R-L-integrierbar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:01 Mi 24.06.2009 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | | Es sei [mm] a \in \IR [/mm] und die Funktion [mm] f: \IR \to \IR [/mm] sei durch [mm] f(x):=\begin{cases} x^a, & \mbox{falls } 0
Zeigen Sie: [mm] f \in L \gdw a > -1 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
mein Ansatz ist Folgender:
=> Wenn f L-integrierbar ist in [mm] \IR, [/mm] dann ist f auch R-integrierbar, also muss f beschränkt sein. Für a > 0 ist f punktsymmetrisch und die Grenzfunktion ist [mm] f(x)=0 [/mm] für [mm] 0\le x<1 [/mm] und [mm] f(x)=1 [/mm] für x=1.
Aber wie ist das mit a<0 ?
Für a =-1 lautet die Funktion [mm] f(x)=\bruch {1}{x} [/mm], also für x gegen 0 wird f(x) unendlich gross, also nicht mehr schränkt.
Für [mm] a=-\bruch{9}{10} [/mm] läuft f(x) aber doch auch in Richtung Unendlich ?
Ist mein kompletter Ansatz falsch ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:16 Mi 24.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]a \in \IR[/mm] und die Funktion [mm]f: \IR \to \IR[/mm] sei durch
> [mm]f(x):=\begin{cases} x^a, & \mbox{falls } 0
> definiert.
> Zeigen Sie: [mm]f \in L \gdw a > -1[/mm]
Ich nehme an : $f [mm] \in L(\IR)$
[/mm]
> Ich habe diese Frage in
> keinem anderen Forum gestellt.
>
> Hallo,
> mein Ansatz ist Folgender:
> => Wenn f L-integrierbar ist in [mm]\IR,[/mm] dann ist f auch
> R-integrierbar, also muss f beschränkt sein.
Nein. Denke auch an uneigentliche R-Integrale
> Für a > 0 ist
> f punktsymmetrisch
Unsinn ! Wie kommst Du darauf ?
> und die Grenzfunktion
Grenzfunktion ??? von was ?
> ist [mm]f(x)=0[/mm] für
> [mm]0\le x<1[/mm] und [mm]f(x)=1[/mm] für x=1.
> Aber wie ist das mit a<0 ?
> Für a =-1 lautet die Funktion [mm]f(x)=\bruch {1}{x} [/mm], also
> für x gegen 0 wird f(x) unendlich gross, also nicht mehr
> schränkt.
> Für [mm]a=-\bruch{9}{10}[/mm] läuft f(x) aber doch auch in Richtung
> Unendlich ?
> Ist mein kompletter Ansatz falsch ?
Ich hoffe Dir hilft folgender Satz (den Ihr sicher hattet):
Sei [mm] g:\IR \to \IR [/mm] eine Funktion
Dann: $g [mm] \in L(\IR) \gdw [/mm] $ das uneigentliche Riemann-Integral [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{g(x) dx} [/mm] ist absolut konvergent
Für Deine obige Funktion f bedeutet das (f ist >0 auf (0,1] und f ist außerhalb von (0,1] gleich Null !):
$f [mm] \in L(\IR) \gdw [/mm] $ [mm] \integral_{0}^{1}{x^a dx} [/mm] ist konvergent
So, nun pack mal Analysis I (uneigentliche Integrale) aus
FRED
>
> Danke, Susanne.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Mi 24.06.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Fred,
vielen, vielen Dank für Deine schnelle Hilfe !
(Bei mir hats jetzt etwas länger gedauert, weil ich viel nachschlagen musste und leider auch noch unterbrochen wurde).
> > Es sei [mm]a \in \IR[/mm] und die Funktion [mm]f: \IR \to \IR[/mm] sei durch
> > [mm]f(x):=\begin{cases} x^a, & \mbox{falls } 0
> > definiert.
> > Zeigen Sie: [mm]f \in L \gdw a > -1[/mm]
>
> Ich nehme an : [mm]f \in L(\IR)[/mm]
Stimmt !
