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Quadraturfehler: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:30 So 15.12.2019
Autor: NathanR

Aufgabe
Sei $n [mm] \in \mathbb{N}_{0}$, [/mm] und $a, b  [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] mit $a < b$.

Sei [mm] $I_{n}(f)$ [/mm] eine Quadraturformel der Ordnung $n$ mit paarweise verschiedenen Stützstellen [mm] $x_{i}$ [/mm] und Gewichten [mm] $\alpha_{i} [/mm] > 0$ für $ i [mm] \in \{0, 1, \ldots,n \}$. [/mm]


Zeigen Sie, dass für Funktionen $f [mm] \in [/mm] C([a, b])$ gilt:


[mm] $\left \vert \int_{a}^{b} f(x) dx - I_{n}(f) \right \vert \le [/mm] 2 (b - a) [mm] \inf\limits_{p \in P_{n}} \vert \vert [/mm] f - p [mm] \vert \vert_{C([a, b])}$, [/mm]


wobei [mm] $P_{n}$ [/mm] der Raum der Polynome über [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] vom Grad [mm] $\le [/mm] n$ bezeichnet.


Ich komme mit der Aufgabe nicht wirklich voran.

Mein Ansatz dazu (kann man nicht mal Ansatz nennen) ist, erst mal die Dreiecksungleichung zu verwenden:


[mm] $\left \vert \int_{a}^{b} f(x) dx - I_{n}(f) \right \vert [/mm]  = [mm] \left \vert \int_{a}^{b} f(x) dx - \sum\limits_{i = 0}^{n} \alpha_{i} f(x_{i}) \right \vert \le \left \vert \int_{a}^{b} f(x) dx \right \vert [/mm]  + [mm] \left \vert \sum\limits_{i = 0}^{n} \alpha_{i} f(x_{i}) \right \vert [/mm] $


jetzt weiß ich aber nicht, wie ich die Summanden [mm] $\left \vert \int_{a}^{b} f(x) dx \right \vert$ [/mm] und [mm] $\left \vert \sum\limits_{i = 0}^{n} \alpha_{i} f(x_{i}) \right \vert$ [/mm] weiter abschätzen kann.



Ich hatte am Anfang in den Sinn, dass ich den Summanden [mm] $\left \vert \sum\limits_{i = 0}^{n} \alpha_{i} f(x_{i}) \right \vert$ [/mm] durch $2(b - a) = 2 [mm] \sum\limits_{i = 0}^{n} \alpha_{i}$ [/mm] abschätzen kann, aber das haut nicht hin, da bei [mm] $\left \vert \sum\limits_{i = 0}^{n} \alpha_{i} f(x_{i}) \right \vert$ [/mm]  die Funktionswerte [mm] $f(x_{i})$ [/mm] auch alle größer als $1$ sein können.


Kann mir jemand helfen? Das wäre super.


Freue mich auf eine Antwort.


Lg, Nathan

        
Bezug
Quadraturfehler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:04 Mo 16.12.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

dein Ansatz ist ok, nutzt aber in keiner Art und Weise aus, dass [mm] $I_n$ [/mm] "eine Quadraturformel der Ordnung n" (!) ist.

Es gilt wegen obigem für jedes $p [mm] \in P_n$: [/mm]

$ [mm] \left \vert \int_{a}^{b} f(x) dx - I_{n}(f) \right \vert [/mm] = [mm] \left \vert \int_{a}^{b} f(x) - p(x) dx - I_{n}(f-p) \right \vert$ [/mm]

Nun Dreiecksungleichung und $|f(x) - p(x)| [mm] \le ||f-p||_{C[a,b]}$ [/mm] nutzen und du bist fertig…

Gruß,
Gono



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Quadraturfehler: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:25 Mo 16.12.2019
Autor: NathanR

Hey, danke für die Antwort.

Ich bin mir nicht ganz sicher, welche Polynome [mm] $I_{n} [/mm] (f)$ exakt integriert.

