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Quadraturformel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:35 Fr 13.12.2019
Autor: Boogie2015

Aufgabe
Sei [mm] $\mathbb{N}_{0}$. [/mm] Gegeben sei eine Unterteilung $ 0 = [mm] x_{0} [/mm] < [mm] \ldots [/mm] < [mm] x_{n} [/mm] = 1$ des Intervalls $[0, 1]$.

Zeigen Sie, dass für die Gewichte [mm] $\{ \alpha_{i} \}_{i = 0}^{n}$ [/mm] einer Quadraturformel der Ordnung $n$ mit paarweise disjunkten Knoten [mm] $\{ x_{i} \}_{i = 0}^{n}$, [/mm] welche die Bedingung [mm] $x_{i} [/mm] = 1 - [mm] x_{n - i }$ [/mm] erfüllen, gilt: [mm] $\alpha_{i} [/mm] = [mm] \alpha_{n - i}$, [/mm] für $ i [mm] \in \{ 0, 1, \ldots, n \}$. [/mm]



Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter, bzw. ich bräuchte einen Tipp, da mir zu diesem Beweis keinen Ansatz einfällt.


Ich habe erst versucht, die interpolatorische Quadraturformel für [mm] $\alpha_{i}$ [/mm] und [mm] $\alpha_{n - i}$ [/mm] zu schreiben, um daraus dann irgendwie zu schlussfolgern, dass [mm] $\alpha_{i} [/mm] = [mm] \alpha_{n - i }$ [/mm] gilt.



[mm] $\sum\limits_{i = 1}^{n} f(x_{i}) \cdot \alpha_{ i} [/mm]  = [mm] \sum\limits_{i = 0 }^{n} f(x_{i}) \int_{0}^{1} L_{i}^{(n)} [/mm] (x) dx = [mm] \sum\limits_{i = 0 }^{n} [/mm] f(1 - [mm] x_{n - i }) \int_{0}^{1} L_{ i}^{(n)} [/mm] (x) dx$

[mm] $\sum\limits_{i = 1}^{n} f(x_{i}) \cdot \alpha_{n - i} [/mm]  = [mm] \sum\limits_{i = 0 }^{n} f(x_{i}) \int_{0}^{1} L_{n - i}^{(n)} [/mm] (x) dx = [mm] \sum\limits_{i = 0 }^{n} [/mm] f(1 - [mm] x_{n - i }) \int_{0}^{1} L_{n - i}^{(n)} [/mm] (x) dx$



Aber dann weiß ich nicht mehr weiter, bzw. weiß nicht, wie ich die Bedingung [mm] $x_{i} [/mm] = 1 - [mm] x_{n - i }$ [/mm] verwenden kann.

Ich meine, ich kann nicht einfach sagen, dass [mm] $f(x_{i}) [/mm] = f(1 - [mm] x_{n - i }) [/mm] = [mm] y_{i} [/mm] = 1 - [mm] y_{n - i }$ [/mm] ist. Vielleicht ließe sich damit besser arbeiten, aber wie gesagt, das geht nicht.


Hat jemand einen Tipp für mich?



Bedanke mich schon mal im Voraus.

        
Bezug
Quadraturformel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:40 Fr 13.12.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

du hast ja bereits die Definition von [mm] $\alpha_i$ [/mm] verwendet, nämlich:

[mm] $\alpha_i [/mm] =  [mm] \int_{0}^{1} L_{i}^{(n)} [/mm] (x) dx$

bzw.

[mm] $\alpha_{n-i} [/mm] =  [mm] \int_{0}^{1} L_{n-i}^{(n)} [/mm] (x) dx$

D.h. zu zeigen ist [mm] $L_{i}^{(n)} [/mm] (x) = [mm] L_{n-i}^{(n)} [/mm] (x)$

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Quadraturformel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:01 Fr 13.12.2019
Autor: Boogie2015

Hi!


> Hiho,

>  
> du hast ja bereits die Definition von [mm]\alpha_i[/mm] verwendet,
> nämlich:
>  
> [mm]\alpha_i = \int_{0}^{1} L_{i}^{(n)} (x) dx[/mm]
>  
> bzw.
>  
> [mm]\alpha_{n-i} = \int_{0}^{1} L_{n-i}^{(n)} (x) dx[/mm]
>  
> D.h. zu zeigen ist [mm]L_{i}^{(n)} (x) = L_{n-i}^{(n)} (x)[/mm]
>
> Gruß,
>  Gono


Warum muss ich [mm] $L_{i}^{(n)} [/mm] (x) = [mm] L_{n-i}^{(n)} [/mm] (x)$ zeigen? Kann es nicht auch sein, dass [mm] $L_{i}^{(n)} [/mm] (x)$ und  $ [mm] L_{n-i}^{(n)} [/mm] (x)$ nicht identisch sind, aber ihr Integral dafür sehr wohl?



