Quotientenregel < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Fr 22.02.2008 | | Autor: | hasso |
hallo, kann mir jemand bei dieser schwirigkeit helfen .. Ich möchte von dieser Funktion die ersten beiden Ableitungen machen für die Kurvendisskussion. Ich versteh nur nicht bei der Qoutientenregel wie das mit dem Nenner funktioniert der wird ja irgendwie dann ^2 genommen und in der 2 Ableitung ^3 oder?? muss man das dann auch immer ausmultiplitzieren ?
Hier beispiel:
gegeben sei: F(x)= [mm] \bruch{x^3-3x+4}{x^2-4}
[/mm]
f(x)'= [mm] \bruch{(3x^2-6x)*(x^2-4)-2x*(x^3-3x^2+4)}{(x^2-4)^2}
[/mm]
nun jetzt den Zähler ausmultiplitzieren :..
Den Nenner hab ich dann mit der Binomischen Formel ausmultiplitziert.
f'(x)= [mm] \bruch{3x^4-12x^2-6x^3+24x-2x^4+6x^^3-8x}{x^4-8x^2+16}
[/mm]
Zusammenfassen
f'(x)= [mm] \bruch{x^4-12x^2+16x}{x^4-8x^2+16}
[/mm]
die erste Ableitung dann null stellen :
[mm] x^4-12x^2+16x=0 [/mm]
mit dem Substitionsverfahren.
[mm] z^2-12z+16
[/mm]
Und dann P/q FOrmel angewandt und die Nullstellen ermittelt x1=3,3 Minima x2=1 Minima
Wenn ich jetzt die 2 Ableitung machen würde müsst ich dann im Nenner [mm] x^3 [/mm] machen ??? und ausmultiplitzieren ?
gruß hasso
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Fr 22.02.2008 | | Autor: | hasso |
> Hallo!
>
> > hallo, kann mir jemand bei dieser schwirigkeit helfen ..
> > Ich möchte von dieser Funktion die ersten beiden
> > Ableitungen machen für die Kurvendisskussion. Ich versteh
> > nur nicht bei der Qoutientenregel wie das mit dem Nenner
> > funktioniert der wird ja irgendwie dann ^2 genommen und in
> > der 2 Ableitung ^3 oder?? muss man das dann auch immer
> > ausmultiplitzieren ?
> >
> Das hast du etwas komisch formuliert dass der Nenner 2.
> Ableitung ^3 genommen wird. das ist nicht richtig. Also die
> Quotientenregel lautet. [mm]f'(x)=\bruch{u'v-uv'}{v^{2}}[/mm]
> > Hier beispiel:
> >
> > gegeben sei: F(x)= [mm]\bruch{x^3-3x^2+4}{x^2-4}[/mm]
Sorry jetzt hab ichs korrigiert hatte das [mm] x^2 [/mm] vergessen somit müsste die FUnktion jetzt richtig sein.
> > f(x)'=
> > [mm]\bruch{(3x^2-6x)*(x^2-4)-2x*(x^3-3x^2+4)}{(x^2-4)^2}[/mm]
> ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Die erste Ableitung lautet:
> [mm]f'(x)=\bruch{(3x²-3)(x²-4)-2x(x³-3x+4)}{(x²-4)²}[/mm] und jetzt
> den Zähler ausmultiplizieren und zusammenfassen. Der Nenner
> muss nicht unbedingt mit der binomischen Formel
> ausmultipliziert werden. Ich persönlich würde ihn so stehen
> lassen wie er ist.
> >
> > nun jetzt den Zähler ausmultiplitzieren :..
> > Den Nenner hab ich dann mit der Binomischen Formel
> > ausmultiplitziert.
> >
> > f'(x)=
> > [mm]\bruch{3x^4-12x^2-6x^3+24x-2x^4+6x^^3-8x}{x^4-8x^2+16}[/mm]
> >
> > Zusammenfassen
> > f'(x)= [mm]\bruch{x^4-12x^2+16x}{x^4-8x^2+16}[/mm]
> >
> > die erste Ableitung dann null stellen :
> >
> > [mm]x^4-12x^2+16x=0[/mm]
> > mit dem Substitionsverfahren.
