > stetige Grenzfunktion hat. f ist also die stetige
> > Grenzfunktion.
>
> möchte da noch etwas korrigieren:
> f ist stetig, da [mm]f_{n}\to[/mm] f gleichmäßig konvergiert und
> eine gleichmäßig konvergente Folge von STETIGEN Funktionen
> eine stetige Grenzfunktion hat. f ist also die stetige
> Grenzfunktion.
>
> So jetzt bin ich aber in einer Zwickmühle, denn ich weiß
> nicht, ob fn auch stetig ist oder folgt das vielleicht aus
> der gleichmäßigen konvergenz?
lies' Dir bitte meine Korrekturmitteilung durch und schau mal in Deinen Unterlagen nach einem Zusammenhang zwischen $R$-int'barer Funktionen und deren "Stetigkeit fast-überall". Den Rest entnimmst Du vielleicht meiner Korrekturmitteilung, so dass Du den Beweis der einen Richtung dann mit "Stetigkeit fast-überall auf $[a,b]$" retten kannst.
Zu der anderen Beweisrichtung sage ich jetzt mal nichts (zumal ich mir da auch noch keine Gedanken zu gemacht habe  ).
P.S.:
"Stetig fast-überall" heißt nicht stetig bis auf endlich viele Stellen, sondern dass das Lebesgue-Maß der Menge der Unstetigkeitsstellen den Wert $0$ hat. So ist z.B.
$f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \in (n-1,n) \mbox{ mit einem }n \in \IZ \\ 1, & \mbox{ für } x \in \IZ \end{cases}$
[/mm]
genau unstetig in allen $x [mm] \in \IZ$, [/mm] und [mm] $\IZ$ [/mm] hat das Lebesguemaß $0$, also ist die obige Funktion stetig fast-überall.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:48 Do 24.04.2008 | | Autor: | bonczi |
danke für deine hilfe ;), konnte mir schon denken, dass da irgendetwas nicht hinhaut. werde jetzt das stetig in fast überall stetig ummodeln habe dann:
f ist fast überall stetig, da $ [mm] f_{n}\to [/mm] $ f gleichmäßig konvergiert und
eine gleichmäßig konvergente Folge von STETIGEN Funktionen
eine stetige Grenzfunktion hat. daraus lässt sich schließen, dass auch eine gleichmäßig konvergente Folge von fast überall stetigen Funktionen eine fast überall stetige grenzfunktion hat.
wollte den beweis eigentlich morgen an der tafel vorstellen, aber ich glaube, ich mache lieber eine rechenaufgabe^^...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:07 Do 24.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> danke für deine hilfe ;), konnte mir schon denken, dass da
> irgendetwas nicht hinhaut. werde jetzt das stetig in fast
> überall stetig ummodeln habe dann:
>
>
> f ist fast überall stetig, da [mm]f_{n}\to[/mm] f gleichmäßig
> konvergiert und
> eine gleichmäßig konvergente Folge von STETIGEN
> Funktionen
> eine stetige Grenzfunktion hat.
mir stellt sich da die Frage des logischen Zusammenhangs. Da musst Du schon hingucken:
Weil die [mm] $f_n$ [/mm] alle $R$-int'bar sind, sind sie insbesondere fast-überall stetig auf $[a,b]$ (sie müssten dort auch alle beschränkt sein, wenn ich mich nicht täusche). Weil nun [mm] $f_n \to [/mm] f$ glm., folgt nach Satz ... (?), dass auch $f$ stetig fast-überall auf $[a,b]$ ist (und insbesondere beschränkt; zumindest, wenn man weiß, dass die [mm] $f_n$ [/mm] auf $[a,b]$ beschränkt sind, und das müßte meines Erachtens für $R$-int'bare Funktionen gelten). Nach Satz ... (?) ist $f$ dann aber auch $R$-int'bar.
Also die Sätze musst Du suchen (und hoffentlich findest Du sie) und ergänzend einfügen. Es ändert sich nicht viel, aber dennoch ist die Aussage viel "schärfer", wenn man mit "Stetigkeit fast-überall auf $[a,b]$" anstelle von "Stetigkeit auf $[a,b]$" spricht (zumal man die $R$-Integrierbarkeit ja nicht nur mit Stetigkeit charakterisieren kann, sondern irgendwie mit Beschränktheit und Stetigkeit fast-überall).
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Do 24.04.2008 | | Autor: | bonczi |
onen
>
> P.S.:
> "Stetig fast-überall" heißt nicht stetig bis auf endlich
> viele Stellen, sondern dass das Lebesgue-Maß der Menge der
> Unstetigkeitsstellen den Wert [mm]0[/mm] hat. So ist z.B.
>
> [mm]f: \IR \to \IR[/mm] mit [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \in (n-1,n) \mbox{ mit einem }n \in \IZ \\ 1, & \mbox{ für } x \in \IZ \end{cases}[/mm]
>
> genau unstetig in allen [mm]x \in \IZ[/mm], und [mm]\IZ[/mm] hat das
> Lebesguemaß [mm]0[/mm], also ist die obige Funktion stetig
> fast-überall.
>
> Gruß,
> Marcel
das ist mir zu hoch.. ??? keine ahnung, was du damit meinst...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:00 Do 24.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> onen
> >
> > P.S.:
> > "Stetig fast-überall" heißt nicht stetig bis auf
> endlich
> > viele Stellen, sondern dass das Lebesgue-Maß der Menge der
> > Unstetigkeitsstellen den Wert [mm]0[/mm] hat. So ist z.B.
