Quadrat und Pyramide < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sind die Punkte [mm]A=(1/0/2)[/mm],[mm]B=(6/0/2)[/mm] und [mm]C=(6/4/-1)[/mm].
(a) Zeigen Sie, dass die Punkte [mm]A, B[/mm] und [mm]C[/mm] zu einem Quadrat [mm]ABCD[/mm] ergänzt werden können.
(b) Berechnen Sie die Koordinaten von D.
(c) Das Quadrat [mm]ABCD[/mm] bildet die Grundfläche einer Pyramide mit gleich langen Kanten. Berechnen Sie das Volumen dieser Pyramide.
(d) Berechnen Sie die Koordinaten dieser Pyramide. |
Nix rumgepostet
(a)
Quadrat bedeutet:
[mm] (a_{1})- [/mm] gegenüberliegende Seiten sind parallel, haben daher gleiche Richtung.
[mm] (a_{2})- [/mm] alle Seiten sind gleich lang.
[mm] (a_{1})- [/mm] Richtung
[mm] Seite \ a \ =\ \overrightarrow{AB} \ = \ \overrightarrow{DC} \ = \ Seite \ c [/mm]
[mm] \overrightarrow{AB}\
= \ \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \
- \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}
= \ \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] \overrightarrow{DC}\
= \ \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} \
- \ \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}
= \ \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
komponentenweise berechnet
[mm] u=1, \, v=4, v w=-1
[/mm]
und damit
[mm]
D\ = \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] Seite \ d \ =\ \overrightarrow{AD} \ = \ \overrightarrow{BC} \ = \ Seite \ b [/mm]
[mm] \overrightarrow{AD}\
= \ \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} \
- \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}
= \ \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] \overrightarrow{BC}\
= \ \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} \
- \ \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}
= \ \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] (a_{2})- [/mm] Länge
[mm] Seite \ a \ = \ \left| \overrightarrow{AB}\ \right| \
= \ \ \left| \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \ \right|
= \ \wurzel{5^{2}+0^{2}+0^{2}} \ = \ \wurzel{25} \ = \ 5 [/mm]
[mm] Seite \ b \ = \ \left| \overrightarrow{BC}\ \right| \
= \ \ \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} \ \right|
= \ \wurzel{0^{2}+4^{2}+(-3)^{2}} \ = \ \wurzel{25} \ = \ 5 [/mm]
[mm] Seite \ c \ = \ \left| \overrightarrow{CD}\ \right| \
= \ \ \left| \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \ \right|
= \ \wurzel{(-5)^{2}+0^{2}+0^{2}} \ = \ \wurzel{25} \ = \ 5 [/mm]
[mm] Seite \ d \ = \ \left| \overrightarrow{DA}\ \right| \
= \ \ \left| \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} \ \right|
= \ \wurzel{0^{2}+(-4)^{2}+3^{2}} \ = \ \wurzel{25} \ = \ 5 [/mm]
(b)
Koordinaten von D bereits in [mm] (a_{1}) [/mm] berechnet:
[mm] D \ = \ \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
(c)
Volumen der quadratischen Pyramide:
[mm] Seite \ = \ s [/mm]
[mm] H\ddot ohe \ = \ h [/mm]
[mm] Volumen \ = \ \bruch{1}{3}s^{2}*h [/mm]
[mm] Seitenh\ddot ohe \ = \ d [/mm]
Pythagoras:
[mm] d^{2} \ = \ s^{2} - (\bruch{s}{2})^{2} \ = \ \bruch{3}{4}s^{2} [/mm]
[mm] h^{2} \ = \ d^{2} - (\bruch{s}{2})^{2} \ = \ \bruch{1}{2}s^{2} [/mm]
[mm] V \ = \ \bruch{1}{3}s^{2}*h \
= \bruch{1}{3}s^{2}* \wurzel{ \bruch{1}{2}s^{2} } \ = \
\bruch{\wurzel{2}*s^{4}}{6} \ = \
147.3 [/mm]
(d)
Koordinaten der Spitze [mm]( \ = \ P)[/mm]
[mm] P \ = \ \bruch{1}{2}* \overrightarrow{AB}
+ \bruch{1}{2}* \overrightarrow{BC}
+ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ h \end{pmatrix}
\ = \ \begin{pmatrix} 2.5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1.5 \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ h \end{pmatrix}[/mm]
[mm]h \ = \ \bruch{1}{2}s^{2} \ = \ 2.5*\wurzel{2} \ = \ 3.54[/mm]
[mm] P \ = \ \begin{pmatrix} 2.5 \\ 2 \\ 3.04 \end{pmatrix}[/mm]
Um kritischen Blick und Tipps für Abkürzungen (besonders bei (a) Beweis) bin ich dankbar.
