Quotientenvektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Di 27.11.2007 | | Autor: | side |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Es seien V,W endlich dimensionale K-Vektorräume und U ein Untervektorraum von V. Bezeichne mit [mm] \pi [/mm] : [mm] V\rightarrow [/mm] V/U die Quotientenabbildung. Es sei [mm] f:V\rightarrow [/mm] W eine lineare Abbildung, so dass f(U)=0 (d.h. alle Elemente von U werden durch f auf [mm] 0\in [/mm] W abgebildet.
a) Zeigen sie, dass es genau eine lineare Abbildung [mm] \bar{f} [/mm] : V/U [mm] \rightarrow [/mm] W gibt, sodass [mm] \bar{f} \circ \pi [/mm] = f .
b)Es sei [mm] \left\{u_1,...,u_m\right\} [/mm] eine Basis von U. Ergänze diese zu einer Basis [mm] \left\{u_1,...,u_m,v_1,...,v_k\right\} [/mm] von V. Es sei [mm] \left\{w_1,...,w_n\right\} [/mm] eine Basis von W. und [mm] A=(a_{ij}) [/mm] die Matrix von f bezügl der gewählten Basen von V, W. Berechnen Sie die Matrix von [mm] \bar{f} [/mm] bezüglich der Basen [mm] \left\{v_1+U,...,v_k+U\right\} [/mm] von V/U und [mm] \left\{w_1,...,w_n\right\} [/mm] von W. |
Am wichtigsten ist mir zunächst die Aufgabe b). Leider hab ich noch garkeine Ideen, muss das ganze aber morgen abgeben, daher wäre eine schnelle beantwortung Super, Danke im Vorraus
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Hi,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Es seien V,W endlich dimensionale K-Vektorräume und U ein
> Untervektorraum von V. Bezeichne mit [mm]\pi[/mm] : [mm]V\rightarrow[/mm]
> V/U die Quotientenabbildung. Es sei [mm]f:V\rightarrow[/mm] W eine
> lineare Abbildung, so dass f(U)=0 (d.h. alle Elemente von U
> werden durch f auf [mm]0\in[/mm] W abgebildet.
> a) Zeigen sie, dass es genau eine lineare Abbildung
> [mm]\bar{f}[/mm] : V/U [mm]\rightarrow[/mm] W gibt, sodass [mm]\bar{f} \circ \pi[/mm]
> = f .
> b)Es sei [mm]\left\{u_1,...,u_m\right\}[/mm] eine Basis von U.
> Ergänze diese zu einer Basis
> [mm]\left\{u_1,...,u_m,v_1,...,v_k\right\}[/mm] von V. Es sei
> [mm]\left\{w_1,...,w_n\right\}[/mm] eine Basis von W. und [mm]A=(a_{ij})[/mm]
> die Matrix von f bezügl der gewählten Basen von V, W.
> Berechnen Sie die Matrix von [mm]\bar{f}[/mm] bezüglich der Basen
> [mm]\left\{v_1+U,...,v_k+U\right\}[/mm] von V/U und
> [mm]\left\{w_1,...,w_n\right\}[/mm] von W.
> Am wichtigsten ist mir zunächst die Aufgabe b). Leider hab
wenn du aufgabe a) richtig verstanden hast, folgt die b) quasi automatisch. deshalb auch ein paar worte zur a):
der natuerliche ansatz die abbildung [mm] $\bar{f}$ [/mm] auf $V/U$ zu definieren ist
[mm] $\bar{f}([v]):=f(v)$
[/mm]
was du dann allerdings zeigen musst, ist die wohldefiniertheit, also
[mm] $[v_1]=[v_2] \Rightarrow f([v_1])=f([v_2])$
[/mm]
das folgt direkt aus der voraussetzung [mm] $U\subset \ker [/mm] f$.
nun zu aufgabe b):
du musst jetzt die basisvektoren [mm] $[v_i]=v_i+U$ [/mm] nehmen, durch [mm] $\bar{f}$ [/mm] abbilden und dann als LK der [mm] $w_i$ [/mm] darstellen. dh. aber, du musst die [mm] $\bar{f}([v_i])$ [/mm] berechnen.
Wie oben argumentiert, ist [mm] $\bar{f}([v_i])=f(v_i)$. [/mm] Was heisst das also fuer die darstellungsmatrix?
gruss
matthias
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