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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:45 Mo 17.09.2012 | | Autor: | Thordar |
| Aufgabe | Gegeben sei die Gleichung
[mm] f(x,y,z)=x^2-2xy+y^2-2yz+z^2-2xz+2x+2y+2z-3=0\, [/mm]
Klassifizieren sie die Quadrik mithilfe der Hauptachsentransformation. |
Hallo ersteinmal,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Es ist die Beispielaufgabe in http://de.wikipedia.org/wiki/Hauptachsentransformation#Beispiel . (hab auch andere Beispiele durchgerechnet, die waren aber meist mit nur 2 Variablen, außerdem ist bei dem Beispiel die Matrix schlicht gehalten. Auch bei den anderen Übungsaufgaben scheitere ich immer bei dem finalen Schritt)
Ich habe die Aufgabe selbstständig nachgerechnet und komme bis zu dem Punkt, wo man die Gleichung :
[mm] -x^2 [/mm] + [mm] 2*y^2 [/mm] + [mm] 2*z^2 [/mm] + [mm] 2*\wurzel{3}*x [/mm] -3 = 0 bekommt. Also direkt nach der Transformation, die Eigenwerte samt Eigenvektoren sind bestimmt, die neuen Matrizen berechnet.
Jetzt hab ich aber bei der abschließenden Klassifizierung meine Probleme.
Als Ergebnis ist ja bereits der elliptische Kegel mit der Gleichung :
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] - [mm] z^2 [/mm] = 0
genannt worden. Allerdings kann ich das nicht nachvollziehen.
Meine Probleme dabei :
1. z ist negativ, in der Gleichung oben aber x.
Ist meine Vermutung richtig, dass das egal ist?! Hätt man oben bei den Eigenwerten z.B. erst den Eigenwert 2 entdeckt, wäre ja das x das neue z, weil man den EV von -1 erst am Ende berechnet. Dem entsprechend natürlich noch die andere Matrix auch verdrehen.
In welcher Reihenfolge ich die Variablen nenne, ist ja eigentlich egal, sie sind ja anschließend die neuen Koordinaten-achsen.
2. ... = 0
Ich hab aber = 3, wenn ich den konstanten Faktor wieder rüber schiebe.
[mm] -{x'}^2+2{y'}^2+2{z'}^2 [/mm] + [mm] 2\sqrt{3}\ [/mm] x'-3=
[mm] =-1\left({x'}^2-2\sqrt{3}\ x'\right)+2{y'}^2+2{z'}^2-3=
[/mm]
[mm] =-1\left(x'-\sqrt{3}\right)^2+2{y'}^2+2{z'}^2-3+3=0 [/mm]
Mir ist nicht klar, wo in dem Beispiel plötzlich das +3 auftaucht, dass das -3 wieder wegneutralisiert.
Anscheinend wird ja zunächst nach den Variablen sortiert und Faktoren rausgezogen.
Die erste Umformung bekomm ich also noch nachvollzogen.
Aber was wird in der 2. gemacht?
Ich hätt jetzt die Quadrik als einschaliges Hyperbolit klassifiziert, weil ja ein negativer konstanter Faktor überbleibt.
Ich hoffe, ihr könnt das nachvollziehen und mir helfen,
danke schonmal,
Thordar
EDIT: ich glaub, das ist ein wenig ins Falsche Forum geraten, eig wollt ich das unter Hochschule/LinAlg/Sonstiges packen.. Entschuldigung dafür. Kann man das nachträglich noch umschieben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:27 Mo 17.09.2012 | | Autor: | Thordar |
Au backe...
> [mm]-{x'}^2+2{y'}^2+2{z'}^2[/mm] + [mm]2\sqrt{3}\[/mm] x'-3=
> [mm]=-1\left({x'}^2-2\sqrt{3}\ x'\right)+2{y'}^2+2{z'}^2-3=[/mm]
>
> [mm]=-1\left(x'-\sqrt{3}\right)^2+2{y'}^2+2{z'}^2-3+3=0[/mm]
ok, das ist die 2. binomische Formel rückwärts,
mit (x - [mm] \wurzel{3})^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] - [mm] 2*\wurzel{3}*x [/mm] + 3 ....
da wär ich, ohne die richtige Antwort vorliegen zu haben, niemals drauf gekommen...
Den Teil konnt ich mir also mittlerweile selbst beantworten ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:32 Mo 17.09.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Thordar,
> Au backe...
>
> > [mm]-{x'}^2+2{y'}^2+2{z'}^2[/mm] + [mm]2\sqrt{3}\[/mm] x'-3=
> > [mm]=-1\left({x'}^2-2\sqrt{3}\ x'\right)+2{y'}^2+2{z'}^2-3=[/mm]
>
> >
> > [mm]=-1\left(x'-\sqrt{3}\right)^2+2{y'}^2+2{z'}^2-3+3=0[/mm]
>
> ok, das ist die 2. binomische Formel rückwärts,
> mit (x - [mm]\wurzel{3})^2[/mm] = [mm]x^2[/mm] - [mm]2*\wurzel{3}*x[/mm] + 3 ....
>
> da wär ich, ohne die richtige Antwort vorliegen zu haben,
> niemals drauf gekommen...