> >
> > [mm]z^2-12z+16[/mm]
> >
> > Und dann P/q FOrmel angewandt und die Nullstellen ermittelt
> > x1=3,3 Minima x2=1 Minima
> >
> >
> > Wenn ich jetzt die 2 Ableitung machen würde müsst ich dann
> > im Nenner [mm]x^3[/mm] machen ??? und ausmultiplitzieren ?
> >
> >
> > gruß hasso
>
> Korrigier erst einmal deine Ableitung. Um Extrema
> herauszufinden musst du die erste Ableitung null setzen und
> die "nullstellen" berechnen. das was da raus kommt sind nur
> kandidaten sie sagen dir noch nichts darüber aus on dort
> ein Minima oder Maxima vorliegt. dazu benötigt man die 2.
> Ableitung.
Achja...mann muss ja jetzt erstmal die 2 x Werte in der ausgangsfunktion setzen.
[mm] F(x)=x^4-12x^2+16x
[/mm]
F(3,3)=40,7
F(1)=5
SO und in die 2 Ableitung muss ungleich null sein. also muss größer als null sein.
f'(x)= [mm] \bruch{x^4-12x^2+16x}{x^2-4}
[/mm]
f''(x)= [mm] \bruch{4x^3-24x+16*(x^2-4)-2x(x^4-12x^2+16x)}{(x^2-4)^2}
[/mm]
So ? und und nun zusammen fassen.. aber schau mal bitte drüber ob ich das so richtig mache..
Gruß hasso
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:44 Sa 23.02.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
> wär das dann [mm] 2(x^2-4)2x
[/mm]
Korrekt.
[mm] 2(x^2-4)2x=2*(x^2-4)*2x=2*2x*(x^2-4)=2*2*x*(x^2-4)=4*x*(x^2-4)=4x(x^2-4)
[/mm]
Faktoren kann man vertauschen.
Ciao.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:48 Sa 23.02.2008 | | Autor: | Zneques |
Puh, ich hoffe mal ich habe die richtige Frage gefunden.
[mm] x^4-12x^2+16x=0 [/mm] , mit [mm] x^{4}-12x²+16x=x(x^3-12x+16) [/mm] folgt
[mm] x(x^3-12x+16)=0 [/mm] , wegen (Produkt ist 0 [mm] \gdw [/mm] min. ein Faktor ist 0) gilt
[mm] x_{E_1}=0 [/mm] (erste Nullstelle), oder
[mm] x^3-12x+16=0 [/mm] , per Polynomdivision
Dazu braucht man, wie du erkannt hast, eine Nullstelle.
Da der größte Exponent (Grad des Polynoms) [mm] \ge [/mm] 3, muss diese geraten, oder mit Näherungsverfahren bestimmt werden.
Wenn man weiß, dass es nur ganzzahlige Nullstellen gibt, dann müssen diese alle Teiler der Konstanten sein. (16=2*2*2*2)
Also mal [mm] \pm1, \pm2, \pm4, [/mm] ... einsetzen. (+2 geht)
Ciao.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:58 Sa 23.02.2008 | | Autor: | hasso |
hii
> Puh, ich hoffe mal ich habe die richtige Frage gefunden.
>
> [mm]x^4-12x^2+16x=0[/mm] , mit [mm]x^{4}-12x²+16x=x(x^3-12x+16)[/mm] folgt
> [mm]x(x^3-12x+16)=0[/mm] , wegen (Produkt ist 0 [mm]\gdw[/mm] min. ein
> Faktor ist 0) gilt
> [mm]x_{E_1}=0[/mm] (erste Nullstelle), oder
> [mm]x^3-12x+16=0[/mm] , per Polynomdivision
> Dazu braucht man, wie du erkannt hast, eine Nullstelle.
> Da der größte Exponent (Grad des Polynoms) [mm]\ge[/mm] 3, muss
> diese geraten, oder mit Näherungsverfahren bestimmt
> werden.
