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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Hanz |
Hi,
meine Aufgabe lautet diese Gleichung zu lösen: [mm] z^2-(5+i)\cdot$z+18-i=0$
[/mm]
Wende ich hierauf die pq-Formel an, dann komme ich auf folgende Form:
[mm] z_{1,2}=\frac{5+i}{2}\pm \sqrt{-12+\frac{7i}{2}}
[/mm]
Mein Problem ist jetzt, dass ich nicht genau weiss, wie ich mit der Wurzel umzugehen habe. Normalerweise wandelt man doch die Zahl in Polarkoordinaten um und kann so die beiden Wurzeln berechnen, oder?
Dann bekomme ich aber:
[mm] z=-12+\frac{7i}{2}
[/mm]
Gesucht: [mm] z=r*e^{i*\phi}
[/mm]
r wäre in diesem Fall 25/2. Jetzt ist mein Problem, dass ich den Winkel bestimmen muss. Das würde ich mit [mm] sin(\phi)=\frac{7}{25} [/mm] machen. Dann wäre aber [mm] \phi=\pi-arcsin(\frac{7}{25})
[/mm]
[mm] arcsin(\frac{7}{25} [/mm] kann ich aber irgendwie nicht sinnvoll angeben :/
Wie kann ich das eleganter lösen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Hanz,
> Hi,
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> meine Aufgabe lautet diese Gleichung zu lösen:
> [mm]z^2-(5+i)\cdot[/mm] [mm]z+18-i=0[/mm]
>
> Wende ich hierauf die pq-Formel an, dann komme ich auf
> folgende Form:
>
> [mm]z_{1,2}=\frac{5+i}{2}\pm \sqrt{-12+\frac{7i}{2}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> Mein Problem ist jetzt, dass ich nicht genau weiss, wie ich
> mit der Wurzel umzugehen habe. Normalerweise wandelt man
> doch die Zahl in Polarkoordinaten um und kann so die beiden
> Wurzeln berechnen, oder?
>
> Dann bekomme ich aber:
> [mm]z=-12+\frac{7i}{2}[/mm]
> Gesucht: [mm]z=r*e^{i*\phi}[/mm]
>
> r wäre in diesem Fall 25/2. Jetzt ist mein Problem, dass
> ich den Winkel bestimmen muss. Das würde ich mit
> [mm]sin(\phi)=\frac{7}{25}[/mm] machen. Dann wäre aber
> [mm]\phi=\pi-arcsin(\frac{7}{25})[/mm]
>
> [mm]arcsin(\frac{7}{25}[/mm] kann ich aber irgendwie nicht sinnvoll
> angeben :/
Du hast doch [mm]z=a+bi=-12+7/2i[/mm], also [mm]a=-12<0[/mm] und [mm]7/2=b>0[/mm]
Damit [mm]\operatorname{arg}(z)=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\pi=\arctan\left(\frac{7}{\red{24}}\right)+\pi[/mm]
Wie kommst du auf die 25 im Nenner?
Aufgrund der Lage von [mm]z=-12+7/2i[/mm] im 2ten Quadranten muss das Argument ja irgendwo zwischen [mm]\frac{\pi}{2}[/mm] und [mm]\pi[/mm] liegen ...
>
> Wie kann ich das eleganter lösen?
Mir fällt kein "eleganterer" Weg ein ...
Den Arcustangens kann man hier nicht schön ablesen im Koordinatensystem, lass ihn dir von einem Programm, einem TR oder einem anderen elektr. Rechenknecht ausspucken ...
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>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Hanz |
> Wie kommst du auf die 25 im Nenner?
Auf die 25 Im Nenner komme ich, indem ich ja die Zahl [mm] w=-12+\frac{7i}{2} [/mm] in Polarform bringen möchte. Dazu brauche ich ja den Radius [mm] r=|w|=\sqrt{(-12)^2+(\frac{7}{2})^2}=\sqrt{\frac{625}{4}}=\frac{25}{2}
[/mm]
Beim Winkel [mm] \phi [/mm] kann ich doch die Beziehung [mm] sin(\phi)=\frac{|y|}{r} [/mm] ausnutzen, wobei |y| der Betrag des Imaginärteils von [mm] w=-12+\frac{7i}{2} [/mm] darstellt. Es ergibt sich dann also: [mm] sin(\phi)=\frac{\frac{7}{2}}{\frac{25}{2}}=\frac{7}{25}. [/mm] Da wir uns im zweiten Quadranten bewegen muss dann noch [mm] \pi-\phi [/mm] gerechnet werden, um den korrekten Winkel zu ermitteln.
Als Lösung soll wohl 3+4i und 2-3i herauskommen...
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Hallo Hanz,
> > Wie kommst du auf die 25 im Nenner?
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> Auf die 25 Im Nenner komme ich, indem ich ja die Zahl
> [mm]w=-12+\frac{7i}{2}[/mm] in Polarform bringen möchte. Dazu
> brauche ich ja den Radius
> [mm]r=|w|=\sqrt{(-12)^2+(\frac{7}{2})^2}=\sqrt{\frac{625}{4}}=\frac{25}{2}[/mm]
>
> Beim Winkel [mm]\phi[/mm] kann ich doch die Beziehung
> [mm]sin(\phi)=\frac{|y|}{r}[/mm] ausnutzen, wobei |y| der Betrag des
> Imaginärteils von [mm]w=-12+\frac{7i}{2}[/mm] darstellt. Es ergibt
> sich dann also:
> [mm]sin(\phi)=\frac{\frac{7}{2}}{\frac{25}{2}}=\frac{7}{25}.[/mm] Da
> wir uns im zweiten Quadranten bewegen muss dann noch
> [mm]\pi-\phi[/mm] gerechnet werden, um den korrekten Winkel zu
> ermitteln.
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> Als Lösung soll wohl 3+4i und 2-3i herauskommen...
>
Das kommt auch als Lösung heraus.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:10 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Hanz |
> > Als Lösung soll wohl 3+4i und 2-3i herauskommen...
> >
>
>
> Das kommt auch als Lösung heraus.
>
Ich habe die Lösungen jetzt raus, aber nicht mit Hilfe der Polarform. Da weiss ich immer noch nicht, wie ich mit dem obigen Ansatz weiterkommen soll :(
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Hallo Hanz,
> meine Aufgabe lautet diese Gleichung zu lösen:
> [mm]z^2-(5+i)\cdot[/mm] [mm]z+18-i=0[/mm]
>
> Wende ich hierauf die pq-Formel an, dann komme ich auf
> folgende Form:
>
> [mm]z_{1,2}=\frac{5+i}{2}\pm \sqrt{-12+\frac{7i}{2}}[/mm]
>
> Wie kann ich das eleganter lösen?
Eine andere Möglichkeit die Wurzel aufzulösen besteht darin, die Gleichung
$ u + iv = [mm] \wurzel{x+iy}$
[/mm]
zu betrachten. Diese Gleichung quadriert man und bestimmt anschließend u und v in Abhängigkeit von x und y.
Gruß
franzzink
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:10 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Hanz |
Oh Gott ja, danke!
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