Quotientenkriterium < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 Sa 18.12.2004 | | Autor: | Shaguar |
Moin,
hab mir mal nen paar Beispiele angeschaut hier im Forum um meine Aufgabe besser lösen zu können, schaut mal bitte ob ich das jetzt so richtig gemacht habe oder nicht.
Ich soll zeigen, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \wurzel[n]{n} z^n [/mm] konvergiert mit der Bedingung |z|<1
also muss folgendes gelten:
[mm] |\bruch{\wurzel[n+1]{n+1} z^{n+1}}{\wurzel[n]{n} z^n}| \le [/mm] q
den Bruch kann ich ja erstmal folgendermaßen kürzen:
[mm] |\bruch{\wurzel[n+1]{n+1} z}{\wurzel[n]{n}}| \le [/mm] q
dann ist
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{\wurzel[n+1]{n+1} z}{\wurzel[n]{n}}| [/mm] = z
da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n}=1 [/mm] (Beweis in der Vorlesung gemacht.)
daraus kann ich doch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n+1]{n+1}=1 [/mm] schliessen. Oder?
Also können wir sagen, dass die Reihe konvergiert da
[mm] |\bruch{\wurzel[n+1]{n+1} z}{\wurzel[n]{n}}| \le [/mm] q
mit q=|z| da für z nach Vorraussetzung gilt: 0 [mm] \le [/mm] |z| < 1 , was ja die Bedingung für q ist.
Der Übung wegen zeige ich das auch noch mal mit dem Wurzelkriterium:
Hier steht ja dann da
[mm] \wurzel[n]{|\wurzel[n]{n} z^n|} \le [/mm] q
Hier müsste ich doch einfach die große Wurzel folgendermaßen auflösen können:
[mm] |\wurzel[n]{\wurzel[n]{n}} [/mm] z| [mm] \le [/mm] q
jetzt kann ich sagen, dass :
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n}=1 [/mm]
[mm] \Rightarrow \wurzel[n]{\wurzel[n]{n}}=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] |z| [mm] \le [/mm] q
Auch hier kommt wieder |z|=q raus.
Ich hoffe ich habe jetzt mit 2 Kriterien einigermaßen fehlerlos gezeigt, dass die Reihe konvergiert.
Vielen Dank für eine Verbesserung.
MFG Shaguar
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:30 Sa 18.12.2004 | | Autor: | Nilez |
Hallo!
Ich denke das ist so weit richtig.
Nur mit einem bin ich nicht ganz einverstanden:
Deine Betragsfolge beim Wurzelkrit. konvergiert von oben gegen z, was bedeutet, dass q=z die "fast alle Bedingung" nicht erfüllt. Man müsste, meiner Meinung nach, ein [mm] q\in\IR\cap(z,1) [/mm] wählen, denn nur dann ist gesichert, dass fast alle Glieder der Folge [mm] \le [/mm] q sind.
Liebe Grüße,
Nilez
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:47 Sa 18.12.2004 | | Autor: | Shaguar |
Moin,
danke für die Antwort, dann schreibe ich das ganze halt mit dem Quotientenkriterium auf.
Gruß Shaguar
|
|
|
|