Im Skript steht:

Eine Quadraturformel [mm] $I^{n} (\cdot)$ [/mm] wird “(mindestens) von der Ordnung $m$”
genannt, wenn durch sie wenigstens alle Polynome aus [mm] P_{m - 1} [/mm] exakt integriert werden.


Also integriert [mm] $I_{n} [/mm] (f)$ mindestens alle Polynome  aus [mm] $P_{m - 1}$ [/mm] und kann, muss aber nicht, auch Polynome höherer Ordnung exakt integrieren, stimmt es ?

> Hiho,
>  
> dein Ansatz ist ok, nutzt aber in keiner Art und Weise aus,
> dass [mm]I_n[/mm] "eine Quadraturformel der Ordnung n" (!) ist.
>  
> Es gilt wegen obigem für jedes [mm]p \in P_n[/mm]:
>  
> [mm]\left \vert \int_{a}^{b} f(x) dx - I_{n}(f) \right \vert = \left \vert \int_{a}^{b} f(x) - p(x) dx - I_{n}(f-p) \right \vert[/mm]
>  
> Nun Dreiecksungleichung und [mm]|f(x) - p(x)| \le ||f-p||_{C[a,b]}[/mm]
> nutzen und du bist fertig…
>  
> Gruß,
>  Gono
>  
>  

Ich mach das in kleineren Schritten:



[mm] $\left \vert \int_{a}^{b} f(x) dx - I_{n}(f) \right \vert [/mm] = [mm] \left \vert \int_{a}^{b} f(x) dx - \sum\limits_{i = 0}^{n} \alpha_{i} f(x_{i}) \right \vert [/mm] =  [mm] \left \vert \int_{a}^{b} f(x) - p(x) + p(x) dx - \sum\limits_{i = 0}^{n} \alpha_{i} f(x_{i}) \right \vert [/mm] = [mm] \left \vert \int_{a}^{b} f(x) - p(x) dx + \int_{a}^{b} p(x) dx - \sum\limits_{i = 0}^{n} \alpha_{i} f(x_{i}) \right \vert [/mm] = [mm] \left \vert \int_{a}^{b} f(x) - p(x) dx + \sum\limits_{i = 0}^{n} \alpha_{i} p(x_{i}) - \sum\limits_{i = 0}^{n} \alpha_{i} f(x_{i}) \right \vert [/mm] $

$= [mm] \left \vert \int_{a}^{b} f(x) - p(x) dx + \sum\limits_{i = 0}^{n} \alpha_{i} \cdot ( p(x_{i}) - f(x_{i}))\right \vert [/mm] =  [mm] \left \vert \int_{a}^{b} f(x) - p(x) dx - \sum\limits_{i = 0}^{n} \alpha_{i} \cdot ( f(x_{i}) - p(x_{i}))\right \vert [/mm] = [mm] \left \vert \int_{a}^{b} f(x) - p(x) dx + \sum\limits_{i = 0}^{n} \alpha_{i} \cdot ( p(x_{i}) - f(x_{i}))\right \vert [/mm] =  [mm] \left \vert \int_{a}^{b} f(x) - p(x) dx - I_{n} ( f - p) \right \vert$ [/mm]


An dieser Stelle habe ich eine Frage.


Ich habe in der Rechnung für [mm] $I_{p}$ [/mm] und [mm] $I_{f}$ [/mm] die selben Gewichte [mm] $\alpha_{i}$ [/mm] genommen.

Aber das muss nicht unbedingt sein, oder ? Ich habe nur die selben genommen, damit die Rechnung passt, aber ich weiß nicht genau, warum das so ist.

Haben also [mm] $I_{p}$ [/mm] und [mm] $I_{f}$ [/mm] die selben Gewichte oder nicht? Sonst wäre die Rechnung falsch, wenn das nicht so wäre.




Ich mache weiter mit der Gleichung.