> Wenn man weiß, dass es nur ganzzahlige Nullstellen gibt,
> dann müssen diese alle Teiler der Konstanten sein.
> (16=2*2*2*2)
> Also mal [mm]\pm1, \pm2, \pm4,[/mm] ... einsetzen. (+2 geht)
Konstante sind die wo kein x davor steht nicht wahr?
das versteh ich nicht so ganz du hast 2*2*2*2 das ergibt 16 warum nicht 4*4 oder ?? dann wär bei x+4 eine nullstelle ?
könntest du das etwas ausführlicher erklären wär dir voll dankbar!!
gruß hasso
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:26 Sa 23.02.2008 | | Autor: | Zneques |
16=2*2*2*2 ist die Primfaktorzerlegung von 16.
Alle Teiler von 16 müssen ein Produkt aus einigen dieser Zahlen sein.
1 teilt alles
2=2
4=2*2
8=2*2*2
und 16=2*2*2*2
Dazu kommen dann noch jeweils die Negativen, da z.B. (-2)*(-8)=16
Wenn alle n Nullstellen [mm] \in\IR [/mm] existieren, dann gilt:
[mm] p(x)=a(x-x_{0_1})(x-x_{0_2})...(x-x_{0_n})=a*x^n+...\pm\underbrace{a*x_{0_1}*x_{0_2}*...*x_{0_n}}_{Konstante}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:12 Sa 23.02.2008 | | Autor: | Mubidoo |
Hi Hasso,
Um es nochmal ganz klar auszudrücken. Die Konstante ist 16 (ohne die unabhängige Variable x). Diese Konstante hat folgende ganzzahlige Teiler : 1, -1, 2, -2, 4, -4, 8, -8, 16, und -16.
Setze diese Teiler in den Zähler der ersten Ableitung ein. Kommt ein Widerspruch raus, wäre an dieser Stelle ein Extrema auszuschliessen. Erhälst genau 0, dann wäre dies ein mögliches Extrema. Wenn Du eine mögliche Nullstelle beispielsweise 6(frei erfunden, bitte selber machen!) gefunden hast, teilst Du die ganze Gleichung durch das Binom (x-6) <-- baechte hier das VZW.
Die Gleichung, die Du dann erhälst, wird quadratisch sein, welche Du erneut auf Nulstellen überprüfen musst (pq-Formel oder Satz von Vieta). Um zu erfahren, ob es sich wirklich um ein Extrema handelt musst Du genau diesen Wert in die zweite Ableitung einsetzen, ist das Ergebnis :
= 0 kein Extrema
> 0 Tiefpunkt
< 0 Hochpunkt
Den genauen Wert erhälst Du, wenn Du Deine HP(s) und TP(s) in F(x) einsetzt.
PS.: Wenn Du Dich daran hälst bekommst Du tatsächlich alle HPs und TPs raus, weil diese bei der Funktion in der Tat ganzzahlig sind (habs mit meinem Matheprogramm überprüft)
Viel Spass !
Mubidoo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 Sa 23.02.2008 | | Autor: | hasso |
Hallo Mubido
> Um es nochmal ganz klar auszudrücken. Die Konstante ist 16
> (ohne die unabhängige Variable x). Diese Konstante hat
> folgende ganzzahlige Teiler : 1, -1, 2, -2, 4, -4, 8, -8,
> 16, und -16.
> Setze diese Teiler in den Zähler der ersten Ableitung ein.
> Kommt ein Widerspruch raus, wäre an dieser Stelle ein
> Extrema auszuschliessen. Erhälst genau 0, dann wäre dies
> ein mögliches Extrema. Wenn Du eine mögliche Nullstelle
> beispielsweise 6(frei erfunden, bitte selber machen!)
> gefunden hast, teilst Du die ganze Gleichung durch das
> Binom (x-6) <-- baechte hier das VZW.