Aus dem (endliche) sonnigen Zürich grüsst
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:39 So 04.06.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Beni,
> Gegeben sind die Punkte [mm]A=(1/0/2)[/mm],[mm]B=(6/0/2)[/mm] und
> [mm]C=(6/4/-1)[/mm].
> (a) Zeigen Sie, dass die Punkte [mm]A, B[/mm] und [mm]C[/mm] zu einem
> Quadrat [mm]ABCD[/mm] ergänzt werden können.
> (b) Berechnen Sie die Koordinaten von D.
> (c) Das Quadrat [mm]ABCD[/mm] bildet die Grundfläche einer Pyramide
> mit gleich langen Kanten. Berechnen Sie das Volumen dieser
> Pyramide.
> (d) Berechnen Sie die Koordinaten dieser Pyramide.
> Nix rumgepostet
>
> (a)
>
> Quadrat bedeutet:
> [mm](a_{1})-[/mm] gegenüberliegende Seiten sind parallel, haben
> daher gleiche Richtung.
> [mm](a_{2})-[/mm] alle Seiten sind gleich lang.
Damit hast du erst eine Raute. Ein Quadrat ist ein Rechteck mit gleichlangen Seiten oder eine Raute, bei der alle Innenwinkel 90° sind.
>
> [mm](a_{1})-[/mm] Richtung
>
> [mm]Seite \ a \ =\ \overrightarrow{AB} \ = \ \overrightarrow{DC} \ = \ Seite \ c [/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{AB}\
= \ \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \
- \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}
= \ \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{DC}\
= \ \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} \
- \ \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}
= \ \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
>
> komponentenweise berechnet
>
> [mm]u=1, \, v=4, v w=-1
[/mm]
>
> und damit
>
> [mm]
D\ = \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]Seite \ d \ =\ \overrightarrow{AD} \ = \ \overrightarrow{BC} \ = \ Seite \ b [/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{AD}\
= \ \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} \
- \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}
= \ \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} [/mm]
>
>
> [mm]\overrightarrow{BC}\
= \ \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} \
- \ \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}
= \ \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} [/mm]
>
> [mm](a_{2})-[/mm] Länge
>
> [mm]Seite \ a \ = \ \left| \overrightarrow{AB}\ \right| \
= \ \ \left| \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \ \right|
= \ \wurzel{5^{2}+0^{2}+0^{2}} \ = \ \wurzel{25} \ = \ 5[/mm]
>
> [mm]Seite \ b \ = \ \left| \overrightarrow{BC}\ \right| \
= \ \ \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} \ \right|
= \ \wurzel{0^{2}+4^{2}+(-3)^{2}} \ = \ \wurzel{25} \ = \ 5[/mm]
>
> [mm]Seite \ c \ = \ \left| \overrightarrow{CD}\ \right| \
= \ \ \left| \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \ \right|
= \ \wurzel{(-5)^{2}+0^{2}+0^{2}} \ = \ \wurzel{25} \ = \ 5[/mm]
>
> [mm]Seite \ d \ = \ \left| \overrightarrow{DA}\ \right| \
= \ \ \left| \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} \ \right|
= \ \wurzel{0^{2}+(-4)^{2}+3^{2}} \ = \ \wurzel{25} \ = \ 5[/mm]
Wenn du jetzt noch zeigst, dass $ [mm] \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{BC} [/mm] $. bist du fertig.
Ein kürzerer Weg:
Du zeigst, dass $ [mm] \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{BC} [/mm] $ und dass $ [mm] |\overrightarrow{AB}| =|\overrightarrow{BC}| [/mm] $
Damit hast du gezeigt, dass die Punkte zu einem Quadrat ergänzt werden können.
Den Ortsvektor von D bekommst du, indem du zum Ortsvektor von A den Vektor $ [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] $ addierst.
