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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 Sa 09.12.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Bestimmen Sie eine Quadraturformel der Gestalt
[mm] \integral_{0}^{2 \pi}{f(x) dx}=w_1 [/mm] f(0) + [mm] w_2 f(\pi)
[/mm]
welche jede der Funktion der Form f(x) = a + b cos(x) [mm] a,b\in [/mm] R exakt intergriert. Zeigen Sie, dass diese Quadraturformel außerdem exakt ist für alle Funktionen der Art
f(x)= [mm] \summe_{k=0}^{n} \{a_k cos((2k+1)x)+b_k sin(kx)\} a_k,b_k \in [/mm] R. |
HI!
irgendwie fehlt mir noch eine zweite bedingung um die gewichte zu bestimmen...
also ich hab mal das intergral [mm] \integral_{0}^{2 \pi}{(a + b cos(x))dx} [/mm] = 2 [mm] \pi [/mm] a + 4b berechnet.
dann müsste ja gelten:
2 [mm] \pi [/mm] a + 4b = [mm] w_1 [/mm] f(0) + [mm] w_2 f(\pi) [/mm] , aber eine gleichung und zwei unbekannte sind irgendwie schlecht...
hab ich falsch angefangen oder wie komm ich damit weiter?
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:14 So 10.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Riley
So wie du die Aufgabe aufgeschrieben hast ist sie sinnlos
Das Integral über cos und über sin über eine Periode, oder viele ganze Perioden ist immer 0 (nicht deine 4!)
dann wäre im 1. Fall [mm] w1=2\pi [/mm] , w2=0 .
Im 2. Fall ergibt das Integral immer 0!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 So 10.12.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Leduart,
oh ja, irgendwie dachte ich ich dürfte nicht über die grenzen integrieren, aber hier gehts ja nicht um die fläche... danke...
was meinst du mit 1. und 2.fall, bzw wie kommst du auf diese [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2?
[/mm]
hab das nochmal durchgerechnet, wegen der linearität des integrals müsste es doch genügen, die [mm] w_k [/mm] für [mm] f_1(x)=1 [/mm] und für [mm] f_2(x)=cos(x) [/mm] exakt zu bestimmen, oder?
dann komm ich auf [mm] w_1=w_2= \pi [/mm] ?
und wie kann ich zeigen dass diese Quadraturformel für die anderen funktionen mit der summe auch exakt ist?
ich hab für f(0) = [mm] \summe_{k=1}^{n} a_k [/mm] und [mm] f(\pi) [/mm] = 0 raus, aber irgendwie komm ich damit nihct weiter?
viele grüße
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 So 10.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich weiss immer nicht, wie meine posts gelesen werden. Ich hatte gesagt, dass das Integral von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] über die Summe 0 ist, unabh. von den ak, also es ziemlicher Blödsinn ist für die 0 ne Quadraturformel anzugeben.
fur a+bcosx spielt wieder bcosx keine Rolle, und ne Quadraturformel für die integration ner Konstanten anzugeben ist auch nicht sehr sinnig.
Also sieh dir die Aufgabe noch mal an! So blöd kann sie doch gar nicht sein!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 So 10.12.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Leduart,
tut mir leid wenn ich dich falsch verstanden hab...
aber die aufgabe steht wirklich genau so auf meinem übblatt, das is kein witz... hab ganz sicher nichts falsch abgetippt...
du sagst, das integral über der summer ist immer null wegen der perioden von sin und cos? kannst du mir das bitte nochmal genauer erklären, wie du das so schnell siehst? dass das integral von sin(x) oder cos(x) in diesem intervall Null ist, versteh ich, aber mit der summe und den [mm] a_k [/mm] bzw [mm] b_k [/mm] ?
wie könnte man denn die exaktheit zeigen, wenn man vergisst dass das integral sowieso null wird?
viele grüße
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Mo 11.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo riley
Wenn dir klar ist, dass A*sinx und Acosx über eine Periode integriert 0 ergeben, dann auch über n Perioden.
sink*x ,k ganz hat die Periode [mm] 2\pi/k, [/mm] also in [mm] 2\pi [/mm] genau k Perioden also Integral 0 bis [mm] 2\pi [/mm] =0
Auch in der Uni gibts mal Fehler beim Aufgabenstellen. und w1=w2=0 ist ja ne Lösung des Problems. und die ist exakt. Integral über Summe= Summe der Integrale.
Was die erste Aufgabe mit der Konstanten a mit der zweiten zu tun hat weiss ich nicht.
Ich würd noch mal nachfragen, ob bei der Aufgabe ein Fehler vorliegt, wenns die im Netz gab, gibts vielleicht ne korrigierte Version?
Mehr weiss ich nicht dazu.
Gruss leduart
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