> Die Gleichung, die Du dann erhälst, wird quadratisch sein,
> welche Du erneut auf Nulstellen überprüfen musst (pq-Formel
> oder Satz von Vieta). Um zu erfahren, ob es sich wirklich
> um ein Extrema handelt musst Du genau diesen Wert in die
> zweite Ableitung einsetzen, ist das Ergebnis :
> = 0 kein Extrema
> > 0 Tiefpunkt
> < 0 Hochpunkt
> Den genauen Wert erhälst Du, wenn Du Deine HP(s) und TP(s)
> in F(x) einsetzt.
>
>
> PS.: Wenn Du Dich daran hälst bekommst Du tatsächlich alle
> HPs und TPs raus, weil diese bei der Funktion in der Tat
> ganzzahlig sind (habs mit meinem Matheprogramm überprüft)
Danke ich versuchs!
Also so wie du sagtest die Teiler von 16 setzte ich alle in der 1 Ableitung von dem Zähler für x ein? erhält man nicht so ein y Wert?
Aso stimmt wenn ich für den X wert eine Y=0 Erhalte ist dort eine Nullstelle!?
Ich habe bei der FUnktion
F(x)= [mm] x^4-12x^2+16x
[/mm]
Ich habe für die X-Werte "2" und "4" 2 nullstellen ermitteln können
F(2)=0
F(-4)=0
Bei den anderen zahlen kam ich jeweils auf keien Nullstelle Kann ich nun mit einer dieser Beliebiegen Nullstelle eine Polynomdivison durchführen und das Polynom ^3 grades ermitteln? du meintest ich bekomm ein Polynom 2 grades ?
DIe P/q formel könnt ich dann anwenden
gruß hasso
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Hallo!
Ausgegangen wird vom Polynom [mm] x^{4}-12x^{2}+16x
[/mm]
Dort berechnen wir die Nullstellen: [mm] x_{0_{1}}=0 [/mm] denn [mm] x(x^{3}-12x+16)=0 \gdw [/mm] x=0.
So jetzt haben wir das Polynom [mm] x^{3}-12x+16=0 [/mm] Hier hast du richtig gerechnet es ergeben sich Nullstllen zb. [mm] x_{0_{2}}=2
[/mm]
Also wenden wir die Polynomdivision an: [mm] (x^{3}-12x+16):(x-2)=....
[/mm]
Du solltest dann eine quadratische Funktion erhalten und die zwei restlichen Nullstellen mit Hilfe der pq Formel oder auch mit dem Satz von Vieta (so wie du es bevorzugst) bestimmen.
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Sa 23.02.2008 | | Autor: | hasso |
> Hallo!
>
> Ausgegangen wird vom Polynom [mm]x^{4}-12x^{2}+16x[/mm]
> Dort berechnen wir die Nullstellen: [mm]x_{0_{1}}=0[/mm] denn
> [mm]x(x^{3}-12x+16)=0 \gdw[/mm] x=0.
> So jetzt haben wir das Polynom [mm]x^{3}-12x+16=0[/mm] Hier hast du
> richtig gerechnet es ergeben sich Nullstllen zb.
> [mm]x_{0_{2}}=2[/mm]
> Also wenden wir die Polynomdivision an:
> [mm](x^{3}-12x+16):(x-2)=....[/mm]
[mm] (x^{3}-12x+16):(x-2)=x^2-2x-16
[/mm]
Mit der P/q Formel hab ich dannn die x Werte 5,123 x2 -3,123
DIe sind aber nicht richtig glaub ich was mach ich denn falsch?
> Du solltest dann eine quadratische Funktion erhalten und
> die zwei restlichen Nullstellen mit Hilfe der pq Formel
> oder auch mit dem Satz von Vieta (so wie du es bevorzugst)
> bestimmen.
>
gruß hasso
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Hallo!
> > Hallo!
> >
> > Ausgegangen wird vom Polynom [mm]x^{4}-12x^{2}+16x[/mm]
> > Dort berechnen wir die Nullstellen: [mm]x_{0_{1}}=0[/mm] denn
> > [mm]x(x^{3}-12x+16)=0 \gdw[/mm] x=0.