>
>
>
> (b)
>
> Koordinaten von D bereits in [mm](a_{1})[/mm] berechnet:
>
> [mm]D \ = \ \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
>
> (c)
>
> Volumen der quadratischen Pyramide:
>
> [mm]Seite \ = \ s[/mm]
> [mm]H\ddot ohe \ = \ h[/mm]
> [mm]Volumen \ = \ \bruch{1}{3}s^{2}*h[/mm]
>
> [mm]Seitenh\ddot ohe \ = \ d[/mm]
>
> Pythagoras:
>
> [mm]d^{2} \ = \ s^{2} - (\bruch{s}{2})^{2} \ = \ \bruch{3}{4}s^{2}[/mm]
>
> [mm]h^{2} \ = \ d^{2} - (\bruch{s}{2})^{2} \ = \ \bruch{1}{2}s^{2}[/mm]
>
> [mm]V \ = \ \bruch{1}{3}s^{2}*h \
= \bruch{1}{3}s^{2}* \wurzel{ \bruch{1}{2}s^{2} } \ = \
\bruch{\wurzel{2}*s^{4}}{6} \ = \
147.3[/mm]
>
Ein Flüchtigkeitsfehler: Es muss $ [mm] s^3 [/mm] $ heißen. Bei $ [mm] s^4 [/mm] $ hättest du einen vier-dimensionalen Körper.
>
> (d)
>
> Koordinaten der Spitze [mm]( \ = \ P)[/mm]
>
> [mm]P \ = \ \bruch{1}{2}* \overrightarrow{AB}
+ \bruch{1}{2}* \overrightarrow{BC}
+ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ h \end{pmatrix}
\ = \ \begin{pmatrix} 2.5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1.5 \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ h \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]h \ = \ \bruch{1}{2}s^{2} \ = \ 2.5*\wurzel{2} \ = \ 3.54[/mm]
>
> [mm]P \ = \ \begin{pmatrix} 2.5 \\ 2 \\ 3.04 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
Die weiteren Rechnungen sind ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
In der Schreibweise solltest du aber noch zwischen Ortsvektor zum Punkt P und dem Punkt P unterscheiden.
> Um kritischen Blick und Tipps für Abkürzungen (besonders
> bei (a) Beweis) bin ich dankbar.
>
> Aus dem (endliche) sonnigen Zürich grüsst
Aus dem inzwischen auch etwas sonnigerem Essen grüßt
Sigrid
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| Aufgabe | Gegeben sind die Punkte [mm]A=(1/0/2)[/mm],[mm]B=(6/0/2)[/mm] und [mm]C=(6/4/-1)[/mm].
(a) Zeigen Sie, dass die Punkte [mm]A, B[/mm] und [mm]C[/mm] zu einem Quadrat [mm]ABCD[/mm] ergänzt werden können.
(b) Berechnen Sie die Koordinaten von D.
(c) Das Quadrat [mm]ABCD[/mm] bildet die Grundfläche einer Pyramide mit gleich langen Kanten. Berechnen Sie das Volumen dieser Pyramide.
(d) Berechnen Sie die Koordinaten dieser Pyramide. |
Liebe Sigrid.
Danke für Deinen nützlichen Feedbak.
Habe alles richtiggestellt. So sollte es jetzt stimmen.
Quadrat bedeutet:
[mm] (a_{1})- [/mm] benachbarte Seiten stehen senkrecht zueinander
[mm] (a_{2})- [/mm] alle Seiten sind gleich lang.
[mm] (a_{1})- [/mm] Senkrecht
Skalarprodukt [mm]\overrightarrow{AB} \ * \ \overrightarrow{BC} \ = \ 0 [/mm]
[mm] \overrightarrow{AB}\
= \ \overrightarrow{OB} \ - \
\overrightarrow{OA}
= \ \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \
- \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}
= \ \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] \overrightarrow{BC}\
= \ \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} \
- \ \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}
= \ \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} [/mm]
[mm]\overrightarrow{AB} \ * \ \overrightarrow{BC} \
= \ \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
* \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}
= \ 5*0+0*4+0*(-3) \
= \ 0 [/mm]
[mm] (a_{2})- [/mm] gleich Länge
[mm] Seite \ a \ = \ \left| \overrightarrow{AB}\ \right| \
= \ \ \left| \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \ \right|
= \ \wurzel{5^{2}+0^{2}+0^{2}} \ = \ \wurzel{25} \ = \ 5 [/mm]
[mm] Seite \ b \ = \ \left| \overrightarrow{BC}\ \right| \
= \ \ \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} \ \right|
= \ \wurzel{0^{2}+4^{2}+(-3)^{2}} \ = \ \wurzel{25} \ = \ 5 [/mm]
Die Seiten [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] stehen senkrecht aufeinander und haben gleiche Länge, also können sie zu einem Quadrat ergänzt werden.