Es ist [mm] $I_{n}( [/mm] f - p) = [mm] \left \vert \sum\limits_{ i = 0}^{n} \alpha_{i} \cdot (f(x_{i}) - p(x_{i})) \right \vert \le \sum\limits_{ i = 0}^{n} \vert \alpha_{i} \cdot (f(x_{i}) [/mm] - [mm] p(x_{i})) \vert [/mm]  = [mm] \sum\limits_{ i = 0}^{n} \vert \alpha_{i} \vert \cdot \vert (f(x_{i}) [/mm] - [mm] p(x_{i}) \vert [/mm] = [mm] \sum\limits_{ i = 0}^{n} \alpha_{i} \cdot \vert (f(x_{i}) [/mm] - [mm] p(x_{i}) \vert \le \sum\limits_{ i = 0}^{n} \alpha_{i} \cdot ||f(x_{i}) [/mm] - [mm] p(x_{i})||_{C[a,b]} [/mm] = [mm] I_{n}( [/mm] ||f - [mm] p||_{C[a,b]})$ [/mm]


Nun gilt $ [mm] \vert [/mm] f(x) - p(x) [mm] \vert \le ||f-p||_{C[a,b]}$. [/mm] Und wegen der Monotonie des Integrals folgt dann $  [mm] \int_{a}^{b} [/mm] f(x) - p(x) dx [mm] \le \int_{a}^{b} [/mm] ||f(x)  - [mm] p(x)||_{C[a,b]} [/mm] dx$



Damit haben wir:



[mm] $\left \vert \int_{a}^{b} f(x) dx - I_{n}(f) \right \vert [/mm] =  [mm] \left \vert \int_{a}^{b} f(x) - p(x) dx - I_{n} ( f - p) \right \vert \le \left \vert \int_{a}^{b} f(x) - p(x) dx \right \vert [/mm] + [mm] \left \vert I_{n} ( f - p) \right \vert \le \int_{a}^{b} \vert\; [/mm] ||f(x)  - [mm] p(x)||_{C[a,b]}\; \vert [/mm]  + [mm] I_{n}( [/mm] ||f - [mm] p||_{C[a,b]}) [/mm] $





Aber trotzdem weiß ich immer noch nicht, wie ich  bei der Abschätzung die $2(b - a)$ ins Spiel bringe. Wie mache ich das ?



Ich vermute mal, dass $ [mm] \sum\limits_{ i = 0}^{n} \alpha_{i} \cdot ||f(x_{i}) [/mm] - [mm] p(x_{i})||_{C[a,b]} \le [/mm] (b - a) [mm] \cdot ||f(x_{i}) [/mm] - [mm] p(x_{i})||_{C[a,b]}$. [/mm]

Aber begründen kann ich das leider nicht...



Free mich auf eine weitere Antwort von dir!


Lg, Nathan

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Quadraturfehler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:41 Mo 16.12.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich bin mir nicht ganz sicher, welche Polynome [mm]I_{n} (f)[/mm] exakt integriert.

Das ist schlecht :-)

>
> Im Skript steht:
>  
> Eine Quadraturformel [mm]I^{n} (\cdot)[/mm] wird “(mindestens) von
> der Ordnung [mm]m[/mm]”
>  genannt, wenn durch sie wenigstens alle Polynome aus [mm]P_{m - 1}[/mm]
> exakt integriert werden.

Das ist eine seltsame Definition.
Normalerweise (siehe auch []Wikipedia) hat eine Quadraturformel Ordnung m, wenn sie Polynome aus [mm] P_m [/mm] exakt integriert.
Warum ihr da plötzlich m-1 stehen habt, weiß kein Mensch und dann stimmt die zu zeigende Aussage auch mMn nicht.

> Also integriert [mm]I_{n} (f)[/mm] mindestens alle Polynome  aus
> [mm]P_{m - 1}[/mm] und kann, muss aber nicht, auch Polynome höherer
> Ordnung exakt integrieren, stimmt es ?