> > So jetzt haben wir das Polynom [mm]x^{3}-12x+16=0[/mm] Hier hast
> du
> > richtig gerechnet es ergeben sich Nullstllen zb.
> > [mm]x_{0_{2}}=2[/mm]
> > Also wenden wir die Polynomdivision an:
> > [mm](x^{3}-12x+16):(x-2)=....[/mm]
>
>
> [mm](x^{3}-12x+16):(x-2)=x^2-2x-16[/mm]
> Mit der P/q Formel hab ich dannn die x Werte 5,123 x2
> -3,123
>
> DIe sind aber nicht richtig glaub ich was mach ich denn
> falsch?
>
> > Du solltest dann eine quadratische Funktion erhalten und
> > die zwei restlichen Nullstellen mit Hilfe der pq Formel
> > oder auch mit dem Satz von Vieta (so wie du es bevorzugst)
> > bestimmen.
> >
> gruß hasso
Es ist:
(x³-12x+16):(x-2)=x²+2x-8
[mm] \underline{-(x³-2x²)}
[/mm]
2x²
[mm] \underline{-(-2x²+4x)}
[/mm]
-8x
[mm] \underline{-(-8x+16)}
[/mm]
0
Und jetzt x²+2x-8=0
Mit hilfe der pqForemel. Damit sollten sich zwei ganzrationale Nullstellen finden.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Sa 23.02.2008 | | Autor: | hasso |
hi
> > > Ausgegangen wird vom Polynom [mm]x^{4}-12x^{2}+16x[/mm]
> > > Dort berechnen wir die Nullstellen: [mm]x_{0_{1}}=0[/mm] denn
> > > [mm]x(x^{3}-12x+16)=0 \gdw[/mm] x=0.
> > > So jetzt haben wir das Polynom [mm]x^{3}-12x+16=0[/mm] Hier
> hast
> > du
> > > richtig gerechnet es ergeben sich Nullstllen zb.
> > > [mm]x_{0_{2}}=2[/mm]
> > > Also wenden wir die Polynomdivision an:
> > > [mm](x^{3}-12x+16):(x-2)=....[/mm]
> >
> >
> > [mm](x^{3}-12x+16):(x-2)=x^2-2x-16[/mm]
>
>
> > Mit der P/q Formel hab ich dannn die x Werte 5,123 x2
> > -3,123
> >
> > DIe sind aber nicht richtig glaub ich was mach ich denn
> > falsch?
> >
> > > Du solltest dann eine quadratische Funktion erhalten und
> > > die zwei restlichen Nullstellen mit Hilfe der pq Formel
> > > oder auch mit dem Satz von Vieta (so wie du es bevorzugst)
> > > bestimmen.
> > >
> > gruß hasso
>
> Es ist:
> (x³-12x+16):(x-2)=x²+2x-8
> [mm]\underline{-(x³-2x²)}[/mm]
> 2x²
> [mm]\underline{-(-2x²+4x)}[/mm]
> -8x
> [mm]\underline{-(-8x+16)}[/mm]
> 0
> Und jetzt x²+2x-8=0
> Mit hilfe der pqForemel. Damit sollten sich zwei
> ganzrationale Nullstellen finden.
Ich hatte mich mit ein Vorzeichen vertan dann wurd auch das Ergebnis falscg :( auf jeden fall hab ich das jetzt gemacht und hab als Nullstellen x1= 4 x2= 2
Das heisst wir haben schonmal 2 Nullstellen die dritte nullstelle hatten wir oben ermittelt die war -2 womit wir die Polynomdivision durchgeführt hatten. Das sind alle Nullstellen der 1 Ableitung oder?
schau mal bitte auf der Seite http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm
dort kann man eine FUnktion eingeben und man erhält alle Nullstellen.. dort sind aber andere Nullstellen wenn wir die Fûnktion
[mm] x^4-12x^2+16x [/mm] eingebe
Gruß
hasso
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:28 Sa 23.02.2008 | | Autor: | hasso |
hallo
mann muss die x Werte in der 2 ABleitung setzten um das Maxima und minima zu berechnen ...
habs gerad gelesen. Was muss man dann in der AUsgangsfunktion setzen?