(b)
Koordinaten von [mm]D[/mm]
[mm]\overrightarrow{OA} \ + \ \overrightarrow{BC} \
= \ \overrightarrow{OD} [/mm]
[mm]\overrightarrow{OD} \
\ = \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \
\ +\ \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} \
\ =\ \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} \
[/mm]
[mm]D \ = \ (1 / 4 / -1) [/mm]
(c)
Volumen der quadratischen Pyramide:
[mm] Seite \ = \ s [/mm]
[mm] H\ddot ohe \ = \ h [/mm]
[mm] Volumen \ = \ \bruch{1}{3}s^{2}*h [/mm]
[mm] Seitenh\ddot ohe \ = \ d [/mm]
Pythagoras:
[mm] d^{2} \ = \ s^{2} - (\bruch{s}{2})^{2} \ = \ \bruch{3}{4}s^{2} [/mm]
[mm] h^{2} \ = \ d^{2} - (\bruch{s}{2})^{2} \ = \ \bruch{1}{2}s^{2} [/mm]
[mm]h \ = \ \bruch{1}{2}s^{2} \ = \ 2.5*\wurzel{2} \ = \ 3.54[/mm]
[mm] V \ = \ \bruch{1}{3}s^{2}*h \
= \bruch{1}{3}s^{2}* \wurzel{ \bruch{1}{2}s^{2} } \ = \
\bruch{\wurzel{2}*s^{3}}{6} \ = \
29.5 [/mm]
(d)
Koordinaten der Spitze [mm]( \ = \ P)[/mm]
[mm] \overrightarrow{OP}
= \ \bruch{1}{2}* \overrightarrow{AB}
+ \bruch{1}{2}* \overrightarrow{BC}
+ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ h \end{pmatrix}
\ = \ \begin{pmatrix} 2.5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1.5 \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3.53 \end{pmatrix}
\ = \ \begin{pmatrix} 2.5 \\ 2 \\ 3.04 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]P \ = \ (2.5 \, / \, 2.0 \, / \, 2.03)[/mm]
Ist das so alles korrekt ?
Grüsse aus Zürich
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 So 04.06.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Beni,
> Gegeben sind die Punkte [mm]A=(1/0/2)[/mm],[mm]B=(6/0/2)[/mm] und [mm]C=(6/4/-1)[/mm].
> (a) Zeigen Sie, dass die Punkte [mm]A, B[/mm] und [mm]C[/mm] zu einem Quadrat
> [mm]ABCD[/mm] ergänzt werden können.
> (b) Berechnen Sie die Koordinaten von D.
> (c) Das Quadrat [mm]ABCD[/mm] bildet die Grundfläche einer Pyramide
> mit gleich langen Kanten. Berechnen Sie das Volumen dieser
> Pyramide.
> (d) Berechnen Sie die Koordinaten dieser Pyramide.
> Liebe Sigrid.
>
>
> Danke für Deinen nützlichen Feedbak.
>
> Habe alles richtiggestellt. So sollte es jetzt stimmen.
>
> Quadrat bedeutet:
>
> [mm](a_{1})-[/mm] benachbarte Seiten stehen senkrecht zueinander
> [mm](a_{2})-[/mm] alle Seiten sind gleich lang.
>
>
>
> [mm](a_{1})-[/mm] Senkrecht
>
> Skalarprodukt [mm]\overrightarrow{AB} \ * \ \overrightarrow{BC} \ = \ 0[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{AB}\
= \ \overrightarrow{OB} \ - \
\overrightarrow{OA}
= \ \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \
- \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}
= \ \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{BC}\
= \ \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} \
- \ \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}
= \ \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} [/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{AB} \ * \ \overrightarrow{BC} \
= \ \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
* \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}
= \ 5*0+0*4+0*(-3) \
= \ 0[/mm]
>
>
> [mm](a_{2})-[/mm] gleich Länge
>
> [mm]Seite \ a \ = \ \left| \overrightarrow{AB}\ \right| \
= \ \ \left| \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \ \right|
= \ \wurzel{5^{2}+0^{2}+0^{2}} \ = \ \wurzel{25} \ = \ 5[/mm]
>
> [mm]Seite \ b \ = \ \left| \overrightarrow{BC}\ \right| \
= \ \ \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} \ \right|
= \ \wurzel{0^{2}+4^{2}+(-3)^{2}} \ = \ \wurzel{25} \ = \ 5[/mm]
>
> Die Seiten [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] stehen senkrecht aufeinander und haben
> gleiche Länge, also können sie zu einem Quadrat ergänzt
> werden.