Naja, wenn man die Möglichkeit im Auge behält, ist es echt nur reine Übungssache. Damit man nicht zu leicht drauf kommt, ist hier ja noch ein Vorfaktor -1 zugeschlagen. Es empfiehlt sich, probeweise solche Vorfaktoren erst einmal herauszuziehen, das macht es übersichtlicher. Wenn dann keine binomische Formel vorliegt, wars halt vergebens.
> Den Teil konnt ich mir also mittlerweile selbst beantworten
> ;)
Das ist ja überhaupt die beste Lösung. 
Grüße
reverend
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Hallo Thordar,
> Gegeben sei die Gleichung
>
> [mm]f(x,y,z)=x^2-2xy+y^2-2yz+z^2-2xz+2x+2y+2z-3=0\,[/mm]
>
> Klassifizieren sie die Quadrik mithilfe der
> Hauptachsentransformation.
>
> Hallo ersteinmal,
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Es ist die Beispielaufgabe in
> http://de.wikipedia.org/wiki/Hauptachsentransformation#Beispiel
> . (hab auch andere Beispiele durchgerechnet, die waren aber
> meist mit nur 2 Variablen, außerdem ist bei dem Beispiel
> die Matrix schlicht gehalten. Auch bei den anderen
> Übungsaufgaben scheitere ich immer bei dem finalen
> Schritt)
>
> Ich habe die Aufgabe selbstständig nachgerechnet und komme
> bis zu dem Punkt, wo man die Gleichung :
> [mm]-x^2[/mm] + [mm]2*y^2[/mm] + [mm]2*z^2[/mm] + [mm]2*\wurzel{3}*x[/mm] -3 = 0 bekommt. Also
> direkt nach der Transformation, die Eigenwerte samt
> Eigenvektoren sind bestimmt, die neuen Matrizen berechnet.
>
> Jetzt hab ich aber bei der abschließenden Klassifizierung
> meine Probleme.
>
> Als Ergebnis ist ja bereits der elliptische Kegel mit der
> Gleichung :
>
> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] - [mm]z^2[/mm] = 0
>
> genannt worden. Allerdings kann ich das nicht
> nachvollziehen.
> Meine Probleme dabei :
>
> 1. z ist negativ, in der Gleichung oben aber x.
>
> Ist meine Vermutung richtig, dass das egal ist?! Hätt man
> oben bei den Eigenwerten z.B. erst den Eigenwert 2
> entdeckt, wäre ja das x das neue z, weil man den EV von -1
> erst am Ende berechnet. Dem entsprechend natürlich noch
> die andere Matrix auch verdrehen.
> In welcher Reihenfolge ich die Variablen nenne, ist ja
> eigentlich egal, sie sind ja anschließend die neuen
> Koordinaten-achsen.
>
Ja, Deine Vermutung ist richtig.
> 2. ... = 0
>
>
> Ich hab aber = 3, wenn ich den konstanten Faktor wieder
> rüber schiebe.
>
>
> [mm]-{x'}^2+2{y'}^2+2{z'}^2[/mm] + [mm]2\sqrt{3}\[/mm] x'-3=
> [mm]=-1\left({x'}^2-2\sqrt{3}\ x'\right)+2{y'}^2+2{z'}^2-3=[/mm]
>
> [mm]=-1\left(x'-\sqrt{3}\right)^2+2{y'}^2+2{z'}^2-3+3=0[/mm]
>
> Mir ist nicht klar, wo in dem Beispiel plötzlich das +3
> auftaucht, dass das -3 wieder wegneutralisiert.
> Anscheinend wird ja zunächst nach den Variablen sortiert
> und Faktoren rausgezogen.
> Die erste Umformung bekomm ich also noch nachvollzogen.
> Aber was wird in der 2. gemacht?
> Ich hätt jetzt die Quadrik als einschaliges Hyperbolit
> klassifiziert, weil ja ein negativer konstanter Faktor
> überbleibt.
>
Es ist doch:
[mm]{x'}^2-2\sqrt{3}\ x'={x'}^2-2\sqrt{3}\ x'\blue{+\left(\bruch{-2\wurzel{3}}{2}\right)^{2}-\left(\bruch{-2\wurzel{3}}{2}\right)^{2}}=\left({x'-\sqrt{3}\right)^{2}-3[/mm]
>
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>
> Ich hoffe, ihr könnt das nachvollziehen und mir helfen,
> danke schonmal,
>
> Thordar
>
> EDIT: ich glaub, das ist ein wenig ins Falsche Forum
> geraten, eig wollt ich das unter
> Hochschule/LinAlg/Sonstiges packen.. Entschuldigung dafür.
> Kann man das nachträglich noch umschieben?
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:23 Mo 17.09.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
immer wenn du eine Gleichung der Form
[mm] (x_1-a)^2+(x_2-b)^2=A(x_3-c)^2 [/mm] hast hast du einen Rotationskegel, Spitze in (a,b,c) rotationsachse in [mm] x_3 [/mm] Richtung, egal ob du [mm] x_3 [/mm] nun x oder y oder z nennst.
du kannst ja leicht sehen, dass du für [mm] x_3=const [/mm] Kreise um die Achse (a,b,0) hast.
gruss leduart
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