Gruß hasso
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Hallo!
Also die Nullstellen der 1. Ableitung setzt du in die 2. Ableitung ein. Dabei musst du natürlich auch den Nenner berücksichtigen.
Ich mach das mal für einen Kandidaten vor.
f''(0)=1>0 [mm] \Rightarrow [/mm] Tiefpunkt bei TP(0|y)
Den y Wert erhalten wir indem wir die 0 ind die Ausgangsfunktion einsetzen. Also bekommen wir für y den Wert -1 heraus. Demnach lautet dann unser Tiefpunkt TP(0|-1)
Und das ganze machst du auch für die restlichen drei Kandidaten.
Gruß
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Sa 23.02.2008 | | Autor: | hasso |
Hallo,
F(2)= 0 Der Y WERT IST IM ZÄHLER UND NENNER 0
f''(2)= 0 HOCHPUNKT
F(3) = 4 DER Y WERT IST 4
f''(3) =0,064 [mm] \bruch{8}{125}= [/mm] 0,064 Tiefpunkt
F(0)=-1 DER Y WER IST -1
f''(0)= 1 TIEFPUNKT
HAb ich das so RICHTIG VERSTNADEN
größer >0 = TIEFPUNKT (MAXIMA)
kleiner 0<= HOCHPUNKT (MINIMA)
Und WENDEPUNKT ERMITTLE ICH INDEM ICH DIE 2ABLEITUNG NULL SETZTE
gruß hasso
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Hallo!
> Hallo,
>
> F(2)= 0 Der Y WERT IST IM ZÄHLER UND NENNER 0
> f''(2)= 0 HOCHPUNKT
>
Nein die 2. Ableitung muss ungleich null sein. Also kein Extrema. Hier kann ein Sattelpunkt vorliegen. Wenn du dir aber deine Ausgangsfunktion anschaust dann stellst du fest das bei x=2 die Funktion nicht definiert ist. Bei gebrochenrationalen Funktionen ist es immer wichtig dir den Definitionsbereich anzu schauen.
> F(3) = 4 DER Y WERT IST 4
> f''(3) =0,064 [mm]\bruch{8}{125}=[/mm] 0,064 Tiefpunkt
>
Woher hast du die 3 her?? Als Kandidaten hatten wir doch nur [mm] x_{1}=2(doppelt), x_{2}=-4 [/mm] und [mm] x_{3}=0
[/mm]
> F(0)=-1 DER Y WER IST -1
> f''(0)= 1 TIEFPUNKT
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") das stimmt. Hier liegt ein Tiefpunkt vor. Die Koordinaten sind TP(0|-1)
> HAb ich das so RICHTIG VERSTNADEN
> größer >0 = TIEFPUNKT (MAXIMA)
> kleiner 0<= HOCHPUNKT (MINIMA)
>
ja, hast du.
>
> Und WENDEPUNKT ERMITTLE ICH INDEM ICH DIE 2ABLEITUNG NULL
> SETZTE
>
richtig und die 3. Ableitung muss dann zusätzlich ungleich null sein.
was dir jetzt noch fehlt f''(-4)=... da solltst du einen Hcohpunkt erhalten.
> gruß hasso
Gruß
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Sa 23.02.2008 | | Autor: | hasso |
Hallo,
Hallo ich würde das gerne in meiner Formelsammslung schreiben, kann jemand nochmal drüber gucken das alles korrekt ist .
Kurvendisskussion
EXTREMA
1 Ableitung Notwendige Bedingung f'(x)= 0
2 Ableitung hinreichende Bedingung f'' ungleich null
X Werte der ersten Ableitung in der Ausgangsfunktion sezten ermittelt die Y Werte.
X Werte in der 2 Ableitung setzten ermittelt:
>0 Min Tiefpunkt
<0Max Hochpunkt
Extrema liegt vor wenn alle Bedinung Erfüllt sind.