>
>
>
> (b)
>
> Koordinaten von [mm]D[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{OA} \ + \ \overrightarrow{BC} \
= \ \overrightarrow{OD}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{OD} \
\ = \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \
\ +\ \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} \
\ =\ \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} \
[/mm]
>
> [mm]D \ = \ (1 / 4 / -1)[/mm]
>
>
>
> (c)
>
> Volumen der quadratischen Pyramide:
>
> [mm]Seite \ = \ s[/mm]
> [mm]H\ddot ohe \ = \ h[/mm]
> [mm]Volumen \ = \ \bruch{1}{3}s^{2}*h[/mm]
> [mm]Seitenh\ddot ohe \ = \ d[/mm]
>
> Pythagoras:
>
> [mm]d^{2} \ = \ s^{2} - (\bruch{s}{2})^{2} \ = \ \bruch{3}{4}s^{2}[/mm]
>
> [mm]h^{2} \ = \ d^{2} - (\bruch{s}{2})^{2} \ = \ \bruch{1}{2}s^{2}[/mm]
>
> [mm]h \ = \ \bruch{1}{2}s^{2} \ = \ 2.5*\wurzel{2} \ = \ 3.54[/mm]
>
> [mm]V \ = \ \bruch{1}{3}s^{2}*h \
= \bruch{1}{3}s^{2}* \wurzel{ \bruch{1}{2}s^{2} } \ = \
\bruch{\wurzel{2}*s^{3}}{6} \ = \
29.5[/mm]
>
>
>
> (d)
>
> Koordinaten der Spitze [mm]( \ = \ P)[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{OP}
= \ \bruch{1}{2}* \overrightarrow{AB}
+ \bruch{1}{2}* \overrightarrow{BC}
+ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ h \end{pmatrix}
\ = \ \begin{pmatrix} 2.5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1.5 \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3.53 \end{pmatrix}
\ = \ \begin{pmatrix} 2.5 \\ 2 \\ 3.04 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]P \ = \ (2.5 \, / \, 2.0 \, / \, 2.03)[/mm]
>
> Ist das so alles korrekt ?
![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]") Ich finde keinen Fehler mehr.
Gruß aus Essen
Sigrid
>
> Grüsse aus Zürich
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:41 So 04.06.2006 | | Autor: | BeniMuller |
Hallo Sigrid
Ganz herzlichen Dank und Gruss
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Beim Teil (d) Koordinaten der Spitze der Pyramide stimmt doch was nicht.
Zum Fusspunkt [mm]Q [/mm] kommt man, in dem man etwa zum Ortsvektor einer Ecke zwei Seitenhälften addiert:
[mm]
\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OA} \ +
\ \bruch{1}{2}\cdot{} \overrightarrow{AB} + \bruch{1}{2}\cdot{} \overrightarrow{BC}
\ = \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix} 2.5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1.5 \end{pmatrix}
\ = \ \begin{pmatrix} 3.5 \\ 2 \\ 0.5 \end{pmatrix}
[/mm]
Aber von dort zur Spitze der Pyramide [mm]P[/mm] genügt es meiner Meinung nach nicht, nur den Betrag der Höhe [mm]h[/mm] hinzuzufügen, da das Quadrat bzw. die Grundfläche der Pyramide ja nicht (oder nicht automatisch) auf der [mm]X - Y[/mm] Ebene senkrecht steht.
Für die Richtung [mm] \overrightarrow{n}[/mm], der Höhe [mm] \overrightarrow{QP} \ = \ \overrightarrow{h}[/mm], die auf der Grundfläche senkrecht steht, wird die Normale zur Grundfläche ermittelt mittels Vektorprodukt zwei nicht zusammenfallende Vektoren der Grundflächenebene.
[mm]\overrightarrow{n} \ = \ \overrightarrow{AB} \ \times \ \overrightarrow{BC}
\ = \ \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \ \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}
\ = \ \begin{pmatrix} 0 \\ 15 \\ 20 \end{pmatrix}
[/mm]
Die Höhe [mm] \overrightarrow{h}[/mm] ist nun ein Vielfaches von [mm] \overrightarrow{n}[/mm]. Meine Frage ist nun, wie ich von [mm] \overrightarrow{n}[/mm] zu [mm] \overrightarrow{h} [/mm] komme ?
