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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:50 So 09.11.2008 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | Quadratische Gleichungen mit bestimmten Koeffizienten
a) $\ [mm] x^2 -\dfrac{1}{2}x +\dfrac{3}{2}=0 [/mm] $
b) $ [mm] \dfrac{8-x}{2} [/mm] - [mm] \dfrac{2x-11}{x-3} [/mm] = [mm] \dfrac [/mm] {x-2}{6} $
Geben Sie die Lage der Nullstellen an.
Die Funktionen sollen mit Hilfe der quadr. Ergänzung in der Form
$\ [mm] x_{1,2} [/mm] = - [mm] \bruch {a_{1}}{2} \pm \wurzel{(\bruch{a_{1}}{2})^2 - a_{0}} [/mm] $
für
$\ [mm] x^2 [/mm] + [mm] a_{1}x [/mm] + [mm] a_{0} [/mm] = 0 $
gelöst werden.
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Hi,
ich stecke gerade bei diesen beiden Aufgaben irgendwie fest.
Ich komme einfach nicht auf die richtige Lösungsmenge, irgendwo ist der Wurm drinn'. Würde mich freuen, wenn mir jemand beim Lösen dieser Gleichungen behiflich sein könnte.
Diese beiden Gleichungen möchte ich nicht mit der p/q formel lösen, sondern mit Hilfe der quadr. Ergänzung wie oben beschrieben.
Zu a)
Mein Ansatz:
$\ [mm] x^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{3}{2} [/mm] = 0;\ mit \ [mm] a_{1}= \bruch{1}{2},\ a_{0}= \bruch{3}{2} [/mm] $
$ \ [mm] x_{1,2} [/mm] = - [mm] \bruch {a_{1}}{2} \pm \wurzel{(\bruch{a_{1}}{2})^2 - a_{0}} [/mm] $
$ \ [mm] x_{1,2} [/mm] = - [mm] \bruch {\bruch{1}{2}}{2} \pm \wurzel{(\bruch{\bruch{1}{2}}{2})^2 - \bruch{3}{2}} [/mm] $
$ \ [mm] x_{1,2} [/mm] = - [mm] \bruch [/mm] {1}{4} [mm] \pm \wurzel{\bruch{\bruch{1}{4}}{4} - \bruch{3}{2}} [/mm] $
$ \ [mm] x_{1,2} [/mm] = - [mm] \bruch [/mm] {1}{4} [mm] \pm \wurzel{\bruch{1}{16} - \bruch{24}{16}} [/mm] $
$ \ [mm] x_{1,2} [/mm] = - [mm] \bruch [/mm] {1}{4} [mm] \pm \wurzel{- \bruch{23}{16}} [/mm] $
Hier komm ich nicht mehr weiter 
Ich nehme an, dass mir soweit keine Fehler unterlaufen sind, aber ich komm von hier nicht auf die Umformung
$ \ [mm] x_{1,2} [/mm] = - [mm] \bruch [/mm] {1}{4}(1 [mm] \pm \wurzel{23}i) [/mm] $
Vielleicht überseh ich auch bloß irgendwas, ich weiss aber wie gesagt nicht, wie ich auf die Lösung komme.
zu b)
$ [mm] \dfrac{8-x}{2} [/mm] - [mm] \dfrac{2x-11}{x-3} [/mm] = [mm] \dfrac [/mm] {x-2}{6} $
$ [mm] \dfrac{8-x}{2} [/mm] - [mm] \dfrac [/mm] {x-2}{6} - [mm] \dfrac{2x-11}{x-3} [/mm] = 0 $
$ [mm] \dfrac{3(8-x)}{3*2} [/mm] - [mm] \dfrac [/mm] {x-2}{6} - [mm] \dfrac{2x-11}{x-3} [/mm] = 0 $
$ [mm] \dfrac{24-3x}{6} [/mm] - [mm] \dfrac [/mm] {x-2}{6} - [mm] \dfrac{2x-11}{x-3} [/mm] = 0 $
$ [mm] \dfrac{24-3x-x+2}{6} [/mm] - [mm] \dfrac{2x-11}{x-3} [/mm] = 0 $
$ [mm] \dfrac{26-4x}{6} [/mm] - [mm] \dfrac{2x-11}{x-3} [/mm] = 0 $
$ [mm] \dfrac{(x-3)(26-4x)}{(x-3)6} [/mm] - [mm] \dfrac{6(2x-11)}{6(x-3)} [/mm] = 0 $
$ [mm] \dfrac{26x-4x^2-78-12x}{6x-18} [/mm] - [mm] \dfrac{12x-66}{6x-18} [/mm] = 0 $
$ [mm] \dfrac{26x-4x^2-78-12x-12x+66}{6x-18} [/mm] = 0 $
$ [mm] \dfrac{2x-4x^2-12}{6x-18} [/mm] = 0 $
das ganze mit $\ (6x-18) $ multipliziert...
