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Hallo,
zur Situation: Für [mm] $n\in\IN$ [/mm] habe ich eine Folge von Partitionen auf [mm] $(\pi_n)$ [/mm] auf $[0,t]$ mit [mm] $\pi_n=\big\{t_0,\ldots,t_{n+1}\colon 0=t_0
Nun betrachte ich die quadratische Variation [mm] $\pi(B):=\sum_{t_i\in\pi}(B_{t_{i+1}}-B_{t_i})^2$ [/mm] von [mm] $\var{B}$ [/mm] entlang der Partition [mm] $\pi$ [/mm] und will zeigen, dass [mm] $\pi_n(B)\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}t$ [/mm] in [mm] $\mathcal{L}^2$ [/mm] gilt, wenn [mm] $\sup\big\{|t_{i+}-t_i|\colon t_i\in\pi_n\big\}\xrightarrow{n\to\infty}0$.
[/mm]
Um die Konvergenz in [mm] $\mathcal{L}^p$ [/mm] zu erhalten, will ich zeigen, dass [mm] $\mathbb{E}\left[|\pi_n(B)-t|^2\right]\xrightarrow{n\to\infty}0$ [/mm] gilt.
Mit einer standardnormalverteilten Zufallsgröße [mm] $X\sim\mathcal{N}(0,1)$ [/mm] würde ich wie folgt anfangen:
[mm] $\mathbb{E}\left[|\pi_n(B)-t|^2\right]=\mathbb{E}\left[\left|\sum_{t_i\in\pi_n}(B_{t_{i+1}}-B_{t_i})^2-t\right|^2\right]=\mathbb{E}\left[\left|\sum_{t_i\in\pi_n}(t_{i+1}-t_i)X^2-t\right|^2\right]\stackrel{\text{Teleskopsumme}}{=}\mathbb{E}\left[\left|tX^2-t\right|^2\right]=\ldots$,
[/mm]
da [mm] $B_{t_{i+1}}-B_{t_i}\stackrel{d}{=}B_{t_{i+1}-t_i}\stackrel{d}{=}\sqrt{t_{i+1}-t_i}X$ [/mm] (Gleichheit in Verteilung).
Bis hierhin müssen meine Überlegungen schon offensichtlich falsch sein, da hier nichts mehr von [mm] $\var{n}$ [/mm] abhängt und ich die Voraussetzung bzgl. der maximalen Intervalllänge auch nicht verwendet habe...
Wenn mir jemand einen Tipp geben kann, welcher Teil meiner Argumentation/Umformung falsch ist und wieso, dann bin ich ihm zu Dank verpflichtet. 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:36 Do 22.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Mit einer standardnormalverteilten Zufallsgröße
> [mm]X\sim\mathcal{N}(0,1)[/mm] würde ich wie folgt anfangen:
>
>
> ... [mm]\mathbb{E}\left[\left|\sum_{t_i\in\pi_n}(B_{t_{i+1}}-B_{t_i})^2-t\right|^2\right]=\mathbb{E}\left[\left|\sum_{t_i\in\pi_n}(t_{i+1}-t_i)X^2-t\right|^2\right][/mm]...
Das hier ist falsch: zwar sind [mm] $B_{t_{i+1}}-B_{t_i}$ [/mm] und [mm] $\sqrt{t_{i+1}-t_i} [/mm] X$ in Verteilung gleich, allerdings summierst du hier ein paar davon zusammen (das ist ja noch ok) und quadrierst das dann (das ist das Problem!). Beim Quadrieren hast du Produkte von der Form [mm] $(B_{t_{i+1}}-B_{t_i}) \cdot (B_{t_{j+1}}-B_{t_j})$, [/mm] und damit du die Gleichheit in Verteilung nutzen kannst, muessen die beiden Faktoren unabhaengig (bzw. zumindest nicht korreliert) sein. Aber das sind sie vermutlich nicht.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:50 Do 22.04.2010 | | Autor: | Mr.Teutone |
Danke, es ist tatsächlich ein großer Unterschied, ob da [mm] $\mathbb{E}\big[(\ldots)^2\big]$ [/mm] oder [mm] (\mathbb{E}[\ldots])^2 [/mm] steht...
Den Rest bekomme ich nun, denke ich, hin, also erst ausmultiplizieren, dann die Erwartungswerte in die Summen ziehen und dann die Gleichheit in Verteilung und die Formel für das 2. und 4. Moment der Normalverteilung benutzen und zum Schluss geeignet nach oben abschätzen.
Bis zum nächsten Mal.
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