Herzliche Grüsse aus Zürich, das nach wie vor im Fussballfieber taumelt.
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Hallo BenniMuller,
Ich hoffe du stimmst mir zu:
[mm] $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{h}=\overrightarrow{OQ}+\lambda\overrightarrow{n}$ [/mm] wobei ich dieses [mm] $\lambda \in \IR$ [/mm] noch nicht kenne.
Andererseits:
[mm] $\left|\overrightarrow{AP}\right| =\left|\overrightarrow{AP}\right|= \left|\overrightarrow{CP}\right| [/mm] = [mm] \left|\overrightarrow{DP}\right|=5$
[/mm]
Es ist wurscht, welche Kante wir nehmen, ich hab Bock auf:
[mm] $5=\left|\overrightarrow{CP}\right|= \left|\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OC}\right|= \left|\overrightarrow{OQ}+\lambda\overrightarrow{n} - \overrightarrow{OC}\right|=\left|\left(\overrightarrow{OQ}- \overrightarrow{OC}\right)+\lambda\overrightarrow{n} \right|$
[/mm]
und das wird man, wenn man die Koordinaten einsetzt,lösen können.
Ich glaube aber, dass man schneller ist, wenn man den Pythagoras anwendet. [mm] $\left(\overrightarrow{OQ}- \overrightarrow{OC}\right) \perp\lambda\overrightarrow{n}$
[/mm]
Also solltest du versuchen folgendes zu lösen:
[mm] $5^2-\left(\overrightarrow{OQ}- \overrightarrow{OC}\right)^2 =\left(\lambda\overrightarrow{n}\right)^2$
[/mm]
Gruß Karthagoras
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Hallo Karthagoras
Danke für die zwei Lösungsansätze.
Ich habe einen dritten Weg gefunden, den ich mal aufschreibe, bevor ich Deine einleuchtenden Ansätze nachrechne:
Erstens mache ich aus meinem Normalvektro einen einfacheren Normalvektor:
[mm] \overrightarrow{m}} \ = \ \bruch{\overrightarrow{n}}{5} \ =
\ \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm]
Dann mache ich aus dem neuen Normalvektro einen Einheitsvektor indem ich diesen Vektor durch seine Länge dividiere:
[mm] \overrightarrow{m_{1} }
\ = \ \bruch{\overrightarrow{m}} {Betrag \ von \ m}
\ = \ \bruch{ \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}}
{ \wurzel{0^{2} \ + \ 3^{2} \ + \ 4^{2} }}
\ = \ \bruch{1}{5} \ * \ \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}}
\ = \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ \bruch{3}{5} \\ \bruch{4}{5} \end{pmatrix}
[/mm]
Dann multipliziere ich diesen Einheitsvektor [mm] \overrightarrow{m_{1} }[/mm] in Richtung [mm] \overrightarrow{h}[/mm] mit der bei Aufgabe (c) ermittelten Länge von [mm] h [/mm], nämlich mit [mm] \bruch{5* \wurzel{2}}{2} [/mm].
[mm] \bruch{5* \wurzel{2}}{2} \ * \
\begin{pmatrix} 0 \\ \bruch{3}{5} \\ \bruch{4}{5} \end{pmatrix}
\ = \ \begin{pmatrix} 0 \\ \bruch{3* \wurzel{2}}{2} \\ \bruch{4* \wurzel{2}}{2} \end{pmatrix}
[/mm]
Zum Schluss muss ich noch am Fusspunkt [mm]Q [/mm] diesen Vektor [mm] \overrightarrow{h}
[/mm] anhängen.
[mm] \overrightarrow{OQ} \ + \ \overrightarrow{h}
\ = \ \begin{pmatrix} 3.5 \\ 2 \\ 0.5 \end{pmatrix}
\ + \ \begin{pmatrix} 0 \\ \bruch{3* \wurzel{2}}{2} \\ \bruch{4* \wurzel{2}}{2} \end{pmatrix}
\ = \ \begin{pmatrix} 3.50 \\ 4.21 \\ 3.33 \end{pmatrix}
\ = \ \overrightarrow{OP}
[/mm]
[mm] P \ = \ (3.50 / 4.21 / 3.33) [/mm]
Mit der Bitte um kritische Durchsicht.