Wenn ihr das so definiert habt, ja. Das ist aber Murks, siehe oben. Meistens definiert man die Ordnung auch maximal, d.h. für Polynome höherer Ordnung ist sie nicht mehr exakt.

> [mm]\left \vert \int_{a}^{b} f(x) dx - I_{n}(f) \right \vert = \left \vert \int_{a}^{b} f(x) dx - \sum\limits_{i = 0}^{n} \alpha_{i} f(x_{i}) \right \vert = \left \vert \int_{a}^{b} f(x) - p(x) + p(x) dx - \sum\limits_{i = 0}^{n} \alpha_{i} f(x_{i}) \right \vert = \left \vert \int_{a}^{b} f(x) - p(x) dx + \int_{a}^{b} p(x) dx - \sum\limits_{i = 0}^{n} \alpha_{i} f(x_{i}) \right \vert = \left \vert \int_{a}^{b} f(x) - p(x) dx + \sum\limits_{i = 0}^{n} \alpha_{i} p(x_{i}) - \sum\limits_{i = 0}^{n} \alpha_{i} f(x_{i}) \right \vert[/mm]

> [mm]= \left \vert \int_{a}^{b} f(x) - p(x) dx + \sum\limits_{i = 0}^{n} \alpha_{i} \cdot ( p(x_{i}) - f(x_{i}))\right \vert = \left \vert \int_{a}^{b} f(x) - p(x) dx - \sum\limits_{i = 0}^{n} \alpha_{i} \cdot ( f(x_{i}) - p(x_{i}))\right \vert = \left \vert \int_{a}^{b} f(x) - p(x) dx + \sum\limits_{i = 0}^{n} \alpha_{i} \cdot ( p(x_{i}) - f(x_{i}))\right \vert = \left \vert \int_{a}^{b} f(x) - p(x) dx - I_{n} ( f - p) \right \vert[/mm]

Der vorletzte Schritt ist sinnlos, sonst passt es.

> An dieser Stelle habe ich eine Frage.
>  
>
> Ich habe in der Rechnung für [mm]I_{p}[/mm] und [mm]I_{f}[/mm] die selben
> Gewichte [mm]\alpha_{i}[/mm] genommen.
>
> Aber das muss nicht unbedingt sein, oder ? Ich habe nur die
> selben genommen, damit die Rechnung passt, aber ich weiß
> nicht genau, warum das so ist.
>  
> Haben also [mm]I_{p}[/mm] und [mm]I_{f}[/mm] die selben Gewichte oder nicht?
> Sonst wäre die Rechnung falsch, wenn das nicht so wäre.

Die Gewichte hängen doch nicht von deiner zu integrierenden Funktion ab.
Du hast eine Quadraturformel, d.h. du legst deine Formel (d.h. deine Gewichte) fest und integrierst damit alle möglichen Funktionen.


> Ich mache weiter mit der Gleichung.
>
>
> Es ist [mm]I_{n}( f - p) = \left \vert \sum\limits_{ i = 0}^{n} \alpha_{i} \cdot (f(x_{i}) - p(x_{i})) \right \vert \le \sum\limits_{ i = 0}^{n} \vert \alpha_{i} \cdot (f(x_{i}) - p(x_{i})) \vert = \sum\limits_{ i = 0}^{n} \vert \alpha_{i} \vert \cdot \vert (f(x_{i}) - p(x_{i}) \vert = \sum\limits_{ i = 0}^{n} \alpha_{i} \cdot \vert (f(x_{i}) - p(x_{i}) \vert \le \sum\limits_{ i = 0}^{n} \alpha_{i} \cdot ||f(x_{i}) - p(x_{i})||_{C[a,b]} = I_{n}( ||f - p||_{C[a,b]})[/mm]
>  
>  
>
> Nun gilt [mm]\vert f(x) - p(x) \vert \le ||f-p||_{C[a,b]}[/mm]. Und
> wegen der Monotonie des Integrals folgt dann [mm]\int_{a}^{b} f(x) - p(x) dx \le \int_{a}^{b} ||f(x) - p(x)||_{C[a,b]} dx[/mm]
>  
>
>
> Damit haben wir:
>  
>
>
> [mm]\left \vert \int_{a}^{b} f(x) dx - I_{n}(f) \right \vert = \left \vert \int_{a}^{b} f(x) - p(x) dx - I_{n} ( f - p) \right \vert \le \left \vert \int_{a}^{b} f(x) - p(x) dx \right \vert + \left \vert I_{n} ( f - p) \right \vert \le \int_{a}^{b} \vert\; ||f(x) - p(x)||_{C[a,b]}\; \vert + I_{n}( ||f - p||_{C[a,b]})[/mm]