>
>
> Ich hoffe Dir hilft folgender Satz (den Ihr sicher
> hattet):
>
> Sei [mm]g:\IR \to \IR[/mm] eine Funktion
>
> Dann: [mm]g \in L(\IR) \gdw[/mm] das uneigentliche Riemann-Integral
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{g(x) dx}[/mm] ist absolut
> konvergent
>
>
> Für Deine obige Funktion f bedeutet das (f ist >0 auf (0,1]
> und f ist außerhalb von (0,1] gleich Null !):
>
> [mm]f \in L(\IR) \gdw[/mm] [mm]\integral_{0}^{1}{x^a dx}[/mm] ist
> konvergent
>
> So, nun pack mal Analysis I (uneigentliche Integrale) aus
Also, die musste ich wirklich auspacken, weil ich die uneigentlichen Integrale nicht mehr so drauf hatte:
[mm] \integral_{\beta}^{0}{x^a dx}=\bruch{1}{a+1}x^{a+1} [/mm] (von [mm] \beta [/mm] bis 0) [mm] = 0-\bruch{1}{a+1}\beta^{a+1} [/mm]
Wenn jetzt [mm] a < -1 [/mm], dann ist der Grenzwert Minus-Unendlich, für a=-1 ist der Nenner 0, also muss a>-1 sein.
Ist das so richtig ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 Mi 24.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
> vielen, vielen Dank für Deine schnelle Hilfe !
> (Bei mir hats jetzt etwas länger gedauert, weil ich viel
> nachschlagen musste und leider auch noch unterbrochen
> wurde).
>
> > > Es sei [mm]a \in \IR[/mm] und die Funktion [mm]f: \IR \to \IR[/mm] sei durch
> > > [mm]f(x):=\begin{cases} x^a, & \mbox{falls } 0
> > > definiert.
> > > Zeigen Sie: [mm]f \in L \gdw a > -1[/mm]
> >
> > Ich nehme an : [mm]f \in L(\IR)[/mm]
> Stimmt !
> >
> >
> > Ich hoffe Dir hilft folgender Satz (den Ihr sicher
> > hattet):
> >
> > Sei [mm]g:\IR \to \IR[/mm] eine Funktion
> >
> > Dann: [mm]g \in L(\IR) \gdw[/mm] das uneigentliche Riemann-Integral
> > [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{g(x) dx}[/mm] ist absolut
> > konvergent
> >
> >
> > Für Deine obige Funktion f bedeutet das (f ist >0 auf (0,1]
> > und f ist außerhalb von (0,1] gleich Null !):
> >
> > [mm]f \in L(\IR) \gdw[/mm] [mm]\integral_{0}^{1}{x^a dx}[/mm] ist
> > konvergent
> >
> > So, nun pack mal Analysis I (uneigentliche Integrale) aus
> Also, die musste ich wirklich auspacken, weil ich die
> uneigentlichen Integrale nicht mehr so drauf hatte:
> [mm]\integral_{\beta}^{0}{x^a dx}=\bruch{1}{a+1}x^{a+1}[/mm] (von
> [mm]\beta[/mm] bis 0) [mm]= 0-\bruch{1}{a+1}\beta^{a+1}[/mm]
> Wenn jetzt [mm]a < -1 [/mm], dann ist der Grenzwert Minus-Unendlich,
> für a=-1 ist der Nenner 0, also muss a>-1 sein.
>
> Ist das so richtig ?
Nein.
Betrachte [mm] \integral_{\beta}^{1}{x^a dx}
[/mm]
Fall 1: a = -1.Eine Stammfunktion von 1/x ist ln(x) !! Also
[mm] \integral_{\beta}^{1}{x^a dx}= -ln(\beta) \to \infty [/mm] für [mm] \beta \to [/mm] 0
Fall 2: a [mm] \not= [/mm] -1
[mm] \integral_{\beta}^{1}{x^a dx}=\bruch{1}{a+1}(1-\beta^{a+1})
[/mm]
Der letzte Ausdruck hat einen endlichen Grenzwert für [mm] \beta \to [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] a>-1
FRED
>
> Danke, Susanne.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:10 Mi 24.06.2009 | | Autor: | SusanneK |
Uff, da wäre ich nie alleine drauf gekommen.
Der Satz mit dem uneigentlichen Riemann-Integral scheint mir für Beweise ziemlich wichtig zu sein. Der ist in meinem Skrip in einer Übungsaufgabe versteckt - ganz schön tückisch.
VIELEN VIELEN DANK,
LG, Susanne.
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