Ich muss zeigen:


[mm] $\alpha_{i} [/mm] - [mm] \alpha_{n - i} [/mm] = [mm] \int_{0}^{1} L_{i}^{(n)} [/mm] (x) dx - [mm] \int_{0}^{1} L_{n - i}^{(n)} [/mm] (x) dx = [mm] \int_{0}^{1} \left ( L_{i}^{(n)} (x) - L_{n - i}^{(n)} (x) \right [/mm] ) dx = 0$

Aber dafür muss nicht unbedingt [mm] $L_{i}^{(n)} [/mm] (x) = [mm] L_{n-i}^{(n)} [/mm] (x)$ sein, oder?



Ich wüsste aber nicht, wie man die Gleichheit  [mm] $L_{i}^{(n)} [/mm] (x) = [mm] L_{n-i}^{(n)} [/mm] (x)$ zeigen kann.

Mein Ansatz wäre folgender:

[mm] $L_{i}^{(n)} [/mm] (x)  - [mm] L_{n - i}^{(n)} [/mm] (x) = [mm] \prod\limits_{j = 0, j \neq i}^{n} \frac{x - x_{j}}{x_{i} - x_{j}} [/mm] - [mm] \prod\limits_{j = 0, j \neq n - i}^{n} \frac{x - x_{j}}{x_{n - i} - x_{j}} [/mm] =   [mm] \frac{ \prod\limits_{j = 0, j \neq i}^{n} (x - x_{j}) }{\prod\limits_{j = 0, j \neq i}^{n} (x_{i} - x_{j})} [/mm] -  [mm] \frac{\prod\limits_{j = 0, j \neq n - i}^{n} (x - x_{j})}{\prod\limits_{j = 0, j \neq n - i}^{n} (x_{n - i} - x_{j})} [/mm] =
[mm] \frac{ \prod\limits_{j = 0, j \neq i}^{n} (x - x_{j}) \cdot \prod\limits_{j = 0, j \neq n - i}^{n} (x_{n - i} - x_{j})}{\prod\limits_{j = 0, j \neq i}^{n} (x_{i} - x_{j}) \cdot \prod\limits_{j = 0, j \neq n - i}^{n} (x_{n - i} - x_{j})} [/mm] -  [mm] \frac{\prod\limits_{j = 0, j \neq n - i}^{n} (x - x_{j}) \cdot \prod\limits_{j = 0, j \neq i}^{n} (x_{i} - x_{j}) }{\prod\limits_{j = 0, j \neq n - i}^{n} (x_{n- i} - x_{j}) \cdot \prod\limits_{j = 0, j \neq i}^{n} (x_{i} - x_{j})} [/mm]  $




Aber wenn ich das weiter versuche zu vereinfachen wird das nicht Null. Gibt es da einen besseren Weg?



Bezug
                        
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Quadraturformel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:48 Sa 14.12.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

du hast völlig recht mit deiner Vermutung und schon bei zwei Punkten [mm] $x_0 [/mm] = [mm] x_1$ [/mm] gilt nicht notwendigerweise [mm] $L_0 [/mm] = [mm] L_1$, [/mm] allerdings [mm] $\int_0^1 L_0(x) [/mm] - [mm] L_1 [/mm] (x) dx = 0$

Mein Ansatz funktioniert nicht, ich hab aber vermutlich heute leider auch keine Zeit mich weiter damit zu beschäftigen.

