Quotientenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:38 Mo 02.02.2009 | | Autor: | Pille456 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Reihe auf Konvergenz:
[mm] \summe\bruch{1}{3+\bruch{1}{k}} [/mm] |
Hio!
Habe diese Reihe hier im Forum gefunden(gab da auch eine Antwort zu der Frage) nur habe ich eine etwas andere Frage.
Zu aller Erst sieht man "sofort", dass die Reihe divergent ist, denn mit [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1}{k} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow \limes_{k\rightarrow\infty} \summe\bruch{1}{3+\bruch{1}{k}} [/mm] = [mm] \summe\bruch{1}{3} [/mm] , also wird auch bei einem unendlich großen k immernoch [mm] \bruch{1}{3} [/mm] dazu addiert wird.
Nun habe ich das (bevor ich das so gesehen hatte), das mit den Quotientenkriterium berechnet, also folgendes getan:
[mm] \bruch{3+\bruch{1}{k}}{3+\bruch{1}{k+1}} [/mm] = ...= [mm] \bruch{k^{2}+2k+3}{k^{2}+2k} \ge [/mm] 1 da Zähler > Nenner [mm] \Rightarrow [/mm] die Folge divergiert.
Nun gibt es doch noch aber den Fall bei dem man keine Aussage über Konvergenz machen kann, nämlich:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{k^{2}+2k+3}{k^{2}+2k} [/mm] = 1 = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1+\bruch{2}{k}+\bruch{3}{k^{2}}}{1+\bruch{2}{k}} [/mm] was hier offensichtlich auch gilt...
wie steht das nun in Zusammenhang?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 Mo 02.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Vorgelegt sei eine Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n
[/mm]
Gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] = 1, so liefert das Quotienten kriterium keine Entscheidung, d.h.:
es gibt konvergente Reihen [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] = 1 ( z.B. [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^2})
[/mm]
und
es gibt divergente Reihen [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] = 1 ( z.B. [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^} [/mm] oder die Reihe oben von Dir)
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:55 Mo 02.02.2009 | | Autor: | Pille456 |
Hmm achso, hätte ich auch selber drauf kommen können...
Danke!
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