Ein bisschen Mitdenken bitte… $||f - [mm] p||_{C[a,b]}$ [/mm] ist eine relle Zahl und damit kannst du sie vor das Integral / Summe ziehen. Dann steht da?

Gruß,
Gono

Bezug
                                
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Quadraturfehler: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:31 Mo 16.12.2019
Autor: NathanR


> > Ich mache weiter mit der Gleichung.
> >
> >
> > Es ist [mm]I_{n}( f - p) = \left \vert \sum\limits_{ i = 0}^{n} \alpha_{i} \cdot (f(x_{i}) - p(x_{i})) \right \vert \le \sum\limits_{ i = 0}^{n} \vert \alpha_{i} \cdot (f(x_{i}) - p(x_{i})) \vert = \sum\limits_{ i = 0}^{n} \vert \alpha_{i} \vert \cdot \vert (f(x_{i}) - p(x_{i}) \vert = \sum\limits_{ i = 0}^{n} \alpha_{i} \cdot \vert (f(x_{i}) - p(x_{i}) \vert \le \sum\limits_{ i = 0}^{n} \alpha_{i} \cdot ||f(x_{i}) - p(x_{i})||_{C[a,b]} = I_{n}( ||f - p||_{C[a,b]})[/mm]
>  
> >  

> >  

> >
> > Nun gilt [mm]\vert f(x) - p(x) \vert \le ||f-p||_{C[a,b]}[/mm]. Und
> > wegen der Monotonie des Integrals folgt dann [mm]\int_{a}^{b} f(x) - p(x) dx \le \int_{a}^{b} ||f(x) - p(x)||_{C[a,b]} dx[/mm]
>  
> >  

> >
> >
> > Damit haben wir:
>  >  
> >
> >
> > [mm]\left \vert \int_{a}^{b} f(x) dx - I_{n}(f) \right \vert = \left \vert \int_{a}^{b} f(x) - p(x) dx - I_{n} ( f - p) \right \vert \le \left \vert \int_{a}^{b} f(x) - p(x) dx \right \vert + \left \vert I_{n} ( f - p) \right \vert \le \int_{a}^{b} \vert\; ||f(x) - p(x)||_{C[a,b]}\; \vert + I_{n}( ||f - p||_{C[a,b]})[/mm]
>  
> Ein bisschen Mitdenken bitte… [mm]||f - p||_{C[a,b]}[/mm] ist eine
> relle Zahl und damit kannst du sie vor das Integral / Summe
> ziehen. Dann steht da?
>  
> Gruß,
>  Gono


Oh, ich sehe es. Dann habe ich


[mm] $\int_{a}^{b} [/mm] f(x) - p(x) dx [mm] \le \int_{a}^{b} [/mm] ||f(x)  - [mm] p(x)||_{C[a,b]} [/mm] dx =  ||f(x)  - [mm] p(x)||_{C[a,b]} \cdot \int_{a}^{b} [/mm] 1 dx = ( b - a) [mm] \cdot [/mm] ||f(x)  - [mm] p(x)||_{C[a,b]} [/mm] $