Gruß,
Gono

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Quadraturformel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:10 Sa 14.12.2019
Autor: HJKweseleit


> Ich muss zeigen:
>  
>
> [mm]\alpha_{i} - \alpha_{n - i} = \int_{0}^{1} L_{i}^{(n)} (x) dx - \int_{0}^{1} L_{n - i}^{(n)} (x) dx = \int_{0}^{1} \left ( L_{i}^{(n)} (x) - L_{n - i}^{(n)} (x) \right ) dx = 0[/mm]
>  
> Aber dafür muss nicht unbedingt [mm]L_{i}^{(n)} (x) = L_{n-i}^{(n)} (x)[/mm]
> sein, oder?
>  




[mm]L_{n - i}^{(n)}[/mm] (x) = [mm]\prod\limits_{j = 0, j \neq n - i}^{n} \frac{x - x_{j}}{x_{n - i} - x_{j}}[/mm]  
= [mm]\prod\limits_{j = 0, j \neq n - i}^{n} \frac{-x + x_{j}}{-x_{n - i} + x_{j}}[/mm]

= [mm]\prod\limits_{j = 0, j \neq n - i}^{n} \frac{(1-x) - (1-x_{j})}{(1-x_{n - i}) - (1-x_{j})}[/mm]

= [mm]\prod\limits_{j = 0, j \neq n-i}^{n} \frac{(1-x) - x_{n-j}}{x_{i} - x_{n-j}}[/mm]  jetzt j durch n-j ersetzen, dann läuft das Ganze rückwärts; außerdem ist dann j [mm] \ne [/mm] i:

= [mm]\prod\limits_{j = 0, j \neq i}^{n} \frac{(1-x) - x_{j}}{x_{i} - x_{j}}[/mm])

Damit sieht [mm]L_{n - i}^{(n)}[/mm]  bis auf (1-x) statt x so aus wie [mm]L_{i}^{(n)}[/mm] .

[mm] \int_{0}^{1} L_{n - i}^{(n)} [/mm] (x) dx [mm] =\int_{0}^{1}[/mm]  [mm]\prod\limits_{j = 0, j \neq i}^{n} \frac{(1-x) - x_{j}}{x_{i} - x_{j}}[/mm] dx     Substitution: y = 1-x  [mm] \Rightarrow [/mm] dx = - dy

...= [mm] \int_{1}^{0}[/mm]  [mm]\prod\limits_{j = 0, j \neq i}^{n} \frac{(y) - x_{j}}{x_{i} - x_{j}}(-dy)[/mm] = - [mm] \int_{1}^{0}[/mm]  [mm]\prod\limits_{j = 0, j \neq i}^{n} \frac{(y) - x_{j}}{x_{i} - x_{j}}dy[/mm] = [mm] \int_{0}^{1}[/mm]  [mm]\prod\limits_{j = 0, j \neq i}^{n} \frac{(y) - x_{j}}{x_{i} - x_{j}}dy[/mm] = [mm] \int_{0}^{1} L_{i}^{(n)} [/mm] (y) dy  = [mm] \int_{0}^{1} L_{i}^{(n)} [/mm] (x) dx

Bezug
                                
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Quadraturformel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:33 So 15.12.2019
Autor: Boogie2015

Hey, danke für die Antwort. Ich war heute lange unterwegs, daher kann ich erst jetzt antworten.



> [mm]L_{n - i}^{(n)}[/mm] (x) = [mm]\prod\limits_{j = 0, j \neq n - i}^{n} \frac{x - x_{j}}{x_{n - i} - x_{j}}[/mm]
>  
> = [mm]\prod\limits_{j = 0, j \neq n - i}^{n} \frac{-x + x_{j}}{-x_{n - i} + x_{j}}[/mm]
>
> = [mm]\prod\limits_{j = 0, j \neq n - i}^{n} \frac{(1-x) - (1-x_{j})}{(1-x_{n - i}) - (1-x_{j})}[/mm]
>
> = [mm]\prod\limits_{j = 0, j \neq n-i}^{n} \frac{(1-x) - x_{n-j}}{x_{i} - x_{n-j}}[/mm]
>  jetzt j durch n-j ersetzen, dann läuft das Ganze
> rückwärts; außerdem ist dann j [mm]\ne[/mm] i:
>  
> = [mm]\prod\limits_{j = 0, j \neq i}^{n} \frac{(1-x) - x_{j}}{x_{i} - x_{j}}[/mm])
>  
> Damit sieht [mm]L_{n - i}^{(n)}[/mm]  bis auf (1-x) statt x so aus
> wie [mm]L_{i}^{(n)}[/mm] .


Bis hierhin ist alles verständlich.