> >
> > [mm]f: \IR \to \IR[/mm] mit [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \in (n-1,n) \mbox{ mit einem }n \in \IZ \\ 1, & \mbox{ für } x \in \IZ \end{cases}[/mm]
>
> >
> > genau unstetig in allen [mm]x \in \IZ[/mm], und [mm]\IZ[/mm] hat das
> > Lebesguemaß [mm]0[/mm], also ist die obige Funktion stetig
> > fast-überall.
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> das ist mir zu hoch.. ??? keine ahnung, was du damit
> meinst...
>
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Ma%C3%9Ftheorie#fast_.C3.BCberall
Was ist Dir unklar? Ich habe Dir oben nur anhand eines Beispiels einer Funktion gezeigt, dass "stetig fast-überall" sehr viel stärker ist als "unstetig in endlich vielen Punkten" (sowas steht in Deiner Ausgangsfrage).
Die obige Funktion hat abzählbar unendlich viele Unstetigkeitsstellen (nämlich genau die Menge [mm] $\IZ$) [/mm] und ist daher stetig fast überall. Was ist Dir nun unklar? Warum [mm] $\IZ$ [/mm] Lebesguemaß $0$ hat? Das liegt daran, dass man schon weiß, dass sogar [mm] $\IQ$ [/mm] Lebesguemaß $0$ hat.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:07 Do 24.04.2008 | | Autor: | bonczi |
hab nicht verstanden, warum du da eine funktion
> >
> > $ f: [mm] \IR \to \IR [/mm] $ mit $ [mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \in (n-1,n) \mbox{ mit einem }n \in \IZ \\ 1, & \mbox{ für } x \in \IZ \end{cases} [/mm] $
aufstellst, aber jetzt weiß ich ja um die unstetigkeitsstellen abzuzählen. man war das kompliziert... xD
aber danke für deine Hilfe!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:13 Do 24.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hab nicht verstanden, warum du da eine funktion
>
> > >
> > > [mm]f: \IR \to \IR[/mm] mit [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \in (n-1,n) \mbox{ mit einem }n \in \IZ \\ 1, & \mbox{ für } x \in \IZ \end{cases}[/mm]
>
> aufstellst, aber jetzt weiß ich ja um die
> unstetigkeitsstellen abzuzählen. man war das kompliziert...
> xD
>
> aber danke für deine Hilfe!!!
ah sorry, aber glücklicherweise hatte ich doch "z.B." dazugeschrieben. Ja, es ging mir im Wesentlichen darum, dass Du selbst merkst, dass es fast-überall stetige Funktionen mit unendlich vielen Unstetigkeitsstellen gibt. Sorry, falls das verwirrt haben sollte ^^
Gruß, Marcel
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 20:26 Do 24.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo bonczi,
>
> > Zeigen Sie folgenden Sachverhalt mit Hilfe des
> > Lebesgueschen Integrabilitätskriteriums. Sind die
> > funktionen [mm]f_{n}: [a,b]\to\IR,[/mm] n=1,2..., R-integrierbar und
> > konvergiert [mm]f_{n}\to[/mm] f gleichmäßig, so ist auch f
> > R-integrierbar.
> > Hallo Leute, wollte mal wissen, ob meine Überlegungen
> > richtig sind. Bin dankbar für jede Korrektur!
> >
> > Also nach dem Lebesgueschen Int-krit. muss ich ja beweisen,
> > dass f beschränkt ist und endlich viele
> > Unstetigkeitsstellen (bestenfalls stetig ist) hat.
> >
> > f ist stetig, da [mm]f_{n}\to[/mm] f gleichmäßig konvergiert und
> > eine gleichmäßig konvergente Folge von Funktionen eine
> > stetige Grenzfunktion hat. f ist also die stetige
> > Grenzfunktion.
>
>
> Aus der gleichmäßigen Konvergenz folgt die Stetigkeit. Ok.
das finde ich hier nicht okay, da es durchaus eine Funktionenfolge nicht stetiger $R$-integrierbarer Funktionen gibt, die gleichmäßig konvergent sein kann. Ich glaube, Bonczi hat das aber mittlerweile sogar schon selbst erkannt. Ich wollte nur nochmal darauf hinweisen, dass bei der Anwendung dieses Satzes nicht vergessen werden darf, zu prüfen, ob die Funktionenfolge der [mm] $f_n$ [/mm] (wenigstens ab einem genügend großen $N$) nur noch aus stetigen Funktionen besteht.
Man bekommt das aber vielleicht hier mit Satz 15.10:
http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
hin, wenn man sich Gedanken über das Lebesguemaß der Unstetigkeitsstellen der Funktionen macht.
Da muß man jedenfalls formal aufpassen oder einen Satz mit einer "schwächeren Formulierung" zu Rate ziehen als den, wo steht, dass alle [mm] $f_n$ [/mm] stetig sein sollten.
Bzw. man sollte sich Gedanken machen:
$R$-integriebar [mm] $\Rightarrow$ [/mm] stetig fast-überall und dann gucken, ob man den Satz mit der "glm. Konvergenz einer Funktionenfolge stetiger Funktionen" nicht analog mit "glm. Konvergenz einer Funktionenfolge fast-überall stetiger Funktionen" formulieren kann, und sich am Ende dann Gedanken machen, ob eine fast-überall stetige Funktion auch $R$-int'bar ist.
Gruß,
Marcel
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