Quaternionen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallöchen!
Bin mal wieder ratlos!!!
Habe Folgende Aufgabe:
Bestimmen sie, welche Quaternioen q=a+bi+cj+dk das Quadrat -1 haben!
Habe keine Ahnung wie man das löst, da die Variabeln unabhänig von einander sind! Somit müsste es unendlich viele Lösungen geben! Das kann aber nicht sein!!!
Wäre leib, wenn jemand mir hilft!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
Hi
Du hast recht es gibt unendlich viele Lösungen.
Wenn man ein Quaternion X=ae+bi+cj+dk hat kann man leicht nachrechnen das gilt:
[mm] X^{2}=-(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})e+2aX.
[/mm]
Daraus folgt dass [mm] X^{2}=-1e
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] a=0 und [mm] b^{2}+c^{2}+d^{2}=1 [/mm] ( [mm] b,c,d\in\IR)
[/mm]
Das heißt b,c,d sind nicht unabhängig voneinander, aber die Gleichung
[mm] b^{2}+c^{2}+d^{2}=1 [/mm] hat unendlich viele Lösungen (mit [mm] b,c,d\in\IR).
[/mm]
Bei den Quaterionen ist es durchaus möglich das eine Polynomgleichung unendlich viele Lösungen hat. Es gibt da auch noch extremere Fälle:
Die Gleichung [mm] X^{2}iXi+iX^{2}iX-iXiX^{2}-XiX^{2}i=0 [/mm] hat zum Beispiel alle Quaternionen als Lösung.
Oder iX-Xi+1=0 hat keine Lösungen.
(kannst du ja zum Spaß mal nachrechnen)
Dieses eigenartige Verhalten ist eine Konsequenz Nichtkommutativität der Multiplikation von Quaterionen.
Ich hoffe ich konnte dir damit helfen.
Gruß Deathwalker
|
|
|
|