$ \ [mm] 2x-4x^2-12 [/mm] = 0 $
Hier bin ich dann wieder bei der quadr. Funktion in der allg. Form.
Ich hätte halt mit den Koeffizienten meine quadr. Ergänzung angewandt, allerdings komm ich hier wie in Aufgabe a) nicht auf die richtige Lösungsmenge.
Würde mich über eine Korrektur/Hilfe/Tipps freuen.
Ich vermute, dass da evtl. ein Vorzeichenfehler ist.
Gruß
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:21 So 09.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
oben in der Aufgabe steht
$ \ [mm] x^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*x [/mm] + [mm] \bruch{3}{2} [/mm] = 0;\ mit \ [mm] a_{1}= \bruch{1}{2},\ a_{0}= \bruch{3}{2} [/mm] $
unten loest du
$ \ [mm] x^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*x [/mm] + [mm] \bruch{3}{2} [/mm] = 0;\ mit \ [mm] a_{1}= \bruch{1}{2},\ a_{0}= \bruch{3}{2} [/mm] $
das hast du richtig geloest.
nur kannst du jetzt die Wursel aus 16 ziehen. dann bleiben :$ \ [mm] x_{1,2} [/mm] = - [mm] \bruch [/mm] {1}{4} [mm] \pm \wurzel{- \bruch{23}{16}}=-\bruch {1}{4}\pm \bruch{\wurzel{-23}}{4}
[/mm]
$
und [mm] \wurzel{-23}=i*\wurzel{23}
[/mm]
jetzt noch 1/4 ausklammern, wenn du Lust hast.
Die Bruchgleichung hast du zu umstaendlich umgeformt. Man multipliziert immer gleich mit dem ganzen hauptnenner, hier also mit 6*(x-3) das spart mindestens viel Schreibarbeit.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:33 So 09.11.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo leduart!
Danke für die Zeit & Antwort.
> Hallo
> oben in der Aufgabe steht
> [mm]\ x^2 - \bruch{1}{2}*x + \bruch{3}{2} = 0;\ mit \ a_{1}= \bruch{1}{2},\ a_{0}= \bruch{3}{2}[/mm]
>
> unten loest du
> [mm]\ x^2 + \bruch{1}{2}*x + \bruch{3}{2} = 0;\ mit \ a_{1}= \bruch{1}{2},\ a_{0}= \bruch{3}{2}[/mm]
>
> das hast du richtig geloest.
> nur kannst du jetzt die Wursel aus 16 ziehen. dann bleiben
> :$ \ [mm]x_{1,2}[/mm] = - [mm]\bruch[/mm] {1}{4} [mm]\pm \wurzel{- \bruch{23}{16}}=-\bruch {1}{4}\pm \bruch{\wurzel{-23}}{4}[/mm]
>
> $
> und [mm]\wurzel{-23}=i*\wurzel{23}[/mm]
> jetzt noch 1/4 ausklammern, wenn du Lust hast.
Ah, jetzt seh ichs.
Hier hing ich fest:
$\ [mm] \wurzel{\bruch{-23}{16}} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{-23}}{\wurzel{16}} [/mm] $
Danke für den Hinweis!
> Die Bruchgleichung hast du zu umstaendlich umgeformt. Man
> multipliziert immer gleich mit dem ganzen hauptnenner, hier
> also mit 6*(x-3) das spart mindestens viel Schreibarbeit.
> Gruss leduart
Ja, schon. Ich wollte nur meinen Ansatz vollständig niederschreiben, weil ich den Fehler nicht finden kann, hoffe hier immernoch auf eine Antwort.
Vielen Dank soweit,
Gruß
ChopSuey
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 So 09.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast einen Vorzeichenfehler:
$ [mm] \dfrac{26x-4x^2-78-12x}{6x-18} [/mm] - [mm] \dfrac{12x-66}{6x-18} [/mm] = 0 $
im ersten Bruch muss +12x statt der -12x stehen.
Und wenn man nen Fehler sucht faengt man besser von vorn an, hier also den Anfang direkt mit 6*(x-3) multiplizieren, dann hat man alle Nenner los.
Gruss leduart
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