Dann
WENDEPUNKTE
2 Ableitung f''(x)= 0
Die X-Werte der 2 Ableitung sind Die WENDEPUNKTE
3 Ableitung ungleich null!
THANKS!
Gruß hasso
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"Die X-Werte der 2 Ableitung sind Die WENDEPUNKTE "
Nein, ein x-wert ist immer eine STELLE. Pwende(Xwende, Ywende) ist der Wendepunkt (Ywende = f(Xwende))
Deine rstliche Auflistung ist sofern ich nichts übersehen habe korrekt. Allerdings empfehle ich dir noch eine Zusatz du den WS zu machen - es gibt auch noch Sattelpunkte (aka Horizontalwendepunkte) für f'=0, f''=0, f'''(ungleich) 0.
Hinweis: Hilfreich ist auch ie Krümmungsbetrachtung (Krümmungsintervalle diskutieren):
f'' < 0 für alle x Element [a;b], also f' monoton im Intervall monoton fallend => der Graph ist rechtsgekrümmt bzw.konkav(von unten betrachtet)
f'' > 0 für alle x Element [a;b], also f' monoton im Intervall monoton steigend => der Graph ist linksgekrümmt bzw.konvex(von unten betrachtet)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:31 So 24.02.2008 | | Autor: | hasso |
abend.....
> Also jetzt heisst die Funktion:
> [mm]f(x)=\bruch{x³-3x²+4}{x²-4}[/mm]
>
> Demnach ist deine Ableitung richtig Also haben wir
> [mm]f'(x)=\bruch{x^{4}-12x²+16x}{(x²-4)²}[/mm]
> Die zweite Ableitung
> [mm]lautet:\bruch{(4x³-24x+16)(x²-4)²-4x(x²-4)(x^{4}-12x²+16x)}{(x²-4)^{4}}=\bruch{(4x³-24x+16)(x²-4)-4x(x^{4}-12x²+16x)}{(x²-4)³}=\bruch{8x³-48x²+96x-64}{(x²-4)³}.[/mm]
In der FUnktion sind ja an 3 stellen die gleichung [mm] (x^2-4).
[/mm]
2 Mal im Zäler und einmal im nenner...
Wenn man kürzt was muss man dann so beachten das man nur die kürzen kann die auch gleich sind das wars oder ?
gruß hasso
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> > Die zweite Ableitung
> >
> [mm]lautet:\bruch{(4x³-24x+16)(x²-4)²-4x(x²-4)(x^{4}-12x²+16x)}{(x²-4)^{4}}=\bruch{(4x³-24x+16)(x²-4)-4x(x^{4}-12x²+16x)}{(x²-4)³}=\bruch{8x³-48x²+96x-64}{(x²-4)³}.[/mm]
>
> In der FUnktion sind ja an 3 stellen die gleichung
> [mm](x^2-4).[/mm]
> 2 Mal im Zäler und einmal im nenner...
>
> Wenn man kürzt was muss man dann so beachten das man nur
> die kürzen kann die auch gleich sind das wars oder ?
Hallo,
Deine 2. Ableitung ist richtig, und daß, was Du gekürzt hast, ist auch richtig.
Deine Frage verstehe ich leider nicht so recht.
Kürzen kann man, wenn man im Zähler und Nenner ein Produkt hat, welches denselben Faktor enthält.
Wenn man genau hinschaut, bist Du übrigens noch nicht fertig.
Die 2 ist Nullstelle von Zähler und Nenner in [mm] f''(x)=\bruch{8x³-48x²+96x-64}{(x²-4)³},
[/mm]
das bedeutet, daß Du das schreiben kannst als [mm] f''(x)=\bruch{8x³-48x²+96x-64}{(x²-4)³}=f''(x)=\bruch{(x-2)(...)}{(x-2)*(...)}. [/mm] Dann kürzen.
Das (...) im Zähler bekommst Du mit Polynomdivision, die hast Du ja neulich geübt, und im Nenner solltest Du die dritte binomische Formel kennen.
Gruß v. Angela
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. Gehe so vor wie ich es dir geschildert habe.