Aus dem im Fussballrauch versunkenen Zürich,
wo D und I in der ganzen Stadt rumhupen, grüsst
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Hallo BenniMuller,
Probe:
[mm]\left|\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OD}\right|=
=\left|\vektor{3{,}5 \\ 2+3\frac{\wurzel2}2 \\ \frac12+2\wurzel2 } - \vektor{ 1 \\ 4 \\ -1}\right|=
=\left|\vektor{2{,}5 \\-2+3\frac{\wurzel2}2 \\ \red{\frac32}+2\wurzel2} \right|=[/mm]
[mm]=\wurzel{\vektor{2{,}5 \\-2+3\frac{\wurzel2}2 \\ \red{\frac32}+2\wurzel2}^2}= \wurzel{6{,}25+\left(4-6\wurzel2+\frac92\right)+\left(\red{\frac94+6\wurzel2}+8\right)}=\wurzel{\red{25}}[/mm]
[scheisskram] Da sollte 5 rauskommen.
Fein, jetzt kommt auch 5 raus.
das sieht doch alles, Dank deiner Hilfe, Prima aus. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß Karthagoras ![[kaffeetrinker]](/images/smileys/kaffeetrinker.gif "[kaffeetrinker]")
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:15 Sa 01.07.2006 | | Autor: | BeniMuller |
Da hat sich doch tatsächlich hitzebedingt ein Flüchtigkeitsfehler eingeschlichen 
[mm]
\ =\ \wurzel{{\vektor{2{,}5 \\-2 \ + \ \bruch{3}{2} \ * \wurzel2 \\ 1.5 \ + \ 2 *\wurzel2} }^{2}}}
[/mm]
[mm]
\ = \wurzel{6{,}25+\left(4-6\wurzel2+\frac92\right)+\left(2.5 \ + \ 6 \* \ \wurzel{2} \ + 8 \ \right)}
\ =\wurzel{25}
\ =\ 5
[/mm]
w.z.b.w
Gruss Beni
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:28 Sa 01.07.2006 | | Autor: | BeniMuller |
Hallo Karthagoras
Ich habe deinen ersten Weg geprüft, wobei ich mich für [mm] \overrightarrow{OA} [/mm] entschieden habe:
[mm]\left|
\overrightarrow{OQ} \ - \ \overrightarrow{OA} \ + \ \lambda \overrightarrow{n}
\right|
\ = \
\left|
\begin{pmatrix} 3.5 \\ 2 \\ 0.5 \end{pmatrix} \ - \
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \ + \ \lambda
\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}
\right|
\ = \
\left|
\begin{pmatrix} 2.5 \\ 2 \\ -1.5 \end{pmatrix} \ + \
\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \lambda \\ 4 \lambda \end{pmatrix}
\right|
[/mm]
[mm]
\ = \ \wurzel{(2.5)^{2} \ + \ (2 \ + \ 3 \lambda)^{2} \ + \ ( -1.5\ + \ 4 \lambda)^{2}} \ = \ 5
[/mm]
So erhalte ich für [mm]\lambda [/mm]
[mm]\lambda \ = \ \pm \bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm]
Und damit für [mm] \overrightarrow{h} [/mm] :
[mm]\overrightarrow{h} \ = \ \bruch{\wurzel{2}}{2} *
\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \ = \
\begin{pmatrix} 0 \\ \bruch{3}{2} \wurzel{2} \\ \bruch{4}{2} \wurzel{2} \end{pmatrix}
[/mm]
was mit meiner unten geposteten Lösung übereinstimmt.
Nochmals vielen Dank. Ich bin Fan von parallelen Lösungswegen
Aus Zürich grüsst
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Hallo BenniMuller,
Wenn du ein Fan von parallelen Lösungswegen bist,
solltest du dir diese Formel anschauen, mit der du den Fußpunkt
ebenfalls ausrechnen kannst:
$ [mm] \overrightarrow{OQ}=\frac14\left( \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} +\overrightarrow{OD}\right)$
[/mm]
Funktioniert auch bei dreieckigen Grundflächen, wenn du die 4 durch eine 3 ersetzt. Ich kann mir die leichter merken.
Gruß Karthagoras
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:18 Sa 01.07.2006 | | Autor: | BeniMuller |
Besten Dank Karthagoras für diese hübsche Formel
aus Zürich grüsst
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