  
[mm] >\int_{0}^{1} L_{n - i}^{(n)} [/mm] (x) dx [mm] =\int_{0}^{1} \prod\limits_{j = 0, j \neq i}^{n} \frac{(1-x) - x_{j}}{x_{i} - x_{j}} [/mm] dx     Substitution: y = 1-x  [mm] \Rightarrow [/mm] dx = - dy  ...= [mm] \int_{1}^{0}\prod\limits_{j = 0, j \neq i}^{n} \frac{(y) - x_{j}}{x_{i} - x_{j}}(-dy) [/mm]  = - [mm] \int_{1}^{0} \prod\limits_{j = 0, j \neq i}^{n} \frac{(y) - x_{j}}{x_{i} - x_{j}}dy [/mm]  = [mm] \int_{0}^{1} \prod\limits_{j = 0, j \neq i}^{n} \frac{(y) - x_{j}}{x_{i} - x_{j}}dy [/mm]
= [mm] \int_{0}^{1} L_{i}^{(n)} [/mm] (y) dy  = [mm] \int_{0}^{1} L_{i}^{(n)} [/mm] (x) dx  




Hier substituiere ich $y = 1 - x$ und daraus folgt dann $ dx = - dy$.

Dann habe ich:


[mm] $\int_{0}^{1} L_{n - i}^{(n)} [/mm] (x) dx [mm] =\int_{0}^{1} \prod\limits_{j = 0, j \neq i}^{n} \frac{(1-x) - x_{j}}{x_{i} - x_{j}} [/mm] dx   = [mm] \int_{1 - 0}^{1 - 1}\prod\limits_{j = 0, j \neq i}^{n} \frac{(y) - x_{j}}{x_{i} - x_{j}}(-dy) [/mm]  = - [mm] \int_{1}^{0} \prod\limits_{j = 0, j \neq i}^{n} \frac{(y) - x_{j}}{x_{i} - x_{j}}dy [/mm]  = [mm] \int_{0}^{1} \prod\limits_{j = 0, j \neq i}^{n} \frac{(y) - x_{j}}{x_{i} - x_{j}}dy [/mm] = [mm] \int_{0}^{1} L_{i}^{(n)} [/mm] (y) dy  = [mm] \int_{0}^{1} L_{i}^{(n)} [/mm] (x) dx$


Dann passt das, oder?


Und die Frage ist vielleicht banal, aber warum gilt auch [mm] $\int_{0}^{1} L_{i}^{(n)} [/mm] (y) dy  = [mm] \int_{0}^{1} L_{i}^{(n)} [/mm] (x) dx  $ ?





Sonst ist soweit alles klar. Ich bedanke mich bei dir und Gonozal!

Bezug
                                        
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Quadraturformel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:42 So 15.12.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Und die Frage ist vielleicht banal, aber warum gilt auch
> [mm]\int_{0}^{1} L_{i}^{(n)} (y) dy = \int_{0}^{1} L_{i}^{(n)} (x) dx [/mm]

uh, da kann ich, Gott sei dank, wieder weiterhelfen ^^
Und: Ja, die Frage ist banal, es ist aber gut, sich über sowas Gedanken zu machen.
Ich will dir dafür drei Wege aufzeigen, wobei der letzte zu bevorzugen ist:

1: Die intuitive Begründung
[mm] $\int_{0}^{1} [/mm] f(x) dx$ ist eine relle Zahl, die vom Verhalten der Funktion $f$ im Intervall $(0,1)$ abhängt. Damit dieser Ausdruck wohldefiniert ist, sollte die Bezeichnung der Laufvariablen irrelevant sein.

2: Die Holzhammer-Methode
Wir substituieren $y = x$, dann ist $dy = dx$ und die Grenzen ändern sich nicht, daher:
[mm] $\int_{0}^{1} [/mm] f(x) dx = [mm] \int_{0}^{1} [/mm] f(y) dy$

3: Die Definitions-Begründung
Bezeichne Z Zerlegungen von [0,1], dann ist das Integral definiert als:
[mm] $\int_{0}^{1} [/mm] f(x) dx :=  [mm] \inf_Z \sum _{k=1}^{n}{\Big (}(x_{k}-x_{k-1})\cdot \sup _{x_{k-1}
Das x kommt nun nur im Supremum vor. Dort suchen wir den größten Wert von $f$ im Intervall [mm] $(x_{k-1},x_{k})$. [/mm]
Ob wir das nun aber notieren als [mm] $\sup _{x_{k-1}
[mm] $\int_{0}^{1} [/mm] f(x) dx :=  [mm] \inf_Z \sum _{k=1}^{n}{\Big (}(x_{k}-x_{k-1})\cdot \sup _{x_{k-1}
Gruß,
Gono

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