Und hier gilt:  [mm] $\sum\limits_{ i = 0}^{n} \alpha_{i} \cdot \vert (f(x_{i}) [/mm] - [mm] p(x_{i}) \vert \le \sum\limits_{ i = 0}^{n} \alpha_{i} \cdot \underbrace{||f(x_{i}) - p(x_{i})||_{C[a,b]}}_{\in \mathbb{R}} [/mm] = [mm] ||f(x_{i}) [/mm] - [mm] p(x_{i})||_{C[a,b]} \cdot \sum\limits_{ i = 0}^{n} \alpha_{i} [/mm] = ( b - a) [mm] \cdot ||f(x_{i}) [/mm] - [mm] p(x_{i})||_{C[a,b]}$ [/mm]


Und damit hätte ich dann


[mm] $\left \vert \int_{a}^{b} f(x) dx - I_{n}(f) \right \vert [/mm] =  [mm] \left \vert \int_{a}^{b} f(x) - p(x) dx - I_{n} ( f - p) \right \vert \le \left \vert \int_{a}^{b} f(x) - p(x) dx \right \vert [/mm] + [mm] \left \vert I_{n} ( f - p) \right \vert \le \int_{a}^{b} \vert\; [/mm] ||f(x)  - [mm] p(x)||_{C[a,b]}\; \vert [/mm]  + [mm] I_{n}( [/mm] ||f - [mm] p||_{C[a,b]}) \le [/mm] ( b - a) [mm] \cdot [/mm] ||f(x)  - [mm] p(x)||_{C[a,b]} [/mm] + ( b - a) [mm] \cdot ||f(x_{i}) [/mm] - [mm] p(x_{i})||_{C[a,b]}$ [/mm]





Nun müsste ich noch wissen, ob [mm] $||f(x_{i}) [/mm] - [mm] p(x_{i})||_{C[a,b]} [/mm] = ||f(x)  - [mm] p(x)||_{C[a,b]}$, [/mm] sonst geht die Rechnung nicht auf.


Und noch eine Frage:


Warum genau gilt nochmal [mm] $\vert [/mm] f(x) - p(x) [mm] \vert \le ||f-p||_{C[a,b]}$ [/mm] ?

Ich habe es komischerweise einfach so hingenommen.



Aus welchem Satz folgt das?


nach diesen beiden Fragen müsste dann alles geklärt sein!


Bedanke mich schon im Voraus.


lg, Nathan



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Quadraturfehler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:10 Mo 16.12.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Nun müsste ich noch wissen, ob [mm]||f(x_{i}) - p(x_{i})||_{C[a,b]} = ||f(x) - p(x)||_{C[a,b]}[/mm], sonst geht die Rechnung nicht auf.

Der erste Ausdruck macht gar keinen Sinn… warum, siehe unten.

> Warum genau gilt nochmal [mm]\vert f(x) - p(x) \vert \le ||f-p||_{C[a,b]}[/mm]

Sorry, aber sowas will ich nicht beantworten.
Das erste, wenn man so eine Ungleichung nachvollziehen will, wäre zumindest mal die Definition nachschlagen.

Ergo: Wie ist denn [mm] $||\cdot||_{C[a,b]}$ [/mm] definiert?
Schlag das nach, dann ist obige Ungleichung trivial.

Dann kannst du mir bestimmt auch beantworten, wieso [mm] $||f(x_{i}) [/mm] - [mm] p(x_{i})||_{C[a,b]}$ [/mm] keinen Sinn macht. Tipp: Für was für Elemente ist [mm] $||\cdot||_{C[a,b]}$ [/mm] denn überhaupt definiert? Und was dagegen ist [mm] $f(x_{i}) [/mm] - [mm] p(x_{i})$? [/mm]

Einfach ein bisschen überlegen beim Aufschreiben, dann wird das schon…

Gruß,
Gono

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