Quotientenkriterium < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:46 Fr 30.03.2007 | | Autor: | Wehm |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hoi.
Ich übe gerade das Quotientenkriterium und habe hier $a_n = \produkt_{k=1}^{n}\frac{2k-1}{2k}*\frac{(0.5)^{2n+1}}{2n+1}$ gegeben.
$a_{n+1} = \frac{2(n+1)-1}{2(n+1)}*\frac{(0.5)^{2(n+1)+1}}{2(n+1)+1} =\frac{2n+2}{2n+2}*\frac{(0.5)^{2n+3}{2n3} $
$a_n = \frac{2n-1}{2n}*\frac{(0.5)^{2n+1}}{2n+1}$
$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+1)}{(2n-1)}*\frac{2n}{2n+2}*\frac{(0.5)^{2n+3}}{(0.5)^{2n+1}}*\frac{2n+1}{2n+3}$
$=\underbrace{\frac{(2n+1)}{(2n-1)}}_{\ge1}*\underbrace{\frac{2n}{2n+2}}_{\le 1}*(0.5)^2*\underbrace{\frac{2n+1}{2n+3}}_{\le 1}$
Dieser erste Faktor ist in meiner Rechnung störend. Er ist größer gleich 1, sodass ich nicht abschätzen kann:
$=\underbrace{\frac{(2n+1)}{(2n-1)}}_{\ge1}*\underbrace{\frac{2n}{2n+2}}_{\le 1}*(0.5)^2*\underbrace{\frac{2n+1}{2n+3}}_{\le 1} \le 0.5^2 = 0.25$
Das geht ja wegen den ersten Faktor nich oder doch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:38 Fr 30.03.2007 | | Autor: | wauwau |
Was hältst du davon wenn du den ersten Faktor inklusive 0,5 betrachtest???, dann ist der auch kleiner als 1!!!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Fr 30.03.2007 | | Autor: | Wehm |
$ [mm] =\underbrace{\frac{(2n+1)}{(2n-1)}}_{\ge1}\cdot{}\underbrace{\frac{2n}{2n+2}}_{\le 1}\cdot{}(0.5)^2\cdot{}\underbrace{\frac{2n+1}{2n+3}}_{\le 1} \le \frac{(2n+1)}{(2n-1)} 0.5^2 [/mm]
So?
Kann ich denn auch für n nun 0 einsetzen das würde ja ergeben [mm] \frac{(1)}{(-1)} 0.5^2 [/mm]
Da man eigentlich von [mm] a_{n+1}/a_n [/mm] den Betrag nimmt, könnte ich dann also einfach mit [mm] 0.5^2 [/mm] weiterrechnen?
Weil ich nämlich eine Summe abschätzen muss. Geht das mit n=0 auch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Fr 30.03.2007 | | Autor: | Fulla |
Hi Wehm!
Ich denke, was wauwau meinst ist folgendes:
[mm] \bruch{2n+1}{2n-1}*(0,5)^2=\bruch{2n+1}{4(2n-1)}=\bruch{2n+1}{8n-4}<1
[/mm]
Lieben Gruß,
Fulla
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